2017各地中考最后一道题

1如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPN为矩形当t0时，BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；由题意可知OB=OA，故当BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值【解答】解：（1）抛物线y=x2+bx+c对称轴是直线x=1，=1，解得b=2，抛物线过A（0，3），c=3，抛物线解析式为y=x2+2x+3，令y=0可得x2+2x+3=0，解得x=1或x=3，B点坐标为（3，0）；（2）由题意可知ON=3t，OM=2t，P在抛物线上，P（2t，4t2+4t+3），四边形OMPN为矩形，ON=PM，3t=4t2+4t+3，解得t=1或t=（舍去），当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；A（0，3），B（3，0），OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=x+3，当t0时，OQOB，当BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，Q（2t，2t+3），OQ=，BQ=|2t3|，又由题意可知0t1，当OB=QB时，则有|2t3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，BOQ为等腰三角形【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中2如图，直线y=2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，2），抛物线经过点C（1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PEDB交DB所在直线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）当PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，将PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标【分析】（1）把B（3，2），C（1，0）代入y=x2+bx+c即可得到结论；（2）由y=x2x2求得D（0，2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论；（3）当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E，过E作EHDE于H，求得直线EE的解析式为y=x，设E（m，m），根据勾股定理即可得到结论；当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E，过E作EHDE于H，得到直线EE的解析式为y=x3，设E（m，m3），根据勾股定理即可得到结论【解答】解：（1）把B（3，2），C（1，0）代入y=x2+bx+c得，抛物线的解析式为y=x2x2；（2）设P（m，m2m2），在y=x2x2中，当x=0时，y=2，D（0，2），B（3，2），BDx轴，PEBD，E（m，2），DE=m，PE=m2m2+2，或PE=2m2+m+2，PDE为等腰直角三角形，且PED=90，DE=PE，m=m2m，或m=m2+m，解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去），PE=5或1，P（1，3），或（5，3）；（3）当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E，过E作EHDE于H，由（2）知，此时，E（5，2），DE=5，BE=BE=2，EEAB，设直线EE的解析式为y=x+b，2=5+b，b=，直线EE的解析式为y=x，设E（m，m），EH=2m+=m，BH=3m，EH2+BH2=BE2，（m）2+（3m）2=4，m=，m=5（舍去），E（，）；当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E，过E作EHDE于H，由（2）知，此时，E（1，2），DE=1，BE=BE=2，EEAB，设直线EE的解析式为y=x+b，2=1+b，b=，直线EE的解析式为y=x，设E（m，m），EH=m+2=m，BH=m3，EH2+BH2=BE2，（m）2+（m3）2=4，m=4.2，m=1（舍去），E（4.2，0.4），综上所述，E的对称点坐标为（，），（4.2，0.4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键3已知，在RtABC中，ACB=90，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC写出BP，BD的长；求证：四边形BCPD是平行四边形（2）如图2，若BD=AD，过点P作PHBC交BC的延长线于点H，求PH的长【分析】（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；想办法证明DPBC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得=，由此求出AM，由ADMAPE，可得=，由此求出AE=，可得EC=ACAE=4=由此即可解决问题【解答】解：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=2，AD=CD=2，BD=2，由翻折可知，BP=BA=2如图1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四边形BCPD是平行四边形（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得=，=，AM=2，AP=2AM=4，由ADMAPE，可得=，=，AE=，EC=ACAE=4=，易证四边形PECH是矩形，PH=EC=【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题4如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结EF、MN，当MNEF时，求AE的长【分析】（1）由DCFBCE，可得CDF=B=90，即可推出CDF+CDA=180，由此即可证明（2）有最小值设AE=x，DH=y，则AH=1y，BE=1x，由ECBHEA，推出=，可得=，推出y=x2x+1=（x）2+，由a=10，y有最小值，最小值为（3）只要证明CFNCEM，推出FCN=ECM，由MCN=45，可得FCN=ECM=BCE=22.5，在BC上取一点G，使得GC=GE，则BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，可得a+a=1，求出a即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，CD=CB，BCD=B=ADC=90，CE=CF，ECF=90，ECF=DCB，DCF=BCE，DCFBCE，CDF=B=90，CDF+CDA=180，点A、D、F在同一条直线上（2）解：有最小值理由：设AE=x，DH=y，则AH=1y，BE=1x，四边形CFGE是矩形，CEG=90，CEB+AEH=90CEB+ECB=90，ECB=AEH，B=EAH=90，ECBHEA，=，=，y=x2x+1=（x）2+，a=10，y有最小值，最小值为DH的最小值为（3）解：四边形CFGE是矩形，CF=CE，四边形CFGE是正方形，GF=GE，GFE=GEF=45，NMEF，GNM=GFE，GMN=GEF，GMN=GNM，GN=GM，FN=EM，CF=CE，CFN=CEM，CFNCEM，FCN=ECM，MCN=45，FCN=ECM=BCE=22.5，在BC上取一点G，使得GC=GE，则BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，a+a=1，a=1，AE=ABBE=1（1）=2【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题5如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使QBA=BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CFx轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）首先证明BEAB，分两种情形求解作BQEM交EM于Q，由ABQ+EBQ=90，EBQ+BEM=90，推出ABQ=BEM，满足条件，此时Q（1，1）当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K易知K（1，），由QBKQEB，可得QB2=QKQE，列出方程即可解决问题；（3）由题意可知当点N的纵坐标为2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，由此即可解决问题；【解答】解：（1）把A（3，0），D（1，0）代入y=x2+bx+c得到，解得，抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）如图1中，y=（x1）2+4，E（1，4），A（3，0），B（0，1），直线BE的解析式为y=3x+1，直线AB的解析式为y=x+1，3（）=1，BEAB，作BQEM交EM于Q，ABQ+EBQ=90，EBQ+BEM=90，ABQ=BEM，满足条件，此时Q（1，1）当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K易知K（1，）QBK=BEM，BQK=BQE，QBKQEB，QB2=QKQE，12+（m1）2=（m）（4m），解得m=，Q（1，），综上所述，满足条件的点Q的坐标为（1，1）或（1，）（3）如图3中，由题意可知当点N的纵坐标为2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，当y=2时，x2+2x+3=2，解得x=1，可得N1（1+，2），N4（1，2），当y=2时，x2+2x+3=2，解得x=1，可得N2（1+，2），N3（1，2），当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，此时N5（1，4），综上所述，满足条件的点N的坐标为（1+，2）或（1，2）或（1+，2）或（1，2）或（1，4）【点评】本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、两直线垂直的判定、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题6如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0），经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBC=SABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，t2+2t+3）（t0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据SNBC=SABC，即SCDB+SBDN=ABOC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M（1，1），连接MN交x轴于点Q，连接PQ，此时M、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值，由点M、N坐标求得直线MN的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NEx轴交MM延长线于点E，可得ME=6、NE=3、MN=3，即MQ+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），解得：，y=x2+2x+3=（x1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）；（2）N是抛物线上第四象限的点，设N（t，t2+2t+3）（t0），又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1，则，解得：，直线NC的解析式为y=（t+2）x+3，设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，D（，0），BD=3，SNBC=SABC，SCDB+SBDN=ABOC，即BD|yCyN|=3（1）3，即（3）3（t2+2t+3）=6，整理，得：t23t4=0，解得：t1=4，t2=1（舍去），当t=4时，t2+2t+3=5，N（4，5）；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M（1，1），连接MN交x轴于点Q，连接PQ，则MM=3，P（m，3）、Q（m，0），PQx轴，且PQ=OC=3，PQMM，且PQ=MM，四边形MMQP是平行四边形，PM=QM，由作图知当M、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值，设直线MN的解析式为y=k2x+b2（k20），将点M（1，1）、N（4，5）代入，得：，解得：，直线MN的解析式为y=2x+3，当y=0时，x=，Q（，0），即m=，此时过点N作NEx轴交MM延长线于点E，在RtMEN中，ME=1（5）=6，NE=41=3，MN=3，MQ+QN=3，当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置7如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN存在时，求运动多少秒使MBN的面积最大，最大面积是多少？（3）在（2）的条件下，MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使BPC的面积是MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解方程组，即可得抛物线的解析式；（2）设运动时间为t秒，则MB=63t，然后根据BHNBOC，求得NH=，再利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式SMBN=（t）2+，利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x+6由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m，m2+m+6）过点P作PEy轴，交BC于点E结合已知条件和（2）中的结果求得SPBC=则根据图形得到SPBC=SCEP+SBEP=EPm+EP（8m），把相关线段的长度代入推知：m2+12m=【解答】解：（1）OA=2，OB=8，OC=6，根据函数图象得A（2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得，解得，抛物线的解析式为y=x2+x+6；（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=tMB=103t由题意得，点C的坐标为（0，6）在RtBOC中，BC=10如图，过点N作NHAB于点HNHCO，BHNBOC，=，即=，HN=tSMBN=MBHN=（103t）t=t2+3t=（t）2+，当MBN存在时，0t，当t=时，SMBN最大=答：运动秒使MBN的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（8，0），C（0，6）代入，得，解得，直线BC的解析式为y=x+6点P在抛物线上设点P的坐标为（m，m2+m+6），如图，过点P作PEy轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m，m+6）EP=m2+m+6（m+6）=m2+3m，当MBN的面积最大时，SPBC=9 SMBN=，SPBC=SCEP+SBEP=EPm+EP（8m）=8EP=4（m2+3m）=m2+12m，即m2+12m=解得m1=3，m2=5，P（3，）或（5，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式，依据题意列出关于SMBN与t的函数关系式以及SPBC的面积与m的函数关系式是解题的关键8如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0）与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得BC的解析式为y=x+3，先证明ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，则EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=t2+3t+，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=18，DC2=4+（y3）2，BD2=1+y2，讨论：当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，18+4+（y3）2=1+y2；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，4+（y3）2=1+y2+18，分别解方程求出t即可得到对应的D点坐标；由于BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，得到此时D点坐标为（2，）或（2，），然后结合图形可确定BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线的解析式为y=x24x+3；（2）易得BC的解析式为y=x+3，直线y=xm与直线y=x平行，直线y=x+3与直线y=xm垂直，CEF=90，ECF为等腰直角三角形，作PHy轴于H，PGy轴交BC于G，如图1，EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t24t+3）（1t3），则G（t，t+3），PF=PH=t，PG=t+3（t24t+3）=t2+3t，PE=PG=t2+t，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=t2+3t+=t2+4=（t2）2+4，当t=2时，PE+EF的最大值为4；（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=2，设D（2，y），则BC2=32+32=18，DC2=4+（y3）2，BD2=（32）2+y2=1+y2，当BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y3）2=1+y2，解得y=5，此时D点坐标为（2，5）；当BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y3）2=1+y2+18，解得y=1，此时D点坐标为（2，1）；当BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即4+（y3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（2，）或（2，），所以BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为y5或1y【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想和数形结合的思想解决数学问题9如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得MP1P2与MCB全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点Q，使得BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）分三种情况：当P1MP2CMB时，取对称点可得点P1，P2的坐标；当BMCP2P1M时，构建P2MBC可得点P1，P2的坐标；P1MP2CBM，构建MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标；（3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明BDQ1Q1EC，列比例式，可得点Q的坐标【解答】解：（1）把A（1，0），B（0，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2x2；（2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称，MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC，P1MP2CMB，y=x2x2=（x）2，此时P1（1，0），B（0，2），对称轴：直线x=，P2（1，2）；如图2，MP2BC，且MP2=BC，此时，P1与C重合，MP2=BC，MC=MC，P2MC=BP1M，BMCP2P1M，P1（2，0），由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2，当x=时，y=（）2=，P2（，）；如图3，构建MP1P2C，可得P1MP2CBM，此时P2与B重合，由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，点P1的横坐标为，当x=时，y=（）2=4=，P1（，），P2（0，2）；（3）如图3，存在，作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2，则BQ1C=BQ2C=90；过Q1作DEy轴于D，过C作CEDE于E，设Q1（，y）（y0），易得BDQ1Q1EC，=，y2+2y=0，解得：y1=（舍），y2=，Q1（，），同理可得：Q2（，）；综上所述，点Q的坐标是：（，）或（，）【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；（3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键10如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tanOAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a0）过A，D两点（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当CPA=90时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m0）个单位得到抛物线M2设点D平移后的对应点为点D，当点D恰好在直线AE上时，求m的值；当1xm（m1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围【分析】（1）如图1中，作DHOA于H则四边形CDHO是矩形在RtADH中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图11中，设P（2，m）由CPA=90，可得PC2+PA2=AC2，可得22+（m6）2+22+m2=42+62，解方程即可；（3）求出D的坐标；构建方程组，利用判别式0，求出抛物线与直线AE有两个交点时的m的范围；求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断【解答】解：（1）如图1中，作DHOA于H则四边形CDHO是矩形四边形CDHO是矩形，OC=DH=6，tanDAH=2，AH=3，OA=4，CD=OH=1，D（1，6），把D（1，6），A（4，0）代入y=ax2+bx中，则有，解得，抛物线M1的表达式为y=2x2+8x（2）如图11中，设P（2，m）CPA=90，PC2+PA2=AC2，22+（m6）2+22+m2=42+62，解得m=3，P（2，3+），P（2，3）（3）如图2中，易知直线AE的解析式为y=x+4，x=1时，y=3，D（1，3），平移后的抛物线的解析式为y=2x2+8xm，把点D坐标代入可得3=2+8m，m=3由，消去y得到2x29x+4+m=0，当抛物线与直线AE有两个交点时，0，9242（4+m）0，m，x=m时，m+4=2m2+8mm，解得m=2+或2（舍弃），综上所述，当2+m时，抛物线M2与直线AE有两个交点【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题11如图，抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（5，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且5x2，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；（3）分三种情形分别求解当ACP=90，由AC2+PC2=PA2，列出方程即可解决当CAP=90时，由AC2+PA2=PC2，列出方程即可解决当APC=90时，由PA2+PC2=AC2，列出方程即可【解答】解：（1）把A（5，0），B（1，0）两点坐标代入y=x2+bx+c，得到，解得，抛物线的函数表达式为y=x24x+5（2）如图1中，抛物线的对称轴x=2，E（x，x24x+5），EH=x24x+5，EF=2x，矩形EFDH的周长=2（EH+EF）=2（x25x+3）=2（x+）2+，20，x=时，矩形EHDF的周长最大，最大值为（3）如图2中，设P（2，m）当ACP=90，AC2+PC2=PA2，（5）2+22+（m5）2=32+m2，解得m=7，P1（2，7）当CAP=90时，AC2+PA2=PC2，（5）2+32+m2=22+（m5）2，解得m=3，P2（2，3）当APC=90时，PA2+PC2=AC2，32+m2+22+（m5）2=（5）2，解得m=6或1，P3（2，6），P4（2，1），综上所述，满足条件的点P坐标为（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题12抛物线y=ax2+bx+c过A（2，3），B（4，3），C（6，5）三点（1）求抛物线的表达式；（2）如图，抛物线上一点D在线段AC的上方，DEAB交AC于点E，若满足=，求点D的坐标；（3）如图，F为抛物线顶点，过A作直线lAB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时BPQ的面积；若不存在，请说明理由【分析】（1）由对称性和A（2，3），B（4，3），可知抛物线的对称轴是：x=3，利用顶点式列方程组解出可得抛物线的表达式；（2）如图1，先利用待定系数法求直线AC的解析式，设点D（m，m+6m5），则点E（m，2m+7），根据解析式表示DE和AE的长，由已知的比例式列式得结论；（3）根据题意得：BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：若BPQ=90，BP=PQ，如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明BAPQMP，可得结论；如图3，同理可得结论；若BQP=90，BQ=PQ，如图4，证得：BNQQMP，则NQ=PM=3，NG=1，BN=5，从而得出结论；如图5，同理易得QNBPMQ，可得结论；若PBQ=90，BQ=BP，如图6，由于AB=2NQ=3，此时不存在符合条件的P、Q【解答】解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y=a（x3）2+h把B（4，3），C（6，5）代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=（x3）2+4=x2+6x5；（2）设直线AC的表达式为y=kx+n，则：，解得：k=2，n=7，直线AC的表达式为y=2x+7，设点D（m，m2+6m5），2m6，则点E（m，2m+7），DE=（m2+6m5）（2m+7）=m2+8m12，设直线DE与直线AB交于点G，AGEG，AG=m2，EG=3（2m+7）=2（m2），m20，在RtAEG中，AE=（m2），由，得=，化简得，2m211m+14=0，解得：m1=，m2=2（舍去），则D（，）（3）根据题意得：ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：若BPQ=90，BP=PQ，如图2，过P作MNx轴，过Q作QMMN于M，过B作BNMN于N，易证得：BAPQMP，AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，P（2，2），Q（3，0），在RtQMP中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ=，SBPQ=PQPB=；如图3，易证得：BAPPMQ，AB=PM=2，AP=MQ=32=1，P（2，2），Q（3，0），在RtQMP中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=，SBPQ=PQPB=；若BQP=90，BQ=PQ，如图4，易得：BNQQMP，NQ=PM=3，NG=PMAG=32=1，BN=MQ=4+1=5，P（2，5），Q（1，0）PQ=，SBPQ=PQPB=17；如图5，易得QNBPMQ，NQ=PM=3，P（2，1），Q（5，0），PQ=，SBPQ=PQPB=5，若PBQ=90，BQ=BP，如图6，过Q作QNAB，交AB的延长线于N，易得：PABBNQ，AB=2，NQ=3，ABNQ此时不存在符合条件的P、Q【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的对称性、利用待定系数法求解析式、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，采用了分类讨论的思想，并利用数形结合；第二问熟练掌握利用解析式表示点的坐标和线段的长是关键，第三问有难度，准确画也图形是关键，注意不要丢解13如图，直角ABC中，A为直角，AB=6，AC=8点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：APR，BPQ，CQR的面积相等；（2）求PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0t2）表示运动时间，是否存在t，使PQR=90？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2t），AR=4（2t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出SPQR=18（t1）2+6，即可得出结论；（3）方法1、先构造出REQQDP，得出，再表示出DP=（63t），DQ=，EQ=，RE=，代入即可得出结论；方法2、先判断出DQR=EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可【解答】解：（1）如图，在RtABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sinB=，sinC=，过点Q作QEAB于E，在RtBQE中，BQ=5t，sinB=，QE=4t，过点Q作QDAC于D，在RtCDQ中，CQ=BCBQ=105t，QD=CQsinC=（105t）=3（2t），由运动知，AP=3t，CR=4t，BP=ABAP=63t=3（2t），AR=ACCR=84t=4（2t），SAPR=APAR=3t4（2t）=6t（2t），SBPQ=BPQE=3（2t）4t=6t（2t），SCQR=CRQD=4t3（2t）=6t（2t），SAPR=SBPQ=SCQR，APR，BPQ，CQR的面积相等；（2）由（1）知，SAPR=SBPQ=SCQR=6t（2t），AB=6，AC=8，SPQR=SABC（SAPR+SBPQ+SCQR）=6836t（2t）=2418（2tt2）=18（t1）2+6，0t2，当t=1时，SPQR最小=6；（3）存在，方法1、如图1，过点R作REBC于E，过点P作PDBC于D，REQ=QDP=90，ERQ+EQR=90，PQR=90，EQR+PQD=90，ERQ=PQD，REQQDP，REDP=QDEQ，由运动知，CR=4t，BQ=5t，AP=3t，BP=63t，易证，BDPBAC，DP=（63t），BD=（63t），DQ=BQBD=5t（63t）=，同理：EQ=，RE=，（63t）=，t=1或秒；方法2、由点P，Q，R的运动速度知，运动1秒时，点P，Q，R分别在AB，BC，AC的中点，此时，四边形APQR是矩形，即：t=1秒时，PQR=90，由（1）知，QE=4t，QD=3（2t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2t），BP=ABAP=63t=3（2t），AR=ACCR=84t=4（2t），过点Q作QDAC于D，作QEAB于E，A=90，四边形APQD是矩形，AE=DQ=3（2t），AD=QE=4t，DR=|ADAR|=|4t4（2t）|=4|2t2|，PE=|APAE|=|3t3（2t）|=3|2t2|DQE=90，PQR=90，DQR=EQP，tanDQR=tanEQP，在RtDQR中，tanDQR=，在RtEQP中，tanEQP=，16t=9（2t），t=即：t=1或秒时，PQR=90【点评】此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，解（1）的关键是求出QD，QE，解（2）的关键是建立函数关系式，解（3）的关键是用tanDQR=tanEQP建立方程，是一道中等难度的题目14【回顾】如图1，ABC中，B=30，AB=3，BC=4，则ABC的面积等于3【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30的角，较短的直角边长为a；另一个含有45的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75=，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75=，请你写出小明或小丽推出sin75=的具体说理过程【应用】在四边形ABCD中，ADBC，D=75，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由【分析】