数理方程第二章分离变量法.ppt

2020/6/2,1,第二章分离变量法,一、有界弦的自由振动,二、有限长杆上的热传导,三、拉普拉斯方程的定解问题,四、非齐次方程的解法,五、非齐次边界条件的处理,六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论,2020/6/2,2,基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。,适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等,特点：a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。,一、有界弦的自由振动,2020/6/2,3,令,代入方程：,令,代入边界条件,1、求两端固定的弦自由振动的规律,2020/6/2,4,特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定条件下求非零解的问题,特征（固有）值：使方程有非零解的常数值,特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解,分情况讨论：,1）,2）,3）令，为非零实数,2020/6/2,5,2020/6/2,6,2020/6/2,7,2020/6/2,8,分离变量,求特征值和特征函数,求另一个函数,求通解,确定常数,分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。,2020/6/2,9,2解的性质,x=x0时：,其中：,驻波法,t=t0时：,2020/6/2,10,例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横向振动时的位移。,解：,2020/6/2,11,2020/6/2,12,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,13,2020/6/2,14,解：,例2求下列定解问题,2020/6/2,15,2020/6/2,16,2020/6/2,17,初始条件,2020/6/2,18,例3求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,19,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特故原问题的解为,2020/6/2,20,例4求下列定解问题,令,代入方程：,解：,2020/6/2,21,2020/6/2,22,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,23,2020/6/2,24,2020/6/2,25,二有限长杆上的热传导,令,带入方程：,解：,2020/6/2,26,由例4知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,满足方程,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,27,令,代入方程：,令,例5求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,28,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,29,例6求下列定解问题,解：令,2020/6/2,30,2020/6/2,31,于是得到一系列分离变量形式的特解,2020/6/2,32,若则u为多少？为什么会出现这样的现象？,思考,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,若,2020/6/2,33,分离变量流程图,2020/6/2,34,三拉普拉斯方程的定解问题,1直角坐标系下的拉普拉斯问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,35,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,36,2020/6/2,37,例7求下列定解问题,解：,由例6中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,38,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,39,2020/6/2,40,例8求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,41,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,42,2圆域内的拉普拉斯问题,2020/6/2,43,例9求下列定解问题,解：,（自然边界条件）,（周期性边界条件）,周期特征值问题,2020/6/2,44,(欧拉方程),令,周期特征值问题,故以上周期特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,45,（由自然边界条件）,（由自然边界条件）,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,46,例10求下列定解问题,解：,（周期性边界条件）,周期特征值问题,2020/6/2,47,欧拉方程,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,48,其他为零,2020/6/2,49,例11求下列定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,（自然边界条件）,2020/6/2,50,（由自然边界条件）,2020/6/2,51,例11求解下列二维热传导方程的定解问题,解：,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,52,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,53,例12求下列热传导方程的定解问题,解法一：令,2020/6/2,54,解法二：令,由例1中的方法知，以上特征值问题的特征值和特征函数分别为,2020/6/2,55,于是得到一系列分离变量形式的特解,这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线性方程的叠加原理，设原问题的解为,2020/6/2,56,常用特征值问题,周期特征值问题,2020/6/2,57,四非齐次方程的解法,求下列定解问题,方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？,思考,2020/6/2,58,由线性方程的叠加原理，令：,2020/6/2,59,令：,为什么？,非齐次方程的特征函数展开法,2020/6/2,60,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,2020/6/2,61,例13求下列定解问题,解：先解对应的齐次问题,其特征值和特征函数为,2020/6/2,62,2020/6/2,63,例14求下列定解问题,解：令,其特征值和特征函数为,2020/6/2,64,2020/6/2,65,用常数变易法或拉普拉斯变换法求常微分方程的初值问题,2020/6/2,66,例15求定解问题,解：将原问题变换到极坐标系下：,周期特征值问题,2020/6/2,67,非齐次方程的特征函数展开法,2020/6/2,68,2020/6/2,69,例16求定解问题,周期特征值问题,2020/6/2,70,非齐次方程的特征函数展开法,2020/6/2,71,2020/6/2,72,五非齐次边界条件的处理,解：首先要想办法将非齐次条件齐次化。令,取,其中辅助函数满足,2020/6/2,73,2020/6/2,74,常见非齐次边界条件齐次化所使用辅助函数,以上方法适用于波动方程、热传导方程和位势方程。,2020/6/2,75,例17求下列定解问题,解：令,可以用非齐次方程的特征函数展开法求解以上问题。,2020/6/2,76,若f(x,t)和非齐次边界条件都与t无关，则此时W仅是x的函数W(x),此方法在使得非齐次边界条件齐次化的同时将导致方程的非齐次化。能否做到两者同时齐次化？,若能从中求出W(x,t)，就可以实现两者同时齐次化。但一般很难求出!,2020/6/2,77,例18求下列定解问题,解：令,请与例17比较，研究其优缺点。,2020/6/2,78,例19求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,2020/6/2,79,例20求定解问题,解：令,可以用分离变量法求解以上问题。,2020/6/2,80,例21求定解问题,解：令,2020/6/2,81,定解问题,选择合适的坐标系,边界条件非齐次，转换为齐次边界条件,非齐次方程，齐次边界条件,齐次方程，齐次边界条件直接用分离变量法,非齐次方程，齐次定解条件特征函数