2019届人教A版(理科数学)----互斥事件和独立事件的概率及条件概率----单元测试

2019届人教A版（理科数学） 互斥事件和独立事件的概率及条件概率一、单选题1甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】设出甲乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出至少有一艘在停靠泊位时必须等待的约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求解。【详解】【点睛】本题考查利用线性规划作出事件对应的平面区域，再利用几何概型概率公式求出事件的概率。2如图所示，在矩形中，图中阴影部分是以为直径的半圆，现在向矩形内随机撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）A 1000 B 2000 C 3000 D 4000【答案】C【解析】【分析】在矩形中，面积为，半圆的面积为，故由几何概型可知，半圆所占比例为，由此计算落在阴影部分内的豆子数目。学 【详解】【点睛】几何概型是计算面积、线段长度、角度、体积等的比例值，但题设不会明确的给出利用几何概型求解，需要对题意进行等价转化。3已知在边长为2的正方形内，有一月牙形图形，向正方形内随机地投射100个点，恰好有15个点落在了月牙形图形内，则该月牙形图形的面积大约是（ ）A 3.4 B 0.3 C 0.6 D 0.15【答案】C【解析】分析：由题意结合蒙特卡洛模拟的方法整理计算即可求得最终结果.详解：设该月牙形图形的面积大约是，由题意结合蒙特卡洛模拟方法可知：，解得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查几何概型的应用，古典概型的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（）A B C D 【答案】C【解析】分析：将图1的正方形放在图2中的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得.点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.5已知矩形中，为的中点，在矩形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根据几何概型的计算和意义，求出距离小于等于1的面积和整个面积，求得比值即可。点睛：本题考查了几何概型的简单应用，属于基础题。6下列说法正确的是（ ）A 一枚骰子掷一次得到2点的概率为，这说明一枚骰子掷6次会出现一次2点B 某地气象台预报说，明天本地降水的概率为70 ，这说明明天本地有70 的区域下雨，30 的区域不下雨C 某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选一个班，有人提议用如下方法：掷两枚骰子得到的点数是几，就选几班，这是很公平的方法D 在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币猜正反面来决定谁先打球，这应该说是公平的【答案】D【解析】分析：根据概率的概念，逐个判断即可。详解：选项A，出现2点的概率为，指的是出现概率，不是掷6次会出现一次2点，A错。选项B降水概率为70 ，这说明明天本地有70 可能性降水，不是降水区域面积。选项C两枚骰子的和，每个数字出现的概率不相等，所以不公平。选项D硬币两面出现正反的概率相等，因此是公平的。所以选D学 点睛：本题考查了概率的基本概念，属于基础题。7甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和详解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的三人中恰有两人合格的概率故选B.点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有的情况，这里的数字比较多，容易出错8从1、2、3、4、5这五个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（ ） 学 A B C D 【答案】B【解析】分析：先求出基本事件的总数，再求出这3个数的和为奇数所包含的基本事件的个数，利用古典概型即可求解答案 k 点睛：本题主要考查了概率的综合应用，其中根据题意，利用组合数的公式求解基本事件的综合和分类求得所求事件中所包含的基本事件个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力9甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）A 事件与事件不相互独立 B 、是两两互斥的事件C D 【答案】D【解析】分析：由题意，是两两互斥事件，条件概率公式求出，对照选项即可求出答案.详解：由题意，是两两互斥事件，,而.所以D不正确. 学 故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.10在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.11牡丹花会期间，记者在王城公园随机采访6名外国游客，其中有2名游客来过洛阳，从这6人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1人来过洛阳的概率是（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式即可求解详解：由题意，从名外国游客中选取人进行采访，共有种不同的选法，其中这人中至少有人来过洛阳的共有种不同选法，由古典概型的概率计算公式可得，故选C点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中根据排列、组合的相关知识得到基本事件的个数和所求事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力12已知圆柱的底面半径为，高为，若区域表示圆柱及其内部，区域表示圆柱内到下底面的距离大于的点组成的集合，若向区域中随机投一点，则所投的点落入区域中的概率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根据题意，求得圆柱的体积和区域N所表示的小圆柱的体积，根据几何概型，即可求解相应的概率.点睛：本题主要考查了体积比的几何概型及其概率的求解，其中根据题意确定区域N的体积是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力.13现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：根据古典概型的概率求解方法，列出个小球所有排列的可能共有12种，则能够满足中间2个小球不都是红球的有2种情况，所以根据独立事件的概率计算方法可求出概率。详解：根据古典概型的概率计算，设白球为A，蓝球为B，红球为CC，则不同的排列情况为ABCC,ACBC,ACCB,BACC,BCAC,BCCA,CABC,CACB,CBCA,CBAC,CCAB,CCBA共12种情况，其中红球在中间的有ACCB,BCCA两种情况，所以红球都在中间的概率为 所以中间两个小球不都是红球的概率为学 所以答案选C点睛：古典概率的计算，主要是列举出所有的可能，不要重复和漏项。注意正确理解题目中“不都是”否定形式表达的意义，利用对立事件的概率和为1，可以求出概率。14已知一袋中有标有号码、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.15一个正三棱锥的四个面上分别标有数字，随机抛掷一次，记向下一面的数字为，则函数在上为减函数的概率为()A B C D 【答案】C【解析】分析：由函数在区间为减函数，求得，利用古典概型的概率计算公式，即可求解相应的概率详解：由函数在区间为减函数则在区间上恒成立，即 在区间上恒成立，所以，所以函数在区间为减函数的概率为，故选C点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算的能力，属于基础题学 16若件产品中有件一级品，件二级品从中任取件，这件中至少有件二级品的概率是（ ）A B C D 【答案】C【解析】分析：首先由组合数公式求得从件产品红任取件的情况总数，再计算出恰有一件二级品的种数和全为二级品的种数，利用古典概率的概率计算公式，即可求解详解：由题意，从由组合数公式求得从件产品红任取件的情况总数为，其中恰有一件二级品的种数和全为二级品的种数为，由古典概率的概率计算公式可得概率为，故选C点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中涉及排列、组合知识的应用，着重考查了学生的推理与运算能力17在周易中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由题意，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含基本事件数为，由此能求出这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率详解：在一次所谓“算怪”中得到六爻，基本事件的总数为，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本数为，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是，故选B点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力18在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同。根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题。19甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：使用捆绑法分别计算甲乙相邻和甲同学与乙、丙相邻的排队顺序个数，利用古典概型的概率公式，即可得出概率.详解：甲乙相邻的排队顺序共有种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有种，所以甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的概率为，故选D.点睛：本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型的概率计算，其中正确理解题意，求解甲乙相邻及甲乙相邻且甲丙相邻的排列顺序的种数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20一个盒子里共有个大小形状相同的小球，其中个红球，个黄球，个绿球.从盒中任取球，若它不是红球，则它是绿球的概率是（ ）A B C D 【答案】D【解析】分析：从盒子中任取一球，若它不是红球，则所有的取法共有15种，而它是绿球的取法共有10种，由古典概型的概率计算公式，即可求解.详解：从盒子中任取一球，若它不是红球，所有的取法共有15种，而它是绿球的求法共有10种，根据古典概型的概率计算公式可得概率为，故选D. 学 点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中熟记古典概型的条件和概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.二、填空题21某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率是 .【答案】 学 【解析】分析：独立事件概率，根据乘法原理即可求解。详解：下雨概率为 ，不下雨概率为 ，收到帐篷概率为 ，收不到帐篷概率为 当下雨且收不到帐篷时会淋雨，所以淋雨的概率为 点睛：本题考查了独立事件概率问题，主要是理解题意，分析各概率间关系，属于基础题。22把4个相同的球放进3个不同的盒子，每个球进盒子都是等可能的，则没有一个空盒子的概率为 【答案】.【解析】分析：分2步进行分析：、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，由分步计数原理计算可得答案详解：分2步进行分析：、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，有C42=6种分组方法，、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，有A33=6种情况，则此时有66=36种不同的放法故答案为：.点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.23一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球.从中一次性任取个小球，将“恰好含有个红球”的概率记为，则当 时，取得最大值【答案】20【解析】分析：由题意可知，满足超几何分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值。详解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。24从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有个红球,则为 .【答案】【解析】分析：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球的取法，再求得当个球都是红球的取法，利用古典概型的概率计算公式，即可得到答案.详解：由题意，从装有个红球和个白球的袋中随机取出个球，共有种方法，其中当个球都是红球的取法有种方法，所以概率为.点睛：本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中概率排列、组合的知识得到基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.25加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 .【答案】【解析】解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率26位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 【答案】【解析】试题分析：根据质点移动的过程可知，当质点同时移动向上5次或同时移动向右移动5次时，不满足条件，其余则满足，即可得到结论学 点睛：本题主要考查概率的计算，根据条件确定质点移动的过程是解决本题的关键.27题库中有道题，考生从中随机抽取道，至少做对道算通过考试.某考生会做其中道，有道不会做，则此考生能通过考试的概率为 【答案】【解析】分析：由题意结合排列组合的知识求得所有事件的数量和满足题意的事件的数量，然后利用古典概型计算公式求解概率值即可.详解：由题意可知，此考生从道题中选择道题，共有种方法，其中能通过考试的方法有种方法，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为.点睛：本题主要考查排列组合相关知识，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.28下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是 .【答案】【解析】由题意知，靶子的面积为，靶中黑色部分的面积为，根据几何概型概率的计算公式可得，所求概率为.29若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是 【答案】0.6【解析】从5个小球中任取2个，共有种取法，其中恰有一个白球和一个黑球的取法共有种取法，所以从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是.30已知件次品和件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为 （用数字作答）.【答案】【解析】由题意可知，2次检测结束的概率为，3次检测结束的概率为，则恰好检测四次停止的概率为.学 . 三、解答题31国庆期间，一位游客来到某旅游城市，这里有甲、乙、丙三个著名的旅游景点，若这位游客游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（）求的分布列和数学期望；（）记“时，不等式恒成立”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（I）用表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为和客人没有游览的景点数的可能取值为，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率，求解每个随机变量取值对应的概率，得出分布列，求得数学期望.（）由不等式恒成立，有恒成立，分和讨论，即可得到答案.【详解】所以的分布列为13P0.760.2410.76+30.24=1.48.（）的可能取值为1，3.且时，不等式恒成立，有恒成立，即 当=1时，不等式恒成立，当=3时，不等式不会恒成立.所以.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，同时考查了相互独立事件的概率的计算以及一元二次不等式的恒成立问题的求解 其中试题有一定的综合性，认真审题，合理作答是解答的关键，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.32甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1的概率；（2）设表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求的概率分布和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.据此可得相应的概率值；学 （2）的取值为0，1，2，3，计算相应的概率值可得的分布列，计算相应的数学期望为.【详解】（2）的取值为0，1，2，3，且 .同理可求得：，所以的概率分布列为:0123所以数学期望.【点睛】本题主要考查古典概型概率计算，离散型随机变量的分布列的数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.33为了整顿道路交通秩序，某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通人中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：处罚金额（单位：元）5101520会闯红灯的人数5040200若用表中数据所得频率代替概率.（1）当处罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？（2）将选取的200人