原子物理+课件03b.ppt

3.6量子力学问题的几个简例3.7量子力学对氢原子的描述,第三章量子力学初步,3.6.1无限深方势阱中的粒子,势阱内,势阱外,(连续性条件),得,则有,与本征值En对应的本征函数,3)由归一化条件,由连续条件：,综合两类结果，有,阱外x-a/2,xa/2,势阱内,或,讨论:,(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀n越大,能级间隔越大。,(3)概率密度分布不均匀当n时过渡到经典力学。,(4)一维无限深势阱中粒子的波函数是正交归一的。,(1)无限深方势阱中粒子能量是量子化的，能量，n是量子数，En是能量本征值，又称能级。E1被称为基态，其余称为激发态。,设不同能级的波函数为m和n，则有,一维无限深势阱中粒子波函数是正交归一的,3.6.2势垒穿透隧道效应,势垒隧道效应,先考虑EU0的情况,U00,III,上述各方程的解,入射反射,入射(无反射),由波函数的连续条件：,(7)(8)式代入(5)式可得：,上式代入(7)(8)式可得：,(10)(11)式代入(6)式可得：,透射率,透射波幅,反射率：,(13)(14)式表明，在量子力学情况下，即使EU0，也不是所有粒子都能通过势垒，仍有部分粒子会被反射。,反射波幅,下面我们再考虑EU或EU经典粒子一定越过或不越过势垒量子力学有透射与反射,狮子的能量大于U才能出来！,不好，狮子出来啦！,经典理论,量子理论,救命,U,U,势垒穿透(隧道效应)：,粒子将部分被势垒反射，部分穿透势垒，这被称为隧道效应或势垒贯穿。,隧道效应已完全被实验证实,人们利用这一效应制成了扫描隧道显微镜(ScanningTunnelingMicroscopy,简称STM),例,对于电子,m=9.110-31kg,若,则对不同的势垒宽度a、D的数量级如下:,a每增加1埃，D减小一个数量级。,扫描隧道显微镜1982年由G.Binnig和H.Rohrer首先研制成功。,针尖非常尖锐，接近原子尺寸。针尖与表面接近到零点几毫米时，电子波函数重叠，若加一小的直流电位差，出现隧道电流I，电流对针尖距表面距离d十分敏感，d增加0.1nm，I减小一个数量级。保持I不变，针尖的轨迹即可提供表面电子云分布或原子分布状况。,横向分辨率达到0.1nm，纵向分辨率达到0.001nm。可以分辨出表面单个原子和原子台阶、原子结构、超晶格结构、表面缺陷细节、观测活体DNA基因和病毒。,哈工大名誉教授H.Rohrer博士,1993年美国加州IBMAlmaden研究中心的研究人员，利用扫描隧道显微镜(STM)操纵原子，将48个铁原子在铜的表面排列成一个圆圈，形成量子围栏(QuantumCorral)，电子被束缚在其中，其波函数形成同心圆状涟漪。,3.6.3谐振子,1.线性谐振子定态薛定谔方程,2.波函数在的渐进行为,很大时，,2,取,3.满足束缚态边界条件的级数解,代入方程，得到u()所满足的厄米微分方程：,通解可写成,要想使(x)不发散(即满足有限条件)，u()必须中断为有限项多项式，这就必须使=2n+1(奇数),n=0,1,2,-,-厄米多项式,零点能(基态能量)为:,5.能量本征函数和宇称,线性谐振子定态波函数为,4.能量本征值和零点能,线性谐振子的位置概率密度分布,线性谐振子的波函数,讨论,1.由图可见,2.n较小时，位置的概率密度分布与经典完全不同。,随着n，如n=11时量子和经典在平均上比较符合。,例:求线性谐振子处于第一激发态时,它在什么位置出现的概率最大.,解:第一激发态波函数为,令,3.7.1氢原子的薛定谔方程,在氢原子中，电子的势能函数为：,考虑到势能是r的函数，采用球极坐标系(r,)代替直角坐标(x,y,z),由此可得球坐标中的定态薛定谔方程为：,式中,拉普拉斯算符,解此三个方程，并考虑到波函数应满足的标准化条件，即可得到波函数，并且可得到：能量量子化，角动量量子化，角动量空间量子化。,(1),(2),(3),其中和v是引入的常数。,如何用分离变量法求解氢原子的薛定谔方程？,带入上式,乘以r2/RY,并且移项,分别得,(3),代入上式,乘以,分别得,(1),(2),(3),前面已经得到,方程（1）的解为：,由波函数的单值或连续性条件有()=(+2N)，所以可知v=m2，m为整数,这样，方程（2）变为：,可以证明，为保证该方程的解为有限值，必须有=l(l+1)，其中l为正整数或零，m=l,l-1,-l。所以（2）和（3）可写为：,3.7.2量子化条件和量子数,1)能量量子化和主量子数,式中n称为主量子数.,数学推导表明，要使方程(3*)的解R(r)满足标准化条件(有限)，则能量E必须等于,能量是量子化的。,n=1时得氢原子的基态能量E1=-13.6eV,n=2，3，4，时，得氢原子的其他激发态能量。,与En相对应的径向波函数为,式中a1为玻尔半径,称为缔合拉盖尔或连带拉盖尔(associatedLaguerre)函数。,由前面导出的式子：,上式两端同时乘以,2)角动量量子化和角量子数,(4),由(4)(5)式有：,3)角动量空间取向量子化和磁量子数,式中m称为磁量子数。,角动量在空间的取向只有(2l+1)种可能,电子绕核运动的角动量的方向在空间的取向只能取一些特定的方向，即角动量在外磁场方向的投影必须满足量子化条件：,方程(1)的解为由此可推得：,综合以上结果，氢原子波函数可写为,称为球谐函数。,归一化因子,3.7.3电子概率分布,1)氢原子电子径向概率分布,2)电子概率密度分布随角度的变化,电子概率密度角分布,按光谱习惯,把l=0，1，2，3，4，5，6，,总之，稳定氢原子中电子的状态用一组量子数n,l,m来描述,各态记作s，p，d，f，g，h，i，,3.7.4总结,