【教师版本】【T】【1】数列专题1

高 中 数 学上海历年高考经典真题专题汇编专题5： 数 列1版 本 ：教师用书姓 名 ： 学 校 ： 年 级 ： 上海市重点高中讲义汇编专题5：数 列 1一、填空、选择题:1、（2016年上海高考）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，则k的最大值为_.【答案】4【解析】试题分析：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为，所以最多由4个不同的数组成.2、（2015年上海高考）记方程：x2+a1x+1=0，方程：x2+a2x+2=0，方程：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根D方程无实根，且无实根【解：当方程有实根，且无实根时，1=a1240，2=a2280，即a124，a228，a1，a2，a3成等比数列，a22=a1a3，即方程的判别式3=a32160，此时方程无实根，故选：B】3、（2014年上海高考）设无穷等比数列的公比为，若，则 .【解析】：，4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列的公比，且则【解析】：165、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则 【答案】【解析】，所以，所以6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数、除以同一个整数，所得余数相同，即，则称、对模同余，用符号表示，若，满足条件的由小到大依次记为，则数列的前项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列中，若，则满足的的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列满足，则数列的前项和的最大值为 .9、（闵行区2016届高三二模）设数列的前项和为，（），则使得（）恒成立的的最大值为 .10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列的通项公式为，则这个数列的前项和_ 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列中，首项公差若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为_12、（宝山区2016届高三上学期期末）数列，则是该数列的第 项.13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列的各项均为正整数，对于，有其中k为使为奇数的正整数. 若存在， 当nm且为奇数时，恒为常数p，则p的值为 14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列是等差数列，和是方程的两根，则数列的前项的和为_15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列中， 则数列的前10项的和等于_ _.6、9767、1288、1279、10、 11、20012、12813、1或514、15、80二、解答题1、（2016年上海高考）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得通过计算，即知不具有性质（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明 试题解析：（1）因为，所以，于是，又因为，解得（2）的公差为，的公比为，所以，但，所以不具有性质（3）证充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾学科&网必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”2、（2015年上海高考）已知数列an与bn满足an+1an=2（bn+1bn），nN*（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列an的通项公式；（2）设an的第n0项是最大项，即an（nN*），求证：数列bn的第n0项是最大项；（3）设a1=0，bn=n（nN*），求的取值范围，使得an有最大值M与最小值m，且（2，2）2、（1）解：an+1an=2（bn+1bn），bn=3n+5，an+1an=2（bn+1bn）=2（3n+83n5）=6，an是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n1）6=6n5；（2）an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（bnbn1）+2（bn1bn2）+2（b2b1）+a1=2bn+a12b1，当=1时，a2n=3，a2n1=1，M=3，m=1，（2，2），不满足条件当1时，当n+时，a2n+，无最大值；当n+时，a2n1，无最小值综上所述，（，0）时满足条件3、（2014年上海高考）已知数列满足，. (1) 若，求的取值范围；(2) 设是公比为的等比数列，. 若，求的取值范围；(3) 若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.3、【解析】：（1）依题意，又， 综上可得； （2）由已知得，又， 当时，即，成立 当时，即， ，此不等式即， ， 对于不等式，令，得，解得， 又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立综上，的取值范围为（3）设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，则由已知得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差4、（虹口区2016届高三三模）若数列满足则称为数列.记（1）若为数列,且试写出的所有可能值； （2）若为数列，且求的最大值； （3）对任意给定的正整数是否存在数列使得若存在，写出满足条件的一个数列；若不存在，请说明理由.4、解：（1）满足条件的数列，及对应的分别为：（i） 0, 1, 2，1, 0. (ii) 0, 1, 0，1, 0. （iii） 0, 1, 0，-1, 0. (iv) 0, -1, -2，-1, 0. （v） 0, -1, 0，-1, 0 . (vi) 0, -1, 0, 1, 0. 因此，的所有可能值为： 5分(2) 由于为数列，且故n必须是不小于3的奇数. 7分于是使最大的为： 9分这里 并且 因此， 11分（3）令于是由得 为偶数，所以于是要使即亦即 14分（i）当时，数列的项在满足： 时， 16分 (ii)当时，数列的项在满足：时 18分5、（静安区2016届高三二模）已知数列满足（），首项（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和；（3）数列满足，记数列的前项和为，是ABC的内角，若对于任意恒成立，求角的取值范围5、（1）数列满足（），为常数，2分数列是等差数列，首项为，公差为4分 6分（2）10分 （3）数列满足，则，11分 因此有： = 13分 由题知ABC中，恒成立，而对于任意，成立，所以即， 16分又，即，即 18分 6、（闵行区2016届高三二模）已知,数列、满足:,记（1）若，求数列、的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）定义，证明：若存在，使得、为整数，且有两个整数零点，则必有无穷多个有两个整数零点6、（1）， 2分，由累加法得 4分6分（2）8分是公差为1的等差数列11分(3)由解方程得：，由条件，两根为整数，则必为完全平方数，不妨设， 12分此时为整数，和具有相同的奇偶性，13分由（2）知是公差为1的等差数列，取 15分此时和具有相同的奇偶性，和具有相同的奇偶性， 17分所以函数有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个有两个整数零点.18分7、（闸北区2016届高三二模）已知数列 ，为其前项的和，满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，求证：当时；（3）已知当，且时有，其中，求满足的所有的值7、解：（1）当时，又 ，所以 5分 (2)、 ， 6分：数学归纳法 时， 1分 假设时有 1分 当时， 是原式成立 由可知当时； 4分(3)、（理）， 相加得， 4分时，无解又当时；，时，；时，时，为偶数，而为奇数，不符合时，为奇数，而为偶数，不符合综上所述或者 4分(3)、易知，否则若，则，与矛盾 因为函数的定义域为，所以恒不为零，而的值域为，所以，又时，与矛盾，故 且， 即有。 8分8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知正项数列，满足：对任意，都有，成等差数列，成等比数列，且，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列，的通项公式；（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围8、（1）由已知， , ， 1分由可得， ， 2分将代入得，对任意，有，即，所以是等差数列 4分（2）设数列的公差为，由，得，6分所以，所以， 7分所以， 8分所以， 9分 10分（3）解法一：由（2）， 11分所以，13分故不等式化为，即当时恒成立， 14分令，则随着的增大而减小，且恒成立. 17分故，所以，实数的取值范围是. 18分解法二：由（2）， 11分所以，13分故不等式化为，所以，原不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立， 14分设，由题意，当时，恒成立； 15分当时，函数图像的对称轴为，在上单调递减，即在上单调递减，故只需即可，由，得，所以当时，对恒成立综上，实数的取值范围是 18分9、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列. (1)求证：数列是等比数列；(2) 若，当时，求数列的前项和的最小值；（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由9、解：(1) 证：由题意，即， -2分. 常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列. -4分 (2) 当时， , ，-6分所以-8分因为,所以，是递增数列，因而最小值为。-10分(3) 由(1)知，要使对一切成立，即对一切成立. -12分 当时，对一切恒成立；-14分当时，对一切恒成立，只需，-16分单调递增，当时，. -17分，且， . 综上所述，存在实数满足条件. -18分10、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列的前项和记为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列” (1)、若数列的通项公式，判断是否为“H数列”；（2）、等差数列，公差，求证：是“H数列”；（3）、设点在直线上，其中，若是“H数列”，求满足的条件10、解析:（1） 当时， 1分 是奇数，是偶数 2分 3分 不是“H数列” 4分 （2） 6分 对任意，存在使，即 8分 是一奇一偶，一定是自然数 10分 （3）时 ， 12分 13分 14分 时， 不恒成立 显然不是“H数列” 15分 时 16分 是“H数列”，所以对任意时,存在成立 , 的正实数 18分11、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列的前n项和为，且 （1） 计算 并求数列的通项公式；（2） 若数列满足求证：数列是等比数列； （3）由数列的项组成一个新数列：. 设为数列的前n项和，试求的值.11、解：（1）当时，由得 由得当时，由得当时，由得 猜想： (3分)下面用数学归纳法证明： 当时， 结论显然成立； 假设当时，由条件知故于是故数列的通项公式为： (6分)另解（1）：当时，由得 由得当时，由得当时，由得 (2分)当时，由条件知故于是 (4分)故 于是数列的通项公式为：(6分)证：（2）当时， 当时，由条件得 从而 故数列是以1为首项，2为公比的等比数列. (10分)解：（3）由题意，得从而 (16分)注：在解答第（3）小题时，可直接求出.12、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知，是由（）个整数，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），是，按从大到小的顺序排列而成的数列，记 （1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列 （2）写出（），并用含的式子表示（3）利用，证明：及（参考：）12、证明（1）若（），则有，于是（2分）当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数，因为，均为正整数，所以不存在满足（）的数列4分解（2）（）（6分）因为，于是（10分）证明（3）先证 ，这里，（），因为，为从到按任意次序排列而成，所以，为从到个整数的集合，从而，（12分）于是由，得，因此，即（14分）再证由，得16分因为，即，所以，即（18分）13、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行