垂径定理知识讲解（提高）

3.52垂径定理知识讲解（提高） 【学习目标】1 理解圆的对称性；2 掌握垂径定理及其推论；3学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4） 圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1. 如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则O的半径是 【答案】.【解析】作OMAB于M、ONCD于N，连结OA， AB=CD，CE=1，ED=3， OM=EN=1，AM=2，OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，O两弦AB、CD垂直相交于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半径 【答案】如图所示，过点O分别作OMAB于M，ONCD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB， ， ， 在RtBOM中，【变式2】如图，AB为O的弦，M是AB上一点，若AB20cm，MB8cm，OM10cm，求O的半径.【答案】14cm.2. 已知：O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】 在O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M， 并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO. ABCD ONCD，即ON为弦CD的弦心距. AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm， =8+6 =14(cm) 图1 图2 (2)如图2所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在O中，直径MNAB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_【答案】2或8类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h8mm(如图所示)，求此小孔的直径d 【思路点拨】 此小孔的直径d就是O中的弦AB根据垂径定理构造直角三角形来解决【答案与解析】过O作MNAB，交O于M、N，垂足为C，则，OCMCOM853mm在RtACO中，AC， AB2AC248mm答：此小孔的直径d为8mm【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 不过圆心的直线l交O于C、D两点，AB是O的直径，AEl于E，BFl于F (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OAOB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论 【答案与解析】(1)如图所示， 在图中AB、CD延长线交于O外一点；在图中AB、CD交于O内一点； 在图中ABCD (2)在三个图形中均有结论：线段ECDF (3)证明：过O作OGl于G由垂径定理知CGGD AEl于E，BFl于F， AEOGBF AB为直径， AOOB， EGGF， ECEGCGGFGDDF【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【巩固练习】一、选择题1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在O上，AC=BC，CD平分ACB，交圆O于点D， 下列结论：CD是O的直径；CD平分弦AB；CDAB其中正确的有（）A2个 B3个 C4个 D5个2下面四个命题中正确的是( )A平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（ ） A2 B.3 C.4 D.5 第3题 第5题 第6题4O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是、，则BAC的度数为( ) A15 B45 C75 D15或755“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为O的直径，弦ABCD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长.依题意，CD长为( )A寸 B13寸 C25寸 D26寸 6如图，EF是O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（ ）A3cmB4cmC8cm D6cm二、填空题7如图，O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是_8如图，P为O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，O的半径为5，则OP=_ 7题图 8题图 9题图9如图，O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则O的半径等于_cm10圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为，那么B点的坐标为_11在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OEAB，F为OE的中点，CDAB，则弦CD的长为 AEOFBP (第12题)12如图，点A、B是O上两点，AB=10，点P是O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F，则EF= .三、解答题13.如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，CD=15，求弦AB和AC的长 14如图所示，C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PEBC于E，若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长15如图所示，已知O是MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：PB=PD.若角的顶点P在圆上或圆内，中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.如图，点M，N分别是、的中点，且MN交AB于D，交AC于E，求证：ADE是等腰三角形. 【答案与解析】一、选择题1【答案】D 【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2【答案】D【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3【答案】B 【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在RtODH中，则，由此得R=， 所以AB=3.故选 B.4.【答案】D 【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.5【答案】D【解析】连结AO， CD为直径，CDAB， 设O半径为R，则OER1RtAOE中，OA2AE2+OE2， R252+(R-1)2， R13， CD2R26(寸)故选D6【答案】D 【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.二、填空题7【答案】28【答案】9【答案】 10【答案】 【解析】因为y轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y轴对称，则B.11【答案】.【解析】连接OC,易求CF= CD=.12.【答案】5.【解析】易证EF是APB的中位线，EF=三、解答题13.【答案与解析】连结OA，CD=15，OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，14.【答案与解析】因为C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CDAB.由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，设则解得，.15.【答案与解析】（1）证明：过O