陈兆华--数学思想方法

数学思想方法苏州市教育科学研究院 陈兆华一、特殊与一般例1 已知集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1例2 1985个点分布在一个圆周上，每个点标上1或1一个点称为“好点”，如果从这点开始，依任一方向绕圆周前进到任何一个点时，所经过的各数之和都是正的证明：如果标有1的点少于662个时，圆周上至少有一个“好点”例3 设f(n)是定义在所有正整数上且取正整数值的函数，对所有正整数m，n，有f f ( m ) + f ( n ) = m + n，求f(n)二、数形结合例4 函数的最大值是_例5 求出所有实数t，使得存在正实数x，y，z满足三、推理与构造例6 设，证明：，其中表示的整数部分例7 已知n（n2）为确定的自然数，k1，k2，kn是正整数，且k13 + k23 + + kn3 7n，求k1 + k2 + + kn 的最大值（2000波兰）例8 设实数a，b，x，y满足方程组求的值例9 设有两个有理数的n元集合（元素允许重复），a1，anb1，bn假设集合 ai + aj | 1i jn = bi + bj | 1i jn ，证明n是2的方幂 例10 证明：有无穷多个正整数n具有下面的性质：若p是n2 + 3的素因子，则对于满足k2 n的某个整数k，p也是k2 + 3的因子例11 对于一个正整数n，如果一个0 - 1序列有n个0和n个1，则称这个序列是“平衡”的对于两个平衡序列a和b，如果你能移动a中的某一个数到其他位置后得到b，则称a与b是“相邻”的例如，当n = 4时，平衡序列a = 和b = 是相邻的，因为a中的第2个（或第3个）0移到第7个（或第8个）位置后就得到b证明：存在一个至多包含个平衡序列的集合S，使得每一个平衡序列或者等于S中的一个序列，或者至少与S中的一个序列相邻四、数学归纳法1第一数学归纳法例12 设正数数列an满足an2anan1，证明2起点与跨度例13 设n为不少于3的自然数，证明可将一个正三角形分成n个等腰三角形3跷跷板归纳法例14 用Fn表示斐波那契数列的第n项，证明：4加强命题例15 设0a1，定义a11a，n1，证明：an15转化命题例16 已知a1 = a2 = 1，试证：对一切，an皆为整数6第二数学归纳法例17 平面内有有限个点构成一个集合，其中每个点的坐标均为整数可不可以把此集合中的某些点染成红色，而其余的点染成白色，使得与纵横轴平行的每一条直线L上所包含的红、白点的个数至多相差1个？例18 对于正整数n，设C(n)为用2的幂之和表示n的方法数，这里2的幂是按非增顺序排列的，而且在和式中使用每个2的幂不能超过3次例如，8用2的幂的和表示的方法数有5种：8，4 + 4，4 + 2 + 2，4 + 2 + 1 + 1，2 + 2 + 2 + 1 + 1证明或否定，对所有的正整数n，有一个多项式P(n)，使得C(n) = P(n) ，这里的u表示不超过u的最大整数练习：1 有10层台阶，若每次可以上一层或二层，则共有多少种上法？2 证明：对于任何自然数n，不定方程都有正整数解3 求ux2 - x + 1 +的最小值4 设x，y是正实数，求u的最小值5 已知a，b均为正整数，且ab，（0），求证：An为整数6 求证：任一正方形可以剖分成多于5个的任意个数的正方形7 已知a，b为正实数，且，试证：（）8 设有2n个球分成了许多堆，我们可以任意选取甲、乙两堆作如下挪动：若甲堆的球数p不少于乙堆的球数q时，就从甲堆中拿出q个球放入乙堆，这称为一次挪动证明：可以经过有限次挪动，把所有球并成一堆9 设f(x)是定义域、值域均为R的函数，且对任意实数a，b，均有，求