初中数学教学与数形结合思想方法的培养

初中数学教学与数形结合思想方法的培养蒋鹏 （甘肃省临夏县红台中学 邮编）摘 要数形结合是一种重要的数学思想方法，在初中数学的实数、不等式、函数及其图像，平面几何内容的教学中充分渗透数形结合思想，培养学生形成见数思图，见图想数的思维品质，能更直观简捷地解决许多问题。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则，函数从“数”与“形”的角度反映了同一个个问题中两面三刀个变量之间的依赖关系。在教学时，为了加深七年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。初中平面几何是一些简单图形的集合体，主要研究的图形有角、点、直线、三角形、四边形、圆等。主要内容为这些简单图形所具有的性质，判定方法及其应用，而这些内容的学习却是从数量间的某种关系入手，得出图形具有某种性质，或者观察图形的某些组成元素研究它们之间存在的数量关系，所以，在平面几何的学习中，处处闻不开数形结合思想的应用关键词数形结合思想 数量关系 几何图形 图像数学知识的教学有两个条件：一是明线，即数学知识；二是暗线，即数学思想方法。这次基础教育课程改革后，新教材的编排中加入了很多“探究”活动和“讨论”，“思考”等内容，倡导以探究性学习和创新性学习为主的学习模式，这说明新教材更加注重了学生学习方式的转变和数学思想方式的培养，并且数学教学大纲把教学的精髓数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举，数学思想方法既是数学的基础知识，也是知识的精髓，更是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。数学家华罗庚说得很好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。这句话充分说明了数形结合思想方法的重要性，所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合，把抽象思维和形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把抽象的数量关系转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，从而解决与数量关系的数学问题；或者把图形见的特定关系转化为相关元素的数量计算，进一步研究几何图形的特征与性质的一种思想方法，简言之，数形结合思想方法即就是通过数与形的灵活转换，相互作用，进而解决问题的一种思维方式，数形结合思想方法能发扬数之长，取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合、相映生辉。数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。特别是在实数、不等式、函数及其图像、平面几何等内容的学习中，数形结合思想起着举足轻重的作用，本人就对上述内容进行教学时，如何渗透与应用数形结合的思想方法谈谈个人的体会。一、 实数内容体现数形结合思想数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的力量源泉，由于对每一个实数、数轴上却有唯一确定的点与它相对应，因此，两个实数大小的比较是通过这两个实数在数轴上的对应点的位置关系进行的相反数、绝对值概念，则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻画的，所以，在教学中要提醒学生，尽管我们学习的是实数，但要时刻牢记他的形（数轴上的点）通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则，这样在做有些习题时，如果应用了数形结合思想，就会使复杂问题简单化，抽象问题具体化。既能达到优化解题过程，又能直观地解决问题的目的。例1：若a0，b0.且ba试比较-a，a，b，-b的大小了。 在解决这个问题时，学生可以直接从数的角度去思考，因为a0，b0所以-a0，-b0，但做到这一步后，学生对-a与b，a与-b谁大谁小，就有一定的困难，当然也可以用特殊值代入法解决，但七年级学生接受这种方法还是带有困惑，所以解决这个问题困惑，数形结合方法的应用会得到很好的效果，可以引导学生，根据问题中的条件，先在数轴上确定出a，b的位置，然后根据a与-a，b与-b是相反数的关系。再确定出-a，-b在数轴上的位置，这样，根据这四个数在数轴上的位置，可以很快地确定出它们的大小了。 -b a 0 -a b 即-ba-ab，这里应用数形结合的解决方法，几乎达到了“图形一画出，答案自然来”的效果。 例2.在数轴上表示出所对应的点。 这个题本身就是数形转换的问题，我们知道是一个无理数，不能与1.732共同对待，那么学生直接找出一个无限不循环的数所对应的点是一个很抽象、棘手的问题，这时数形结合就显得优为重要，我们在数轴正半轴上以原点为圆心截取2个单位长的线段0A，作AM0A，在AM上截取AB=1，则OB的长就是，所以以O为圆心，以OB为半径画弧与正半轴相交于点C，点C即为所求。二、不等式内容蕴藏着数形结合思想 义务教育新课标教材数学七年级下册第九章内容是“一元一次不等式和山一元一次不等式组”，一元一次不等式的解法虽然与一元一次方程的解法相似，但学生不易理解一元一次不等式的解集有无数个，在教学时，为了加深七年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解，另外，还有一些习题，它要求通过数轴上表示的点的位置去求要用的取值范围或具体值。这里却蕴藏着数形结合的思想方法，在数轴上表示数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步，确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。 例3：解不等式23x-1-4，并把它的解集在数轴上表示出来。这道题，看重考察学生对数形结合思想方法的应用，就是把X所代表的数量关系用图形（数轴）形象直观地去反映，解题过程较简单，在此不再详解。 例4：关于x的不等式3x-2A-2的解集如图所示，则A的值是 。 。 。 。 -1 0 1此题是不等式中数形结合思想方法应用的一个典型，它通过形来反映了不等式的解集，即x-1，有了这个信息，我们就可以考虑解出不等式3x-2A-2的解集，即x=（-2+2A）/3，再通过表示数x的值之间的关系，（-2+2A）=-1，既可得出A=-1/2，这里主要运用了由数到形，再由形到数的思想，通过二者有机地结合，问题得到了解决。三、函数及其图像内容凸显了数形结合思想在研究函数的性质，求解与函数有关的问题时，数形结合思想优为重要，由于在直角坐标中，有序实数对（x,y）与点p的一一对应，使函数与其图象的结合成为必然。一个函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法。这三种方法从不同的角度刻画了函数的特征，图象从形的角度直观反映了函数的一些性质和特点，表格和解析式从数量关系的角度反映了函数的性质，这说明函数从“数”与“形”的角度反映了同一个个问题中两面三刀个变量之间的依赖关系。因此函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法，数学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，培养“以形助数”或“以数解形”的思维立法，很多问题便迎目而解，且解法简捷，将会收么事半功倍的效果。例5：一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则k_，b_。这个题我们仅从数的角度考虑是无法得出结果的，所以，在解题时，引导学生先画出符合题意的图象， y如图所示，再复习k,b与函数图象的联系，通过k确定函数的增减性 ， b确定函数与y轴交点的位置这一性质， x可很快得出k0,b0。 y=kx+b 例6：点（-1，b），（-2，c）,(1, d)是反比例函数y=(-n2-1)x上的点，试比较b,c,d的大小。这里b,c,d分别是-1，-2，1所对应的b,c,d值，很显然，通过解析式，计算出b,c,d，再进行比较是可行的，但比较繁索，我们如果运用数形结合思想，通过y=(-n2-1)x的图象及其性质进行分析，这个题会一目了然，因为y=(-n2-1)x有图象分布在二、四象限，并且y随x的增大而增大。点（-1，b），（-2，c）却在第二象限，函数值b,c却大于0，而（1，d）在第四象限，d0,这样分析。很快会得出bcd。例7：二次函数y=6x2-bx+c与x轴的交点为（-3，0），（1，0）。求6x2-bx+c0的解集。学生见到这样的题，往往会这样做利用已知条件，先求出b,c的值，进一步解出不等式的解集，这是只从数的角度去解决问题，方法可行，但用时大多，如果换一个思考方式，把6x2-bx+c0看作点，函数y=6x2-bx+c的函数值大于等于零时，求x的取值范围，这个问题就很简单了，因为y=6x2-bx+c的图象开口向上，且与x轴和交于（-3，0），（1，0）所以，函数值大于零，就是指图象有x轴上方的部分，因此x-3或x1。这里，数与形的结合使问题得到了更加完美的诠释。四、平面几何离不开数形结合思想初中平面几何是一些简单图形的集合体，主要研究的图形有角、点、直线、三角形、四边形、圆等。主要内容为这些简单图形所具有的性质，判定方法及其应用，而这些内容的学习却是从数量间的某种关系入手，得出图形具有某种性质，或者观察图形的某些组成元素研究它们之间存在的数量关系，所以，在平面几何的学习中，处处闻不开数形结合思想的应用。如著名数学家拉格朗日所言：“只要代数与几何分道扬镳，它们的应用就狭窄，但当两门学科结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”在平面几何中，数形结合的思想方法主要指代数问题与几何问题的互相转化，主要的思维方式就是要使抽象的式子形象化，直观的图形数量化，在学习两条直线的位置关系时，就有两条直线相交得到的对顶角相等，如果两直线平行，那么内错角相等；反过来，如果内错角相等，那么两直线平行，这里却体现了形数形的过程。这种数形转换的方法是研究图形问题的基本方法。图形中蕴含着数量关系，一定的数量关系决定图形特殊的形状和位置。通过数与形的转换，一方面使图形的特征及关系刻画的更加精确和准确，另一方面使抽象的的概念和具体形象相互联系，相互补充，相互转化。例8：如图，已知ABCD,B=120D=140,求E的度数和。分析：要求E的度数（数的大小），就要寻找已知条件与E之间的关系，直接不易求，可考虑作辅助线（形的变化）解：过点E作EFAB A BABCD(已知) EFCD(平行公理)（由形到形） E -FBEF=D(由形到数)BED360-BEF-DEF C D=360-B-D=100（由数到数）勾股定理作为一个数量化的几何定理，通过直角三角形三条边的数量关系，刻画了直角三角形的性质，成为几何问题代数化的一个有力工具，较好地诠释了数形结合的核心内容，另外，利用勾股定理的逆定理可以判断一个角是否为直角，如果三角形的三条边的长度为a b c 满足a2+b2=c2 ,那么C是直角，这是一种将数化为形，以数助形的方法。例9：如图，南北向MN以西为我国领海，上午9时90分，我走私再廷A发现正方向有一走私艇C以13海里时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B， A N E C 已知，A,C两艇的距离为13海里，A,B两艇的距离为5海里；若走私 艇C的速度不变，最早会在什么时 B M间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下列“子问题”：ABC是什么类型的三角形？走私艇C进入我领海的最近距离是多少？走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解了。解：设MN交AC于E，则BEC=90，又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，ABC是直角三角形，ABC=90，又MNCE，走私艇C进入我国领海的最近距离是CE，则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，CE=14413，1441313=1441690.85（小时），0.8560=51（分），9时50分+51分=10时41分。答：走私艇最早在10时41分进入我国领海。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两个基础概念，在数学研究中，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，“数以形而直观，形以数而入微”，这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述，数形结合的方法作为数学学科里最常用的一种方法，在教学中应充分调动学生的积极性，在课堂教学中要通过数形结合的教学培养学生的思维品质，让学生学到数形结合的方法。估得注意的是，数形结合的教学应当循序渐进，应与学生的认知水平相适应，按照反复孕育渗透，初步形成，应用发展，系统整理的顺序逐步完成，在不同的教材中提出不同的教学要求，落实到学生的认知活动中去，教师精心设置，并注重与其它的方法综合应用，并让学生置