2016复变函数与拉氏变换 作业题 答案

复变函数与积分变换试题复变函数与积分变换试题 答案答案 一一 判断正确与错误（每题判断正确与错误（每题 3 分）分） 1 若( , )u x y与( , )v x y都是调和函数， 则( )( , )i ( , )f zu x yv x y是解析函数。 （ ） 2因为|sin| 1z ，所以在复平面上sin z有界。 （ ） 3若( )f z在 0 z解析，则 ( )( )n fz也在 0 z解析。 （ ） 4对任意的z， 2 Ln2Lnzz （ ） 二二 填空（每题填空（每题 3 分）分） 1 i 22i ， i arg 22i 。 2ln( 3i) ， i i 。 3. 在 映 照 2 ( )24f zzz下 ， 曲 线C在iz 处 的 伸 缩 率 是 ，旋转角是 。 4.0z 是 2 4 1 e z z 的 阶 极 点 ， 2 4 1 Re ,0 z e s z 。 三三 解答题解答题（每题 7 分） 1. 设 2222 ( )i()f zxaxybycxdxyy。 问常数, , ,a b c d为何值时( )f z在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 2. 求 1 3 ( 1)的所有三次方根。 3 2 d C zz 其中C是0z 到34iz 的直线段。 4 | | 2e cos d z z zz 。(积分曲线指正向) 5 | | 2 d (1)(3) z z z zz 。(积分曲线指正向) 6 将 1 ( ) (1)(2) f z zz 在1 | 2z上展开成罗朗级数。 7.求将单位圆内| 1z 保形映照到单位圆内| 1w 且满足 1 ( )0 2 f， 1 arg( ) 22 f 的分式线性映照。 四四 解答题解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题各 9 分） 1求 0 0 ( ) e 0 kt t f t t （k为正实数）的傅氏变换。 2. 设 22 ( )ee sin6( ) tt f ttttt , 求( )f t的拉氏变换。 3. 设 22 1 ( ) (1) F s ss ，求( )F s的逆变换。 4. 应用拉氏变换求解微分方程 23e (0)0, (0)1 t yyy yy 复变函数与积分变换试题答案复变函数与积分变换试题答案 一一 判断正确与错误（每题判断正确与错误（每题 3 分）分） 1 若( , )u x y与( , )v x y都是调和函数，则( )( , )i ( , )f zu x yv x y是解析函数。（） 2因为|sin| 1z ，所以在复平面上sin z有界。 （） 3若( )f z在 0 z 解析，则 ( )( )n fz 也在 0 z 解析。 （） 4对任意的z， 2 Ln2Lnzz （） 二二 填空（每题填空（每题 3 分）分） 1 i2 22i4 ， i3 arg 22i4 。 2 ln( 3i)ln3i 2 , 2 i 2 ie k 。 3.在映照 2 ( )24f zzz下，曲线C在iz 处的伸缩率是4 2，旋转角是 4 。 4.0z 是 2 4 1 e z z 的3阶极点， 2 4 1 e4 Re ,0 3 z s z 。 三三 解答题解答题（每题 7 分） 4. 设 2222 ( )i()f zxaxybycxdxyy。 问常数, , ,a b c d为何值时( )f z在 复平面上处处解析？并求这时的导数。 解: 因为2 u xay x ,2 u axby y ,2 v cxdy x ,2 v dxy y ,(2 分)则 对任意的( , )x y有 uv xy uv yx 即 22 22 xaydxy axbycxdy (1 分) 可得: 2,1adbc (2分). 这时, ( )i2()2i()22i uv fzxyxyzz xx 或(2 分) 5. 求 1 3 ( 1)的所有三次方根。 解: 1 3 2 +12 +1 ( 1)cos+isin 0,1,2 33 kk k (4 分), 0 13 cos+isin=+i 3322 w , 1 cos+isin = 1w , 2 5513 cos+isin= i 3322 w (3 分) 3 2 d C zz 其中C是0z 到34iz 的直线段。 解: 原式 33 32 23 4i3 4i 00 (34i) d (2 33 z zz 分分 分)或 原式 3 41 3 23333 0 0 444 (1i) d(1i) 9(1i) (2 3333 x xx 分分 分) 4 | | 2e cos d z z zz 。(积分曲线指正向) 解:原式=0. (7 分) 5 | | 2 d (1)(3) z z z zz 。(积分曲线指正向) (2 01 2i Res ,0Res , 1 (3 11i 2ilimlim(2 (1)(3)(3)6 zz ff zzz z 分) 解: 原式分) =分) 6 将 1 ( ) (1)(2) f z zz 在1 | 2z上展开成罗朗级数。 11 0 111 (1 (33 212 n nn n z zzz 解: 原式分)=-分) 7.求将单位圆内| 1z 保形映照到单位圆内| 1w 且满足 1 ( )0 2 f， 1 arg( ) 22 f 的分式线性映照。 i 1 2 ( )e(4 1 1 2 z wf z z 解: 设分),则 i 14 ( )e(2 232 f 分),故 21 i(2 2 z w z 分). 四四 解答题解答题（1,2,3 题各 6 分, 4 题 9 分） 1求 0 0 ( ) e 0 kt t f t t （k为正实数）的傅氏变换。 i(i) 0 0 11 ( )eed (2e ii kttkt Ft kk 解: 分). 3. 设 22 ( )ee sin6( ) tt f ttttt , 求( )f t的拉氏变换。 322 116 ( )1 (1,2,2,1) (1)(2)36 F s sss 解: 分 6. 设 22 1 ( ) (1) F s ss ，求( )F s的逆变换。 (1) 22 11 ( ) sin (2.5,2.5) 1 F stt ss 分 -1-1-1 解: LLL分 4. 应用拉氏变换求解微分方程 23e (0)0, (0)1 t yyy yy 2 1 ( )(0)(0)2( )(0)2 ( ) , (3) 1 s