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文档简介
一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1、学会用韦达定理求代数式的值。2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。3、理解并掌握应用韦达定理构造方程,解方程组。4、能应用韦达定理分解二次三项式。知识框图 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组根公式 二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理:对于一元二次方程,如果方程有两个实数根,那么说明:(1)定理成立的条件(2)注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处(1)计算对称式的值例 若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 解:由题意,根据根与系数的关系得:(1) (2) (3) (4) 说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:,等等韦达定理体现了整体思想【课堂练习】1设x1,x2是方程2x26x30的两根,则x12x22的值为_2已知x1,x2是方程2x27x40的两根,则x1x2 ,x1x2 ,(x1x2)2 3已知方程2x23x+k=0的两根之差为2,则k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3,则a= ;5若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为 ;6 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根,求下列各式的值:(1)x12x2+x1x22 (2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(2)构造新方程理论:以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5 xy=6 解:显然,x,y是方程z2-5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2显然,此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。解:设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2由题意知k2-4220,k4或k-4 为所求。【典型例题】例1 已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论解:(1) 方程两实根的积为5 所以,当时,方程两实根的积为5(2) 由得知:当时,所以方程有两相等实数根,故;当时,由于 ,故不合题意,舍去综上可得,时,方程的两实根满足说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足例2 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解:(1) 假设存在实数,使成立 一元二次方程的两个实数根 , 又是一元二次方程的两个实数根 ,但 不存在实数,使成立 (2) 要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在 (2) 本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根,则的值为()ABCD3已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且OA、OB的长分别是关于的方程的根,则等于()ABCD4若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是()ABCD大小关系不能确定5若实数,且满足,则代数式的值为()ABCD6如果方程的两根相等,则之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根,则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1,则的值是 _ 9设是方程的两实根,是关于的方程的两实根,则= _ ,= _ 10已知实数满足,则= _ ,= _ ,= _ 11对于二次三项式,小明得出如下结论:无论取什么实数,其值都不可能等于10您是否同意他的看法?请您说明理由12若,关于的方程有两个相等的的正实数根,求的值13已知关于的一元二次方程(1) 求证:不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;(2) 若方程的两根为,且满足,求的值14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时,方程存在两个正实数根?(2) 当矩形的对角线长是时,求的值B 组1已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围;(2) 是否存在实数,使方程的两实根互为相反数?如果存在,求出的值;如果不存在,请您说明理由2已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证:关于的方程有实数根3若是关于的方程的两个实数根,且都大于1(
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