小升初数学-第26讲-数论问题

第26讲 数论问题【知识概述】 数论是研究整数性质的一个数学分支。常常涉及整数的整除性、带余除法、奇偶性、质数与合数、因数与倍数、整数的分解与分析等。主要是用些枚举法和归纳法分析解答数论问题。【典型例题】例1 两个连续奇数之积是，这两个奇数之和是多少？【思路导航】两个连续奇数积是 ，由分解质因数知，即有两个数333 和335 的积是。解：分解质因数333335所以两个连续奇数是333、335333335668答：这两个奇数之和是668例2 利用19中的数，分别组成（1）两个能被3整除的五位数 、 ；（2）两个能被9整除的三位数 、 ；（3）两个能被11整除的四位数 、 。【思路导航】1整除的意义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数（余数为0），我们就说a能被b整除，b能整除a，a叫做b的倍数,b叫作a的因数。 2能被2、5、4、25、3、9、11整除的数的特征(1)一个整数的个位上是0、2、4、6、8中的某个数，这个整数能被2整除。 (2)一个整数的个位上是0、5中的某一个数，这个整数能被5整数。 (3)一个数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。(4)一个整数的所有数位的数字和是3的倍数，这个整数能被3整数。(5)一个整数的所有数位的数字和是9的倍数，这个整数能被9整数。(6) 一个整数的奇数位和偶数位数字和之间的差是11的倍数，这个整数能被11整数。 解：（1）12345 12348 (2) 459 279 (3) 4279 9273例3 已知两个数的和是150，它们的最大公因数是5，求这两个数。【思路导航】 因为这两个数的最大公因数是5，假设有两个数，且A、B互质，有因为这两个数的和AB150 ，即，有，即有：解：假设有两个数， 因为这两个数的和是150（且a、b互质） ； ； ；答：这两个数是5和145，或35和115，或55和95，或65和85例4 有三个质数，它们的倒数之和是，求这三个质数的和。【思路导航】三个质数的倒数之和，即有三个质数A、B、C，由于三个不同质数的倒数和是，可以知道A、B、C的最小公倍数是182。根据因式分解知道A、B、C分别是多少。解： 根据因式分解 且所以这三个质数分别是2、7、13答:这三个质数的和是22例5 从1到500的自然数中，完全平方数一共有几个？【思路导航】形如,是完全平方数，如：1，4，9，16，25 是完全平方数。解：由于 ， 484500529 答：从1到500的自然数中，完全平方数一共有22个例6 甲、乙、丙三个数的和等于235，甲比乙大80，丙比甲小90，甲、乙、丙三个数的最大公因数是多少？【思路导航】根据甲、乙、丙三个数之间的关系，用方程可以求出甲、乙、丙。再用短除法求这三个数的最大公因数。解：设甲数是，则乙数是，丙数是。 乙数：135-8055 丙数：135-9045 （135，55，45）5 答：甲、乙、丙三个数的最大公因数是5。【我能行】1可以分成三个质数之积的最小的三位数是几？2（09名校联考），求a和b的最大公因数和最小公倍数？3（08名校联考）在6、3、5、0、8、7这六个数中选中五个数组成一个同时被2、3、5整除的最小五位数是什么？4、三个自然数的乘积是84，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数？5甲、乙两个数，它们的最大公约数是9，这两个数的和是45，求这样的两个数？6筐里有苹果96个，如果不一次全拿出，也不一个个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有多少种不同的方法？ 7甲数比乙数大5，乙数比丙数也大5，三个数的乘积是6384，求这三个数分别是多少？8在内填上适当的数，使五位数297能被12整除。【我试试】1495、278、371这三个数，都能用同一个数 去除，它们的余数相同。29216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_ _。312000这2000个整数中，既不是平方数，又不是立方数的有多少个？4（06年名校联考）在甲、乙两数，它们即不是倍数关系，又不是互质数，两数的最小公倍数是294，如果甲数为49，那么乙数是多少？5四只同样