一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件

1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 宝鸡文理学院学报(自然科学版 ) , 第27卷,第1期,第36238页,2007年3月 Journal of Baoji University of Arts and Sciences (Natural Science) ,Vol. 27 ,No. 1 ,pp. 36238 ,Mar. 2007 一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件 3 杨亚强,于建伟 (宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡721007) 摘 要:目的 解决判断一个不可约矩阵为H矩阵的条件。方法 采用逻辑推理的方法进行了证 明。结果 得到了当矩阵为不可约时,判断其为H矩阵的条件。结论 此结果对于控制系统的稳定性、 特 征值分布、 线性方程组迭代解等方面都具有重要的理论意义。 关键词:非奇异H矩阵;对角占优;不可约矩阵 中图分类号:O246 文献标识码:A 文章编号:100721261(2007)0120036203 A critical condition for the matrix as nonsingularH2matrices YAN G Ya2qiang ,YU Jian2wei (Dept. Math. , Baoji Univ. Arts diagonal dominance ;irreducible matrix MSC 2000 :47A05 ;47B65 1 引言 非奇异H2矩阵是一类范围较广的特殊矩阵,它在 数学物理迭代法的收敛性、 控制系统的稳定性、 特征值 分布、 线性方程组迭代解等方面有重要作用,特别是在 线性方程组的讨论中往往假设系数矩阵是非奇异H矩 阵,因为对于许多经典迭代法中的迭代矩阵对于H矩 阵都是收敛的。 因而简捷、 迅速地判定一个矩阵是否是 H矩阵,便成为理论和应用中一个十分有意义的问题。 但是实际上用定义是很难判断的,在文献1中给出了 判定H矩阵的充分条件,本文以文献1给出的判定条 件为基础,进一步给出在不可约的条件下矩阵为H矩 阵的判定条件。 定义1 2 设Mn(C)为n阶复矩阵的集合, Mn( R)为n阶实矩阵的集合, A = (aij)Mn(C) Ri(A) = ji aij i , j = 1,2, n , 若aii Ri(A) iN ,则称A为严格对角占优 矩阵,记为AE;若存在正对角矩阵X,使得AXE, 则称A为拟严格对角占优矩阵 (A 为非奇异H矩阵)。 定义22 设n(n 1)阶矩阵A = (aij)C nn 是 不可约的,当且仅当对任何ij ,或者aij0,或者存在 i1,i2,imN ,使得下式成立:aii1ai1i2aim-1imaimj0。 引理12 设A为不可约矩阵, X为正对角矩阵, 若有B = AX,则B也为不可约矩阵。 引理2 若A为不可约对角占优矩阵,则A为非奇 异H矩阵。 证明 若A为不可约对角占优矩阵,则显然aii 0(i , j =1,2, n) ,否则若存在i0N使得ai0i0=0则 由aii n j =1, ji aij,i , j =1,2, n,则ai0j=0, j = 1,2, n,这与A是不可约矩阵相矛盾。 为了证明A非奇异,只需要证明AX =0只有零解 3收稿日期:2006209220. E2mail :yyq20021977 基金项目:宝鸡文理学院院级重点科研基金资助项目(ZK0695) ;宝鸡文理学院中青年科研基金支助项目(QK2510) 作者简介:杨亚强(19782 ) , 男,陕西宝鸡人,讲师,研究方向:并行算法. 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 即可,将AX =0改写为:xi= - ji aij aii xj= n j =1 aijxj。 其中aij= 0 j = i - aij aii ji 记M =maxxi=xi0,则有 M =xi0 n j =1 ai0jxjM n j =1 ai0j(3) 若A是奇异矩阵,则对AX =0的非零解M0,由 (3)式可以推出 n j =1 ai0j=1,且ai0j0时, xj= M ,由对角占优的定义知i0k,于是由A不可 约导出对于i0, k有i1,i2,im使ai0i1ai1i2aimk0从而 ai0i1ai1i2aimk0,由ai0i10导出xi1= M ,再由 ai1i20导出xi2= M ,重复上面的步骤可以得 到:xk= M ,进而得到 n j =1 akj=1,这与A为对角 占优矩阵的条件相矛盾,故A非奇异。 又A为不可约对角占优矩阵,取A = D - B, (D = diagA) ,则比较矩阵也为不可约对角占优且为L矩阵, 从而比较矩阵为M矩阵,故A为H矩阵,综上所述知A 为非奇异H矩阵。 引理32 设AMn (C) , 如果存在正对角矩阵 X,使得AX是非奇异H矩阵,则A也是非奇异H矩阵。 在文章中记N1= iN :0aii= Ri(A) , N2 = iN :00,其中 xi= 1 iN1 Ri(A) -Hi Ri(A) iN2 Ri(A) aii iN3 其中Hi=min j aij0 i , j =1,2, n。 由引理 3,下面只需要证明B为不可约对角占优矩阵即可。 1)iN1,由(1)得 Ri(B) = tN1,tix tait+ tN2 xtait+ tN3 xtait= tN1,ti ait+ tN2 Rt(A) -Ht Rt(A) ait+ tN3 Rt(A) att aitaii=bii 2)iN2,由(2)得 Ri(B) = tN1 xtait+ tN2,tix tait+ tN3 xtait= tN1 ait+ tN2,ti Rt(A) -Ht Rt(A) ait+ tN3 Rt(A) att ait Ri(A) -Hi Ri(A) aii=bii 3)当jN3,tN2,0 Rt(A) -Ht Rt(A) 1, tN3 00 综上1 ) , 2 ) , 3)可 知,jN都 有bjj Rj(B) j =1,2, n,且至少有一个严格不等式成立, 则B为对角占优矩阵,而A又不可约,由引理1知道, B为不可约对角占优矩阵,再由引理2知B为非奇异 H矩阵,由引理3 ,显然A为非奇异H矩阵。 3 数值例子 例 A = 2 0 i 1 0 0.75 i 0 0.5 -1 16 1.5i -1 1 0 5i , 其中N1= 1 , N2= 2 , N3= 3,4。 例中:a12=0,而a13a320; a21=0,而a23a310; a24=0,而a23a340;a43=0,而a42a230,由矩阵不可 73第1期杨亚强 等 一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 约和对角占优的定义,这是一个不可约且不严格对角 占优的矩阵。 但是: a11=2 47 80 = R2(A) -H2 R2(A) a12+ R3(A) a33 a13+ R4(A) a44 a14= 47 80 a22=0.75=0.75= R2(A) R2(A) -H2 a21+ R3(A) a33 a23+ R4(A) a44 a24= 3 4 由上面计算可知它满足定理1的判定条件,由定理 1的判定结果,这是一个非奇异H矩阵。 说明 本文是针对不可约矩阵提出了判别非奇异 H矩阵的方法,对于不可约矩阵的研究,定理1比文献 1中给出的判定范围要广。如上面的数值例子,用文 献1中的判定方法无法判别,但由定理1的方法却可 以判定。 参考文献: 1 杨亚强,畅大为,李爱娟.一个非奇异H矩阵实用充 分条件的改进J .宝鸡文理学院学报(自然科学 版) ,2005 ,25(3) :1612164. 2 胡家赣.线性方程组迭代解法M.北京:科学出版 社,1991. 3 VARGA R S. On recurring theorems on diagonal dominanceJ .Lin A lg A ppl ,1976 , 13 : 129. 4 BERMAN A ,PL EMMONS R J. Nonnegative Ma2 trices in the Mathematical Sciences M . Philadel2 phia : SIAM Press ,1994. 5 黄廷祝. Ostrowski定理的推广与非奇异H矩阵的 条件J .计算数学,1994 ,16(1) :19224. 6 黄廷祝.非奇异H矩阵的简捷判据J .计算数学, 1993 ,(3) :3182328.(编校:李宗红) (上接第16页) 注 一般而言,算子的Drazin可逆性和 Moore2Penrose可逆性没有本质的联系。 换句话 说,一方面,存在着许多算子是Drazin可逆的但 不是Moore2Penrose可逆的;另一方面,也存在着 大量算子是Moore2Penrose可逆的但不是是 Drazin可逆的。 下面我们给出相应的例子。 例1 设H是Hilbert空间且H具有正交分解 H=H1?H2,其中H1和H2是H的闭子空间。 我 们在 上 述 空 间 分 解 下 定 义 算 子 矩 阵M= 0C 00 ,其中C是任意的值域不闭的有界线性 算子。 显然M是值域不闭的幂零算子。 故M是 Drazin可逆的但不是Moore2Penrose可逆的。 例2 设 en n=1是Hilbert空间H的一组正 规正交基。 定义算子Uen= en+1, n =0,1,2,。 显然, U就是我们熟悉的单侧移位算子。因为 R(U)是闭的,所以U是Moore2Penrose可逆的。 但是 (U) =D,其中D表示复平面上的闭单位圆 盘,故0是谱的聚点。 因此U不是Drazin可逆的。 参考文献: 1 CHENG S Z,TIAN Y G. Moore2Penrose inverse of products and differences of orthogonal projectors J .Acta Sci Math(Szeged) ,2003 ,69 :5332542. 2 DU H K, DENG C Y. Moore2Penrose inverse of products and differences of orthogonal projections J .Acta A nalysis Functionalis A pplicata ,2006 ,8 (2) : 1042109. 3 AMREIN W O ,SINHA KB. 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