一些特殊类型函数极限的求解方法归类

科技信息 （下转第 111 页 ） 1.引言 在大量的实际问题中， 往往遇到各式各样函数极限的求解问题， 特 别是对一些特殊类型函数极限的求法， 如何对它们进行分析、 归纳， 最 后达到求解， 本文将给予以下归类。 2.举例 2.1 利用无穷小量等价代换求函数的极限 利用无穷小量等价代换求函数的极限，一定要熟悉并会运用常用 的等价无穷小， 当 (x)0 时， 有 sin(x)(x);tan(x)(x);e(x)- 1(x);ln 1+(x)(x);1- cos(x)1 2 2(x);1+(x)a- 1a(x)。 例 1 求lim x0 3sinx+x2cos1 x (1+cosx)ln(1+x) 解： 因 ln(1+x)x(x0)， xcos 1 x 0(x0)故可考虑用等价无穷小代 换求极限。 即lim x0 3sinx+x2cos1 x (1+cosx)ln(1+x) =lim x0 3sinx+x2cos1 x (1+cosx)x =lim x0 3sinx x +xcos1 x 1+cosx =3+0 1+1 =3 2 例 2 求lim x0 1 xsinx - 1 xtanx 解： 等价无穷小代换一般不能在加减运算中使用， 所以先通分， 再 用 1- cosx 1 2 x2(x0),sinxx(x0)， 进行代换。 即lim x0 1 xsinx - 1 xtanx =lim x0 1- cosx xsinx =lim x0 1 2 x2 x x =1 2 例 3 求lim x0 1 x3 2+cosx 3 x -1 解： 利用等价无穷小替换， ln(1+t)t(t0)， 有 2+cosx 3 x - 1ln 2+cosx 3 x (x0) 又 ln 2+cosx 3 =ln1+ cosx- 1 3 cosx- 1 3 - x2 6 (x0) 于是原式 =lim x0 ln 2+cosx 3 x x3 =lim x0 ln 2+cosx 3 x x2 =lim x0 - x2 6 x2 =- 1 6 2.2 利用两个重要极限求函数的极限 利用两个重要极限求函数的极限时，必须熟悉并会运用两个重要 极限lim x0 sinx x =1 和lim x 1+1 x x =e。 同时更重要的是要理解其本质含义， 譬如lim xx0 f(x)=0， 那么lim xx0 sinf(x) f(x) =1。又如lim xx0 g(x)=0， 那么lim xx0 1+g(x) 1 g(x)=e。 例 4 求lim z1 (1- z)tanz 2 解： 令 2 (1- z)=x， z1， 则 x0 1- z=2x ， z 2 = 2 - x lim z1 (1- z)tanz 2 =lim x0 2x tan 2 - x =2 lim x0 x cotx =2 lim x0 x tanx =2 例 5 求lim x0 ln(1+ax) x 解： 令 t=ax， 则 x= t a 且当 x0 时， t0 lim x0 ln(1+ax) x =lim t0 ln(1+t) t a =lim t0 a t ln(1+t) =alnlim t0 (1+t) 1 t =alne=a 例 6 求lim nna 1 n - 1 (a0) 解： 令 t=a 1 n - 1， 则当 n 时， t0 且 n=loga(t+1)-1 lim nna 1 n - 1 =lim t0 tloga(t+1)-1 =lim t0 1 1 t loga(1+t) = 1 logalim t0 (1+t) 1 t = 1 logae =lna lne =lna 2.3 利用洛必达法则求函数的极限 利用洛必达法则求函数的极限时， 首先要判断所求函数极限， 是否 满足洛必达法则三个条件， 即 （1 ）f(x)， F(x)在 a 的去心邻域 0 胰(a,)上连 续， 且lim xa f(x)=lim xa F(x)=0 （0 0 型 ） （或lim xa f(x)=F(x)= （ 型 ） ） ；（2 ） f(x)， F(x) 在 0 胰(a,)上可导， 且 F(x)0；（3 ） lim xa f(x) F(x) =k （k 有限或 ） 。 其结论是： lim xa (x ) f(x) F(x) = lim xa (x ) f(x) F(x) =k。 例 7 求lim x1 tanx 4 tanx 2 解： 令 y=tan x 4 tanx 2 则 lny=tanx 2 lntanx 4 lim x0 lny=lim x1 tanx 2 lntanx 4 =lim x1 lntanx 4 cotx 2 =lim x1 4 cotx 4 sec2x 4 2 (- csc2x 2 ) =- lim x1 sin2x 2 2sinx 4 cosx 4 =- lim x1 sin2x 2 sinx 2 =- lim x1 sinx 2 =- 1 lim x1 tanx 4 tanx 2 =e-1=1 e 一些特殊类型函数极限的求解方法归类 陕西国际商贸学院公共课部邓建国 摘要 利用无穷小量等价代换、 两个重要极限、 洛必达法则求解一些特殊类型的函数极限， 其解题思路明快， 方法简捷。 关键词 特殊类型函数极限求解 高校理科研究 109 科技信息 例 8 求lim xx (1+1 x ) x- 11 e 解： lim xx (1+1 x ) x- 11 e =lim x (1+1 x ) x- e 1 x 令1 x =t lim t0 e 1 t ln(1+t) -e t =lim t0 e 1 t ln(1+t) t 1+t - ln(1+t) t2 1 =e lim t0 t-(1+t)ln(1+t) t2+t3 =e lim t0 1-ln(1+t)-1 2t+3t2 =e lim t0 - 1 1+t 2+6t =- e 2 例 9 设函数 f(x)连续， 且 f(0)0 求极限lim x0 x 0 乙(x- t)f(t)dt x x 0 乙f(x- t)dt 解： 由于 x 0 乙f(x- t)dt u=x- t x 0 乙f(u)du= x 0 乙f(t)dt 原式 =lim x0 x x 0 乙f(t)dt- x 0 乙tf(t)dt x x 0 乙f(t)dt =lim x0 x x 0 乙f(t)dt- x 0 乙tf(t) x2f(0) （当 x0 时， x 0 乙f(t)dtf(0)x ） =lim x0 x 0 乙f(t)dt+xf(x)- xf(x) 2xf(0) =lim x0 f(x) 2f(0) =1 2 3.结论 综上所述， 要利用等价无穷小代换求函数的极限， 必须熟悉并会运 用常用的等价无穷小，并注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式 才能用等价无穷小来替代，而对极限式中相加或相减部分则不能随意 替代。在利用两个重要极限求函数的极限时， 对重要极限lim xx0 sinf(x) f(x) =1 （lim xx0 f(x)=0 ） ， 要求分子， 分母中 f(x)必须统一， 包括系数和正负号， 对重要 极限lim xx0 1+g(x) 1 g(x)=e （lim xx0 g(x)=0 ） 同样要求 g(x)在形式上一定要统一， 包 括系数和正负号。 在利用洛必达法则求函数的极限时， 必须掌握并会运 用洛必达法则 （0 0 型不定式极限） ， 洛必达法则 （ 型不定式极 限） ，要切记他们的三个条件，否则将会出现错误。对其它类型 0， - ， 0， 00， 1型的不定式， 要把他们转化成 0 0 型 （或 型） ， 然后再 应用洛必达法则。 参考文献 1 同济大学数学系.高等数学习题全解指南.北京： 高等教育出版 社， 2003 2 邓建国.高等数学.北京： 中国传媒大学出版社， 2010 （上接第 109 页 ） 合 GB/T3683- 92 标准)。 3.4 喷嘴 本文设计的磨料喷嘴的结构简单实用， 由两段构成， 即锥状入口和 柱状出口。 （1 ） 喷嘴圆柱段及圆锥段 图 2 喷嘴结构图 图 3 喷嘴固定机构 喷嘴圆柱段及圆锥段如图 2 所示， 在纯水射流中， L/d=24， 理论上 这种类型喷嘴圆锥段锥角 最佳值为 1315。 但在前混合磨料射流切 割中， 为减少喷嘴的磨损， 所用的喷嘴在选型时一般按喷嘴总长和直径 的比， 即 L/d15 计算， 锥角 一般选取 30左右， 由于 d=1mm 所以选取 先假设 L=30d=301mm=30mm，选取喷嘴入口圆锥段直径 D=13mm， 按 锥角 30计算， 则圆锥段长度为 D cot30=11.26mm， 圆整后取 12mm， 取 圆柱段长度为 20mm， 总长 L=32mm， 喷嘴圆锥段、 圆柱段外径由于装配 的需要， 分别选定为 20mm、 6mm。 （2 ）喷嘴的固定 喷嘴的固定采取锁紧螺母固定的方法， 使用时将其与锁紧到一起， 固定到高压管段出口处。 螺母尺寸由所设计的喷嘴尺寸确定， 由于磨料 水射流的特殊要求， 无法选取标准件， 需自行加工。具体设计加工尺寸 如图 3。 4.结束语 （1 ） 前混合磨料水射流切割机在井下切割过程当中具有安全、 高效、 技术成熟等优点， 其推广具有一定的社会经济效益。 （2 ） 安装调试过程中没有出现无法正常运行现象和其它紧急情况， 实现了正常高效运行，说明该切割系统设计参数的选择符合安全性能 等要求， 设计原理准确可靠。 （3 ） 用所设计的井下水射流切割装置在瓦斯环境中的切割试验发 现， 该套系统在切割压力为 30MPa、 切割速度为 80mm/min、 靶距为 10mm、 磨料流量为 3.2kg/min 时， 具有最好的切割效率和系统运行效益。 参考文献 1 郭楚文， 徐晓东等.空化磨料水射流粉碎技术 M .中国科学文 化出版社,2002： 5- 8 2 王从东.高压水射流技术在煤矿安全生产中的应用 J .煤矿机 械,2008,29(10):150- 152 3 张怀亮等.前混合式磨料水射流切割机的设计与研究 J .流体 机械， 2