《大学物理学》习题解答(第13章 稳恒磁场)(1)

第第 13 章章 稳恒磁场稳恒磁场 【13.1】【13.1】如题图所示的几种载流导线，在 O 点的磁感强度各为多少？ (a) (b) (c) 习题 131 图 【13.1 解】【13.1 解】 (a) R I R I B 8 0 24 1 0 00 ，方向朝里。 (b) R I R I B 22 00 。 (c) R I R I R I R I R I B 4222 1 22 1 22 1 00000 ，方向朝外。 【13.2】【13.2】有一边长为 a 的正方形回路，回路电流为 I，求回路中心处的磁感强度。 【13.2 解】【13.2 解】如图所示，正方形中心对每个边所张的角都为 45和 135，各个边在中心产生的磁感强度方 向相同，故 a I a I B 00 2 )135cos45(cos 4 4。 习题 132 图 习题 133 图 【13.3】【13.3】以同样的导线联接成如图所示的立方形，在相对的两顶点 A 及 C 上接一电源。试求立方形中心的 磁感强度 B 等于多少？ 【13.3 解】【13.3 解】由对称性可知，相对的两条棱在立方体中心产生的磁感强度相等而方向相反，故中心处的磁感 强度为零。 【13.4】【13.4】如图所示，半径为 R 的半球上密绕有单层线圈，线圈平面彼此平行。设线圈的总匝数为 N，通过 线圈的电流为 I，求球心处 O 的磁感强度。 【13.4 解】解】在半球上距球心 y 处取一个宽度为 Rd 的园环，其对球心的张角为 ，半径为 rRsin，包含 的电流为 d 2 d 2/ d NI R R NI I，在球心处产生的磁感强度为 d sin d 2sin 2)( d 2 d 2 0 3 22 0 2/322 2 0 R NINI R R yr Ir B 全部线圈在球心处产生的磁感强度可由积分求得： R NI R NI R NI BB 44 d sin d 00 2/ 0 2 0 习题 134 图 习题 135 图 【13.5】【13.5】如图所示，电流 I 沿着长度方向均匀地流过宽度为 b 的无限长导体薄板。试求在薄板的平面内， 距板的一边为 r 的点 P 的磁感强度。 【13.5 解】【13.5 解】在薄板中距 P 点为 x 处取一宽度为 dx 的窄条，窄条中的电流 b xI I d d dI 在 P 点产生的磁感强度 bx xI x I B 2 d 2 d d 00 电流 I 在 P 点产生的磁感强度 r br b I x bx I BB br r ln 2 d 2 d 00 B 的方向垂直纸面朝里。 【13.6】【13.6】半径为 R 的圆盘均匀带有电荷 q，圆盘绕过其中心且与盘面垂直的转轴以角速度 旋转，求圆心 O 处的磁感应强度。 【13.6 解】【13.6 解】取半径为 r，宽度为 dr 的圆环，其上电荷为 22 d2 d2d R rqr rr R q q 当圆盘以角速度 旋转时，此电荷形成的电流为： 2 d d 2 d R rrq qI 而此电流在圆盘中心产生的磁感强度为： 2 0 2 00 2 d 2 d 2 d d R rq rR rrq r I B 整个圆盘在圆盘中心产生的磁感强度为： R R q R rq BB 0 0 2 0 22 d d 习题 136 图 习题 137 图 【13.7】【13.7】如题图所示，载流长直导线的电流为 I，试求通过矩形面积的磁通量。 【13.7 解】【13.7 解】在矩形中距直导线为 x 处取一宽为 dx、长为 l 的面积元 dS, 此处的磁感强度 B 与矩形平面垂 直，大小为 x I B 2 0 ，通过面积元 dS 的磁通量为 x xIl 2 d dd 0 SB， 因此， 1 200 ln 22 d d 2 1 d dIl x xIl d d 【13.8】【13.8】已知 1.010-5mm2的裸铜线允许通过 50 A 电流而不致过热，电流在导线横截面上均匀分布。求： （1）导线内、外磁感强度的分布； （2）导线表面的磁感强度。 【13.8 解】【13.8 解】 （1）设导线的半径为 R，导线中电流密度为 j。在导线内作一个半径为 r 的圆形回路，由安培 环路定理有 2 0 2rjrB， 2 0 2 0 22R Ir r jr B 。 导线外有 IrB 0 2， r I B 2 0 。 （2）令 rR，代入数据得 B5.610-3T。 【13.9】【13.9】一根很长的同轴电缆，由一半径为 R1的圆柱形直导体和同轴导体圆筒组成。导体圆筒的内半径为 R2，外半径为 R3，圆柱形直导体和同轴导体圆筒中的电流大小均为 I，方向相反，导体的磁性可不考虑。 试计算以下各处的磁感强度： （1）rR1； （2）R1rR2； （3）R2rR 3； （4）rR 3。 【13.9 解】【13.9 解】分别在圆柱形直导体内，圆柱形直导体和同轴导体圆筒之间，同轴导体圆筒内及同轴导体圆筒 之外作半径为 r 的圆形回路，利用安培环路定理可得 )( , 2 ,2 1 2 1 02 2 1 0 Rr R Ir Br R I rB )( , 2 ,2 21 0 0 RrR r I BIrB )( , 2 , )( )( 2 32 2 2 2 3 22 30 2 2 2 3 2 2 2 0 RrR RR rR r I B RR RrI IrB )( , 0 , 02 3 RrBrB 习题 139 图 习题 1310 图 【13.10】【13.10】如题图所示，N 匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，求通入电流 I 后环内外磁场的分 布。 【13.10 解】【13.10 解】在圆环内外分别作半径为 r 的圆形回路，由安培定理可得 )( , 0 , 02 )( , 2 ,2 )( , 0 , 02 0 0 brBrB bra r NI BNIrB arBrB 【13.11】【13.11】有两无限大平行载流平面，它们的电流方向相同，在平面内与电流垂直的方向上，单位宽度里 的电流为 j。求： （1）两载流平面之间的磁感强度； （2）两面之外空间的磁感强度。 【13.11 解】【13.11 解】无限大载流平面在其左右两侧所产生的磁感强度大小均为 B0j/2，但方向相反。设在平面 左边kB 2 0j ，右边则为kB 2 0j 。当有两个电流方向相同的平行平面时，由场的迭加原理可得 （1）两平面之间，是处在一个平面的左边而另一个平面的右边，故 0 22 00 kkB jj 合 。 （2）在两平面之外，是同在两个平面的左边或右边，故 kkkBj jj 0 00 22 合 ， 或 kkkBj jj 0 00 22 合 。 【13.12】【13.12】一个电子射入 B(0.2i0.5j)T 的非均匀磁场中，当电子速度为 v5106j ms-1时，求电子所 受的力。 【13.12 解】【13.12 解】N 106 . 12 . 0105106 . 1 13619 kkBF ve 【13.13】【13.13】速率为 1.0106的电子进入一均匀磁场，其速度方向与磁场方向垂直。已知电子在磁场中作半 径为 0.1m 的圆周运动，求磁感强度的大小和电子旋转的角速度。 【13.13 解】【13.13 解】由 eB m R v 得 T 107 . 5 5 eR vm B， 电子旋转的角速度 1 -7 srad 10 R v 。 【13.14】【13.14】测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源 S 产生质量为 m，电荷为 q 的离子。离子的初速很小， 可看作静止， 经电势差 U 加速后进入磁感强度为 B 的均匀磁场， 并沿一半圆形轨道到达离入口 x 处的感光 底板上。试证明离子的质量为 2 2 8 x U qB m。 【13.14 证】【13.14 证】由电子动能qUm 2 2 1 v可得电子速度mqU /2v，代入 圆形轨道的半径公式 qB mxv 2 即可解出 U qxB m 8 22 ，证毕。 【13.15】【13.15】已知地面上空某处地磁场的磁感强度 B0.410 4T，方向向北。若宇宙射线中有一速率 v5.0 107ms 1 的质子垂直地通过该处，求： （1）洛伦兹力的方向； （2）洛伦兹力的大小，并与质子受到的 地球引力相比较。 【13.15 解】（【13.15 解】（1）质子的速度方向垂直向下，且带正电荷，故由Bv的方向知道其受到的洛伦兹力方向 朝东。 （2）洛伦兹力N 102 . 390sin 16 qvBFm， 而质子所受的万有引力N 1064. 1 26 mgG，两者之比约为 1.951010。 【13.16】【13.16】显像管中的电子水平地由南向北运动，能量为 1.2104 eV；地球磁场的垂直分量 B5.510 5T，方向向下。试求： （l）电子束偏转方向； （2）电子束在显像管内通过 20 cm 到达屏面时光点的偏转距 习题 1314 图 离。 【13.16 解】【13.16 解】（1）注意电子带负电，由洛伦兹力公式BF vq可判断出电子受力向东，故电子束向东 偏转。 （2）由电子作圆周运动的半径m 71. 6 2 eB mE eB m R k v 和轨迹可得其向东偏转距离为 m 1098. 2 322 yRRx 【13.17 解】【13.17 解】利用霍耳元件可以测量磁感强度，设一霍耳元件用金属材料制成，其厚度为 0.15 mm，载流 子数密度为 1024m 3，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为 42V，通过电流为 10 mA。求待测磁 场的磁感强度。 【13.17 解】【13.17 解】由霍耳电压的公式可得 T 1 . 0 I dnqU B H 。 【13.18】如题图所示，无限长直导线通入电流 I1，半径为 R 的圆环通入电流 I2，直导线和圆环共面如图放 置，求圆环受到的作用力。 【13.18 解】【13.18 解】由对称性分析可知，左右对称的两段电流元所受的竖直方向的力互相抵消，水平方向的力则 相迭加。在圆环上取一段电流元 I2dl，它到圆心的连线与水平方向的夹角为 ，受到安培力的水平方向分 量为 2 d cos cos2 dcosdd 21010 22 II R I RIlBIF 整个圆环受到的力为 210 2 0 210 d 2 dII II FF ，方向向右。 习题 1318 图 习题 1319 图 【13.19】【13.19】如题图所示，一个半径为 R 的圆形线圈，通有电流 I，放在磁感强度为 B 的均匀磁场中，磁场方 向与线圈平面平行，试求线圈受到的对于轴 OO的力矩。 【13.19 解】【13.19 解】线圈的磁矩 IRISm 2 当线圈平面与磁场平行时，线圈受到的力矩为 IBRmBM 2 90sin 【13.20】【13.20】如题图所示，长直导线载有电流 I130 A，矩形回路载有电流 I220 A，试计算作用在矩形回路 上的合力。已知 d0.01m，b0.08 m，l0.12 m。 【13.20 解】【13.20 解】线框上、下两边受到的安培力大小相等，方向相反，抵消为零。左、右两边受到的安培力方 向相反，大小分别为 )(2 , 2 210210 bd lII F d lII F 右左 故合力大小为 N 1028. 1 )(22 3210210 bd lII d lII FFF 右左 合力的方向朝左。 习题 1320 图 习题 1321 图 【13.21】【13.21】 如题图所示， 一通有电流为 I1的无限长直导线和一通有电流为 I2的直角三角形回路共面， 60， 求回路各边所受的力及穿过回路的磁通量。 【13.21 解】【13.21 解】设竖直边、水平边和斜边受到的力分别为 F1、F2和 F3，由安培定律得 )(2 3 )(2 60tan 21010 221 ba bII ba I bIlBIF a baII l la II lBIF bb ln 2 d )(2 d 210 0 210 0 22 a baII l la II lBIF bb lnd )60cos(2 d3 210 60cos/ 0 210 60cos/ 0 2 在距直导线 x 取一平行于导线的窄条，其高为（xa）tan60，宽度为 dx，通过此窄条的磁通量为 x x aI xax x I d1 2 3 d60tan)( 2 dd 1010 SB 通过整个三角形回路的磁通量为 a ba ab I x x aI ba a ln 2 3 d1 2 3 d 1010 【13.22】【13.22】设氢原子的电子以轨道角动量 Lh/2 绕质子作圆周运动，圆周半径为 a05.2910 11m，求质 子所在处的磁感强度。h6.6310 34Js 为普朗克常量。 【13.22 解】【13.22 解】由题意，质子的角动量2/ 0 hamv，可解出 0 2 ma h v，电子运动时等效为一个圆电流， 其大小为 2 0 2 0 4/2ma he a e I v 此电流在圆心处旌的磁感强度为 T 5 .12 82 3 0 2 0 0 0 ma he a I B 。 【13.23】【13.23】如题图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为 r（r 1） ，导体的磁化可以略去不计电缆沿轴向有稳恒电流 I 通过，内外导体上电流的方向相反求空间各 区域内的磁感强度和磁化强度。 习题 1323 图 【13.23 解】【13.23 解】取与电缆轴线同心的圆形回路 L，由磁介质中的安培环路定理 L d C IlH可解出空间各 区域的磁场强度： r I HIrHRrR R Ir H R Ir rHRr 2 ,2 ： 2 ,2 ： 21 2 1 2 1 2 1 0 , 02 ： )(2 )( , )( 2 ： 3 2 2 2 3 22 3 2 2 2 3 2 2 2 32 HrHRr RRr rRI H RR RrI IrHRrR 再由公式HB r 0和HM r ) 1(即可得 0 , 0 ： 0 ,