一道网格作图题解答思路的探究_魏先华

中学数学教学参考 、 ， ：，？，川 解题思想方法 年第期（中 旬 、 一 道网格作图题 解答思路的探究 魏先华 （江苏省盐城市 大冈初级中学） 王云峰 （江苏省盐城市葛武初 级中学 ） ， 目 的确定方法 。利用转化思、想 ，将线段转移到 试题呈视 的右侧 ，且点在 线段上，利用 “ 两点之间线 题目：在每个小正方形的边长 为 的 网格中 ，点段最短 ” 可 知取最 小值时点的位置 。 、 、均 在格点上，点、分别为线段、将线 段转 移到的右侧，点 、的位置难 上的动点 ，且。以 确定，于是考虑将线段 所在的三角形 进 行转 （）如图 ，当： 时，计算的值等移 。因为 ，所以转移，即在 右侧 于 构造以 为边且与全等的三角形 （记为 （）当 取得最小值时，请在如图 所示 ，点 、分别 与点 、对 应） ，问题转 的网格中，用无刻度的直尺，画出线段、，并简化为确定点 的位置 。 要说明点 ：和 点的位置是如何找到的（不要求证 也是（两直角边长分别为和 明）。）的角，据此可 确定 所 在的直角三角形。如 图 ，作格点 线段，则点在 上。而 ，所以点为线段 的四等 分点，这可通过构造 “ ” 型相似三角形得到 。 如图 ， 作格点线段 ，与 的交点就是 点 。联结 一一 二二芏 ，与交于点：，则即为所求 。 再考虑点 的确定方法。 与点 的确定方法类 （廳年天津 考数学“题 似 ，将线段从转移到线段仙的上方 ，且点在仙 上 ，利用 “ 两点之间线段 最 短 ” 可知取最 小 参考答案 值时点 的位置 。 （）如图，取格点 、 将 所在的转移，即在上方构造出 ，联结相交于 以 为边且与全等的三角形 （记为， 点 。联结 ，与相 点 、 、分别与点 、对 应） ，问题转化为确定 交得点 。取格点 、 ， 二二 点的位置。 联结 、 相交于点 二乙士由 。可 确定的位置。 。联结，与 相 交 如 图 ，作格点线段 ，则点在上 。而 得点 。线段、即图 为所求。焱 ， ，所以 音 ，这可通过 构造 “ 乂 ” 型 思路探究相 似三角形 得到。 如图 ，作 格点 线段， 与 的交点就是 点 。联结 ， 与 交于 点 关于第 （）问的 画法 是从何而来的呢？先 考虑点 ，则卩为所求。 解题思辑駿灼 、丨丨 中学数学教学参考 幽期 （中旬） 部分 ，这可通过构造 “ ” 型相似三角形得到。 如图 ， 参考答案是从 “ 形 ” 的角度求解的 ，能否从 “ 数 ” 的作格点线段与 的交点就是点 ，联 角度探究点 、的位置呢？结。 探究：如图 ，以 时 点 为坐标原点 ，所 ：二 在直线为 轴建立平 三三三 ： 三 。所以 （ ， 崇 ） 。 面直角坐标系。设 点 不在网格线上 ，考虑 直线与网格线 交点 。 的位置 。 ， ； ， 延长 交所在网格线于点。 ，垂足 为点，则 图因 为 ，所以。 根 据 “ 相似三角形 对应高比等 于相似比 ” ，得 所以即 了 。 ， ？ 即 解得丁。 而 所以 ， 所 。 所以 芽 ，即点 在点 上方第 个小正方形边 （ （音 ？ ） ？ 上 ，且是该边下方的 一 个四等分点 ，这可通过构造 ）（）与 所在的网格 线的交点就 是点 。联结 ， （ ） （ ） ）（ ） 。综上得到 线段 、亙 所以 表示点 （，） 到点 （，） 、的 另 一 种画法 ：如图 ， 乙 、取 格点 、，联结， （ ， 的距离之和 ，由 “ 两点之间线段最短 ” 知当 交 于点 ，联结 ￥二二 三点、共线时最小 。 。取 格点 、了 ，联 结 二二 （说明： 的结果也 可以转化为 ：，：交所在网格线 ， 于点 ，联结交图 （ ） （ ） （ ）（ ） ，即 于点。线段 、即为所求。 表示点 （，）到点八 （ ，）、 （香 ， 琴 ） 的模型解法 距离之和 ，但直线与线段没有交点，此结果本题素材源于课本 “ 将军饮马 ” 数学模型 ，不 应舍去）同之处 在于试 题中河的两边相交 ，而 “ 将军饮马 ”数学 设直线 的解 析式为 （关） 。模型的变式造 桥选址 ” 问题中，河的两边互相平 将 （￥， 代人 ，得￥ ，解 得卜装 。行 。河的两边互相平行可利 用平 移变换转化为 “ 将军 饮 马 ”数 学模型 ，那么河的两边相交是否可以利用旋 所以直线 的解析式为 转变换转化为 “ 将军饮马 ” 数学模型呢？ 探究：考虑点 ： 的确定方法 。如图 ，在 上 将 （ ，）代人，得； ￥ 。取点 ，使 得，联结，则由矩形可 得 ，于是 因为 所以当 取最小值时 ，点坐标为 （ ， 了 ，：，所以。 画格点线段 ，将 绕点 顺时针旋 转 的度数 ，则点 所以 ，而 ，即点在点上方 与点 重合 ，点的对应点 ， 落在线段 上 ，于是 中学数 学教学参考 ，聰施潘 ， 年第期 （中甸 、 “ 数学解题 ：解法自然生成 例 ” 征稿选登 道 蚵辦 成 李景财 （河北省武汉市光谷第三初级中学） 偶然机会 ，看到本刊 “ 数 学解题：解 法自然生成因为 ，丄 例 ”主 题征文 ，笔 者 想起三角形 全等的 一 节专题 ，垂足 为，所以 课 “ 截长 补短法证线段和差问题 ” 。本文以其中 。 一道题 目为例来探究几何题解法的自然生成 。又因为，所以 题目：如图 ，在等腰直角 （）， 中 ， 。 ，所 以 ， ； 。 ， ，点是的中 点 ，过所 以 。 ， 点 作 丄 ，垂足为， 所以 。 延 长 交 于 ，联结又 因为 ，所以 ， ，求证 ： 。所 以 ，所以 。 证法 ：如图 ，在上截取 。学 生是怎么想到 呢？请听第 组的说明 ： ？ 。显然 ，当 、 三点共线时定点 的位置 。 取格点 ，联结。 由于 最小 ，亦即最小，于是问题转 化为 ， ，所以点 在 上 。 确定 的位置 。 因为 ，所以 而 ， ，所以 ，可通过画 士 ，可通过画格点线段 及 构造 “ ” 型相似 格点线段 及 构造 “ ” 型相似二角形确定 ，点 ， 。 三角形角定点 。可 见 ，这 种方法中线段 、的 画法与参考答 案 相同 ，但其数学原理截然不同 。 将问题转 化为 “ 将军饮马 ” 数学模型求解 ，其探究 二 二 过程虽然复杂 ，但小有 收 获在 “ 一 定两动 ” 型线段 和的最 小值问题中 ，如果两个动点所在的两条线相 荽 交 ，那么 可利用旋转变换将两动点合 并为 一 个动 点 ， 、 动点所在的两条线合并为 一 条线 ，转化为 “ 将军饮马 ” 图数学模型求解 ，这为命制试题开辟了 一 个新天地 。 考虑点的确定方法 。 如图 ，取格点、，联参 考文献 ： 结，在上取点，使 。易证 王云峰 再谈 一 道中考题的解答探究 ？中学 数学 教学 ，所以。 将 绕 点逆时参考 ：中旬，（ ）： ， ： 戴向阳 ？ 抓住运动特点 解答动 态问题 中学数 学教学 针 旋转