三种典型矩阵方程的简单解法

三种典型矩阵方程的简单解法 Simple Solution of Three T ypical Matrix Equations 陈逢明 (福建商业高等专科学校基础部 福建福州350012) 内容提要 本文从矩阵理论出发,给出三种典型矩阵方程的简单解法。 关 键 词 矩阵方程;可逆矩阵;初等矩阵;初等变换 中图分类号:G63316 文献标识码:A 文章编号:1008 - 4940(2005)03 - 0081 - 05 当矩阵A、B可逆时 一般矩阵方程的计算步骤可由下 面推得: 若AX=B ,则有A - 1AX = A- 1B ,即 X = A - 1B。于是 只要求出A的逆矩阵A - 1 ,再左乘B即得X。 若XA =B ,则有XAA - 1 = BA - 1 ,即X= BA - 1。于是 只要求出A的逆矩阵A - 1 ,再右乘B即得X。 又若AXB = C,则有A - 1AXBB- 1 = A - 1CB- 1 ,即X= A - 1CB- 1。 于是只要分别求出 A与B的逆矩阵A- 1与 B - 1 ,再分别左乘与右乘于C,即得X。 这也就是说,解矩阵方程时,一般也都须运用求逆矩 阵的方法与矩阵乘法的运算。显然这是比较麻烦的,本文 从矩阵理论出发,给出这三种矩阵方程的简单解法。 引理1 对mn矩阵A施行初等行变换就相当于在 A的左边乘上相应的m阶初等矩阵;对mn矩阵A施行 初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n阶初等矩 阵。 引理2 若A为可逆方阵,则存在有限个初等矩阵 P1,P2,PL,使A = P1P2PL。 引理3 初等矩阵皆可逆,且其逆矩阵也是初等矩阵。 由引理2及引理3可得:若AX=B ,且| A|0 ,则存在 有限个初等矩阵P1,P2,PL,使 P- 1 LP - 1 L - 1P - 1 1 A = E(a) 即 P- 1 LP - 1 L - 1P - 1 1 =A - 1。 于是有 X= P- 1 L P- 1 L - 1P - 1 1B。 (b) 证 因| A|0 ,故A可逆,即A- 1存在。由引理2 ,知 存在有限个初等矩阵P1,P2,PL,使 A = P1P2PL。 又由引理3 ,可得 P- 1 L P- 1 L - 1P - 1 1 A = E, 即 P- 1 L P- 1 L - 1P - 1 1 =A - 1。 (1) 由AX=B ,得X=A - 1B。 (2) 将(1)代入 (2) , 即得 X= P- 1 L P- 1 L - 1P - 1 1B。 证毕 上面的(a)式表明矩阵A经一系列初等行变换可变成 E。(b)式表明矩阵B经这同一系列初等行变换即变成X。 用分块矩阵形式,及按矩阵的分块乘法 ,(a) 、(b)两式可合 并写成 P- 1 L P- 1 L - 1P - 1 1 (A B) = (P- 1 LP - 1 L - 1P - 1 1 AP - 1 L P- 1 L - 1 P - 1 1B) = (E X) (c) 即对矩阵 (A B) 施行初等行变换,当把A变成E时, B就变成X。(c)式提供了一个具体解矩阵方程AX=B的 简单方法。 例1解下列矩阵方程: (i) 11- 1 - 211 111 X= 2 3 6 ; 解 设A = 11- 1 - 211 111 ,B = 2 3 6 。 182005年6月第3期 三种典型矩阵方程的简单解法 收稿日期:2005 - 1 - 10 作者简介:陈逢明(1962 - )男 福建商业高等专科学校 讲师 ( A B ) = 11- 12 - 2113 1116 11- 12 03- 17 0024 1104 0309 0012 1104 0103 0012 1001 0103 0012 = (E X) 于是 X= 1 3 2 (ii) 1210 0101 0021 0003 X= 1252 012- 4 00- 43 000- 9 。 解 设A = 1210 0101 0021 0003 , B = 1252 012- 4 00- 43 000- 9 。 (A B) = 12101252 0101012- 4 002100- 43 0003000- 9 101- 210110 0101012- 4 002100- 43 0001000- 3 10101014 0100012- 1 002000- 46 0001000- 3 10101014 0100012- 1 001000- 23 0001000- 3 10001031 0100012- 1 001000- 23 0001000- 3 = (EX) , 于是 X= 1031 012- 1 00- 23 000- 3 。 由引理2及引理3又可得:若XA =B ,且| A|0 ,则 存在有限个初等矩阵Q1,Q2,QS,使 AQ - 1 S Q - 1 S- 1Q - 1 1 = E(d) 即 Q - 1 S Q - 1 S- 1Q - 1 1 = A - 1。 于是有 X=BQ - 1 SQ - 1 S- 1Q - 1 1 。(e) 证 因| A|0 ,故A可逆,即A - 1存在。由引理 2 , 知存在有限个初等矩阵Q1,Q2,QS,使 A = Q1Q2QS。 又由引理3 ,可得 AQ - 1 SQ - 1 S- 1Q - 1 1 = E 及Q - 1 SQ - 1 S- 1Q - 1 1 = A - 1。 (3) 由 XA =B ,得 X=BA - 1。 (4) 将(3)代入 (4) , 即得 X=BQ - 1 S Q - 1 S- 1Q - 1 1 。证毕 上面的(d)式表明矩阵A经一系列初等列变换可变 成E。(e)式表明矩阵B经这同一系列初等列变换即变 成X。用分块矩阵形式,及按矩阵的分块乘法 , (d) 、(e) 两式可合并写成 A B Q - 1 SQ - 1 S- 1Q - 1 1 = AQ - 1 SQ - 1 S- 1 Q - 1 1 BQ - 1 S Q - 1 S- 1 Q - 1 1 = E X 。(f) 即对矩阵 A B 施行初等列变换,当把A变成E时,B 就变成X。(f)式提供了一个具体解矩阵方程XA = B的 简单方法。 例2 解下列矩阵方程。 28 福建商业高等专科学校学报 2005年6月 (i) X 310 - 121 342 = (0 2 3) ; 解 设A = 310 - 121 342 ,B = (0 2 3) 。 A B = 310 - 121 342 023 103 21- 1 423 230 100 21- 7 42- 9 23- 6 100 010 025 - 4315 100 010 021 - 433 100 010 001 - 4- 33 = E X , 于是有 X= ( - 4 - 3 3) 。 (ii) X 123 456 781 = 123 012 453 。 解 设A = 123 456 781 ,B = 123 012 453 。 A B = 123 456 781 123 012 453 100 4- 3- 6 7- 6- 20 100 012 4- 3- 9 100 410 72- 8 100 0- 1/ 30 41- 3 100 010 - 101 100 4/ 3- 1/ 30 01/ 43/ 8 100 010 001 100 4/ 3- 1/ 30 3/ 81/ 43/ 8 = E X , 于是有 X= 100 4/ 3- 1/ 30 3/ 81/ 43/ 8 。 利用上述矩阵方程AX = B ,XA = B的解法,综合之 可得解矩阵方程AXB = C的简单解法 例3 解下列矩阵方程。 (i) 123 221 343 X 21 53 = 13 20 31 ; 解法一 设A = 123 221 343 ,B = 21 53 , C = 13 20 31 。 则有AXB = C。 又令XB = Y,则AY= C。 (A C) = 12313 22120 34331 12313 0- 2- 50- 6 0- 2- 60- 8 10- 21- 3 0- 2- 50- 6 00- 10- 2 382005年6月第3期 三种典型矩阵方程的简单解法 10011 0- 2004 00102 10011 0100- 2 00102 = (E Y) 于是 Y= 11 0- 2 02 ; B Y = 21 53 11 0- 2 02 12 35 11 - 20 20 10 3- 1 1- 1- 2 - 24 2- 4 10 01 - 21 10- 4 - 104 = E X , 所以 X= - 21 10- 4 - 104 。 解法二 上述求未知矩阵X的具体过程亦可用如下 方法进行。先写出矩阵 AC OB = 12313 22120 34331 00021 00053 , 然后分别对其前三行施行初等行变换及对其后二列 施行初等列变换,当把A及B变成E时,C就变成X。 即 AC OB = 12313 22120 34331 00021 00053 (对前三行施行初等行变换) 10011 0100- 2 00102 00021 00053 (对后二列施行初等列变换) 100- 21 01010- 4 001- 104 00010 00001 = EX OE , 于是求得 X= - 21 10- 4 - 104 。 (ii) 010 100 001 X 100 001 010 = 1- 43 20- 1 1- 20 。 解法一 设A = 010 100 001 ,B = 100 001 010 , C = 1- 43 20- 1 1- 20 。 则有AXB = C。 又令AX = Y,则YB = C。 B C = 100 001 010 1- 43 20- 1 1- 20 100 010 001 13- 4 2- 10 10- 2 = E Y , 于是 Y= 13- 4 2- 10 10- 2 ; (A Y) = 01013- 4 1002- 10 00110- 2 48 福建商业高等专科学校学报 2005年6月 1002- 10 01013- 4 00110- 2 = (EX) , 所以 X= 2- 10 13- 4 10- 2 。 解法二 上述求未知矩阵X的具体过程亦可用如下 方法进行。先写出矩阵 BO CA = 100000 001000 010000 1- 43010 20- 1100 1- 20001 , 然后分别对其前三列施行初等列变换及对其后三行 施行初等行变换,当把A及B变成E时,C就变成X。 即 BO CA = 100000 001000 010000 1- 43010 20- 1100 1- 20001 (对前 三列施行初等列变换) 100000 01