三角函数的复数表示及其应用

( 见解几 课本第5 0 页) , 二 夕。 一 夕 1二 2 IB(且 x 。+ By 。、 C)I 直线 l的方程为 A(一万 , ) + Bx , + C A Z + 刀 z 即B 万/一 A犷 十 C = = 0 , O 。 p在l的上方 , 、 Ax 。 十 C 。、 月见 。 + C 、 . 夕 。 一 丝号 一丫, 即竺立黔 二允十夕。 O 刀 7 一- j B 不等式两边同乘以B , 得 B(月x 。十 刀军 。 十 C) 根据以上对称点纵坐 标公式 , 由 厂犷 = 一x 弓 可 得 一 x , x , 二 夕 O = 夕 。 万 ! 一 夕 i 同理 , 当 夸 1一 夕 。二 _ 名 二 醚少渔土旦 迎过g A Z + B Z 刀在 l的下方时 , 有 2召(Ax 。 + By 。 + C) 且 “ 一 一 B Z = 一X O 一 = 一X 。 十 2(一A )B夕。+( 一 A) ( 一x 。) + C A Z + B Z 2且(Ax 。+ By 。十 C 即 x l =x 。一 A Z +刀2 牙A(月x 。 十B夕。十 C) 刀 “ +刀“ 综上所 述 , 总有 万, ZB(Ax 。+ B, 。 + C) A Z + B “ 因此 , 推得点( 、。,夕。 )关于直线五x 十B夕 + C 二 o 的对称点的坐 标公式 : X l =万。 现在 把上图中的坐标轴绕P点逆时针 旋 转9 0 “. 这样 , 在下图所 给的坐标系 二/。犷中 , 2犬(且兄 。 干召夕。+ C) 而 r 平万 了 - 夕 1= 万 。 旦些 产丝旦士 旦脸少) A Z 十刀2 厂le s卫心e se s .、 万一 ?曰万 x二义产eos 仁 刀 二 、5 i n 落 一 ” s“ 蛋 十 ” c o “ 一! , 2 二工/ 注 : 如 数 学通讯8 4 年第3期 “垂足与对 称坐 标公式 及 其应用 ”, 中学数学研究8 4年 第8期 “计 算一点 关 于 直线对 称的点的公 式 ” 。 三角函数的复数表示及其应用 张新生 ( 河北邢台县教委教研室) 设复数 : 一 玄 5in日, 且 之 sin口, 易得 1 e os白= 上 2 = e o s 夕+i sin 口 , 则 之 = eo s夕 进 而可得 cos 理日二 之二 1 e os 口一 万2” 一卜 1 2之 几 511工,z夕= 一 乡( ”+ 劲 拚 劲 2 2牡 一1 二 豆万 元丁 一一 一 之 一一 1 一 之 | 一 之 一 一 、l i 一 2 十 稀 乍 / l 、 、 ./ 产 J l之一 1/ In口= t才一 22 2 一1 2之乞 5inn白之2倪一 1 e o s ,:口 ( 2”+ 1)1 . 若 ; : =。0501+ 乞 s inO I,: = e o s 乡 2 则 tg夕 5ino eos日 z之一 1 ( 了“+ 1) : : ,之: =。o : (日 , + 夕 2 ) 一卜 i s i n (夕 eosf乡,一 口 2 ) + 艺 s i n (夕 : 一 O : ) 根据棣美弗定理 , 我们可 以得到 : tg打夕二 另外 , 卜艺。是n召2 , 一 刃 _ 、 勺 2 2 z牡= ( eos白+ i sin 白) 牲 二e o s n口+ i sin”夕 乌 一 。o : 。一*:、 n 。) 几一 。05: 。一15;n : 。 . 不 易 得 : e os (口 , + 日 2 ) = 之 1玄2 + 1 二一 乏不 之丁 1了1、 一 二尸 月艺 , 万 , 十 矛 艺、 一 石几 / 17 公 豹 仰 夕、 月 反 曰 乙比卜厂 比 仅 , 一 1 硅5in (0 1 + 0 ? ) = 刀 : , : 2八 1 ) : 予 2之 1之2 tg(口,+ 夕 , ) sin (召 , + O 2 1之2 ) eos( 口 , + 口 , ) ( 之登 : 鑫 2 2 1 2 一 1 + 1)i e os (夕 , 一 口 2 ) 5in (8 , 一 8 : ) 一 抓鬓 + 勃 一 刹鬓 一 鬓 - _: 华 一卜: 墨 一 厄可呀飞 : 圣 一z 呈 2之 , 2, i 之8= 一1 . 511 1 20 “ sin 3 o o sizzso “ s in7o “ 二 令 sin 1 6 “ e os4 0 O eos 20 。 1 尸 一 1 之吕十 1 之 4 十1 一 丁 . 厄乏 丁 一 范万 刁 . 落刃 - 1 2 2 ( z 6 一1) 1 一1一2 2 1 二 瓦 : , (厂十约f 二 瓦 一 (: 2 + 1) 二 瓦 例 4 已” / 一 a , 求熬 异 黯 的 tg (夕 , 一口2) _ 5in (8 , 一 口 2 ) _ eos (8 1 一 8 , ) : 圣 一: 叁 (: 圣 + : 鑫 户 L 值 . (1 989年全 国高考三题) 依据三 角 函数之 间的基本关系 , 不难写 出其他三角函数的复数表示法(这里从略) . 由此看到 , 三角函数都 能用复数表示 出来 . 因此 , 利用这些关系 式将三角 问题转化为数 的问题 , 然后借助代数知识解三角题应 是一 件很 自然 的事情 . 事实上 , 这些关系在三角 的求值 、 化简 、 恒等变形 、 解 方程等中有广 泛的 应用 . 下 面举例说明 . 例1求 i jE : 。 o s3x= 4C o s 3a 一3e o sa (19 88年全 国高 考三题) 则 解 : 设 : 之2一 1 ( 之2+ 1) : 二e o sx+ i sir lx , = t gx 二。 . 3 : 一 1) 一丁 一 十 乙之Z 2 6 一1 35是 :lx 于51月3x 3e osx+eos3x 之2+ 1) 22 3 ; 26+ 1 十 几正 一器 3 (一 扩 一1 尸 十4护十 = 民 顶下 D了 户不2尹 - 不1 。 圣 州 土少 Z f 之2 一 ( : 2 一1) 2 + 1) 2 ,. .J 飞 一Z 十 nO r. .L a一 2 证明 : 设 : 4e o s 3a 一 3e o s a 二eosa+ i sina , 则 ( 之2一 1) 2 之+ 1) 2, 一 !合( + 誉) 3 一3 抓 + 钓 石X , X tg 万 一 19 而 乙益 3义 Zsinx eo sx+eos Zx 抓 一 十 粉誉 十 封 一 叙 + 功 抓 一 十 劲 一 宁 3十 “2 例5 求证 : (1 98 8年全 国高考三题) 证明 : 设 := X cos 万 义 十 Sn 万 , 则 e os 3a 。 求证 : e o saeos厅= 令 e o s ( a + 厅) 3x x t g 下布 一 t毯万 乙二 一“ 05(a一 夕) . 证明 : 设 二,二eosa + isi na , : 2二 c os 厅 + 15n口 , 则 eo s ae o s夕 护 一 之2一 1 二 (户 一十 1万一(: , 十 1介 2之 2 ( 之 , 一1) 一 ( 之6+ 1) (之 “+ 1) 2 2(之 4 一1) 一一八 d 朋 拐 仔 一 扮 1 + . f ) 扮 2 劲 Zsin x eosx+eo s Zx 1 “(之4 2: 2之 之d十 1 2 8 资 一 1 三一一 二十 二二 2之 2之 伟 + 1)2之 2 (之 4一 1) 争 右Q山 O 之 了几 一 一 、! / 孙礼 之 .走g 诊 了、 4 十 少 泣 十 鱼 + 2 1汀 2 之, : , 、 一 少 。厅)艺二 一 (分 一十 1) (: 2 + 1 )1 : _爸 。 2 一 叙一 2 汀匕 容易 值 . 一 合 cos ( a十 “) +cO S ( a一 ;) . 这 两例 看出 , 用 此法推证三角公式比较 , 其它三角公 式的推证 , 读者不妨 试试 . 例 3 求 sin lo “ s i n3o“sin so “ Sin 7 o “ 的 (1 9 8 7年全国高考 三题) 解 : 设 :=eo, 10 0 + i sin lo “ , 则 : 9 = i , 25不 1:x 一eos尤+e o32x . 例6 求证 : e os Z A +e o s ( 60 0 一 A) 十 Co S“ ( 6 o 0 一卜 A) = 3/2 . (高 中课 本 上册尸1 98 4题( 6) 证 明 : 设 : = eos注+、51,I A , : 。二 c os6o “ + i sin 60 。 , 18 则 : 。 二oes 8 0 “ + isi n slo “ = 一1 , 2。 = 一l/之 , , 月 : , =: 。+ . l eos Z A 月 一 e o s ( 6 0 “ 一 A ) + e os (6 0 。 + A ) 爵) , 整 啊 得 : (一功 ( 一 十 夕 3 ) 一 。 = 1 ( 二 切 (警 劲 份 护 一 邻 二 多 笋 乡 。 一表 ) ? :+ 誊 是实数 ( + 告 一 ) + 1、 。 , 即 + 乡 + 3子 “ , 一 补 ( 赤 + 一 ) 帅 + 一 + 二 _ = 0即 s i nx= 0 , (k任Z) 1. .1 一、 、 J. 了 2 2 ( : 。 一: 。 ) + 弄 (: 。 一: 。 , 3 2 例7 解方 程 s i n 3x sinx+ 1 =cos Zx (莫斯科大 学 19 8 4年高考入 学试题) 解 : 设 :=e osx+ 艺 sinx 原方程 可化为 : 刽一知 氛 一 勃 + 卜 一 + . . 原方 程的解集是 : x x 一 衍 , k任Z . 由上述几例 看 出 , 三角函数的复数表示 式在解三角 问题 中确有极广泛 的应用 , 而且 利用这些表达式证 (解)三角题时 , 思路简 捷 , 掌 握容易 , 特别是证明三角题时 , 显得 更加方便和简单 , 由较简单的代数恒等变形 代替了从众多三角公式 中寻找恰当三角公 式 后的三角变换 . 因此 , 在恰 当时候 , 把达一 方 法介绍给 学生 , 很有 必 要 , 对提高数学教 学效果很有好 处 . 不等式证 明的一种方法 何美琳 (杭州 大关中学) 不 等式 的证 明和极值问题 的讨论有着密 切关系 , 下面 通 过建立 一个定理来说明对函 数极值的讨论 可 以直接用 于某些不等 式的证 明 。 定理 设 厂 x ( )是定义在数集E上的有界 函数 , 自变量 x 可表示一个变元 , 也 可表示 多个变元 . E中某些元素组成数集E l, 如果 对E中任意元素 x 都可 以找到一个E : 中的元 素 x , 使得 f( x )成f( x , ) 成立 , 则成立 s u p f( x )簇 s u p f( x , ) x 任E x l E l 结论 显见 , 证略 . 定理的结论告诉 我们 : 如 果反复 运用定 理 , 也就 是说 , 能找到一系列数集E , E Z , , E , . 满足 E 。 E 二一, 仁 二E , 二E , 及 f( x )(f ( x ,*, ) (对于任意 x E , 存在 x + i五下+ , 一 1 , 2 , , n一 1)若E 二 是有 限数集我们一定能求出m ax 厂(x ) , 此时 , x 任E 二 有不等式f( x )毛m a xx f( x ) . x E 。 性质1设。 x ( 二 , 。夕蕊二 , 且 x十 万 是一个常数 , 当 x , 夕的值越接近 时 , 则函数 f( x , g)= sinx . s i n刀的值越 大 . 证 明 : 设0 x , 毛 万 , O互 1 ( 尤 , x , 十y , 二x+ y , 且 l x , 一y , 】 x一 引 , 利用积化和 差公式得 sin劣; 一 51,ly,二 一 eo