中考试题选编六——胡不归问题

中考试题中考试题选编选编六六胡不归问题胡不归问题 从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲 病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了 两点之间线段最短的原理， 所以选择了全是沙砾地带的直线路两点之间线段最短的原理， 所以选择了全是沙砾地带的直线路 径径 A AB B（如图所示） ，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的（如图所示） ，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的 实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙 子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念 叨着“胡不归？胡不归？” 。这个古老的传说，引起了人们叨着“胡不归？胡不归？” 。这个古老的传说，引起了人们 的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎 样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题” 。样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题” 。 例 1.（2012 崇安模拟） ，如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22） ， C（1，0） ，D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 ADC，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD 上的 3 倍， 要使整个过程运动时间最少， 则点 D 的坐标 应为-（ ） A.），（20 B. ），（ 2 2 0 C. ），（ 3 2 0 D. ），（ 4 2 0 例 2.（2016 徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像经过点 A（-1，0） ，B（0， -3） 、C（2，0） ，其中对称轴与 x 轴交于点 D。 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则PDPB 2 1 的最小值 为 。 （3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。 若平面内存在点 N，使得 A、B、M、N 为顶点的四边形为菱形， 则这样的点 N 共有 个； 连接 MA、MB，若AMB 不小于 60，求 t 的取值范围。 练习巩固： 1. （2015 无锡二模） 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P， BC=6,ABC=150, 则 PA+PB+PD 的最小值为 。 2.（2015 内江）如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30，O 经过点 C，且 圆的直径 AB 在线段 AE 上。 A A D D B B C C 沙沙 砾砾 地地 带带 （1）试说明 CE 是O 的切线。 （2）若ACE中 AE 边上的高为 h,试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB; （3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点） ，连接 OD，当 2 1 CD+OD 的最小值为 6 时，求O 的 AB 的长。 3.（2015 日照）如图，抛物线nmxxy 2 2 1 与直线3 2 1 xy交于 A、B 两点，交 x 轴于 D、C 两 点，连接 AC、BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） 。 （1）抛物线的函数关系式为 ，tanBAC= 。 （2）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使以 A、 P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出所有符合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明理由。 （3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位的速 度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒2个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 4.（2014 成都）如图，已知抛物线）为常数，0)(4)(2( 8 kkxx k y与 x 轴从左至右依次交于点 A、 B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线bxy 3 3 与抛物线的另一个交点为 D。 （1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式。 （2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点） ，连接 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个 单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为多少时，点 M 在整个运动过程中用时 最少？ （3）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求 k 的值。 5.（2017 徐州二模）二次函数cxaxy2 2 图象与 x 轴交于 A、C 两点，点 C（3，0） ，与 y 轴交于点 B（0，-3） 。 （1）a ，c ； （2）如图，P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，求PCPD 2的最小值。 （3）如图，点 M 在抛物线上，若3 MBC S，求点 M 的坐标。 6.（2016 随州）已知抛物线）0)(1)(3(axxay，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴 交于点 C，经过点 A 的直线bxy3与抛物线的另一个交点为 D。 （1）若点 D 的横坐标为 2，则抛物线的函数关系式为 。 （2）若在第三象限内的抛物线上有一点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标。 （3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上一点（不含端点） ，连接 BE，一动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒 3 32 个单位运动到点 D 停止，问当点 E 的坐标 为多少时，点 Q 运动的时间最少？ x y x y M 图1 O D C BA y x 图2 y xO1B1F E PC BA O H 图3 y xN M O3 C1 O2 B2 O C BA 7. （2009 北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC 三个点的坐标分别为6,0A ，6,0B， 0,4 3C，延长 AC 到点 D,使 CD= 1 2 AC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E. （1）求 D 点的坐标； （2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，若过 B 点的直线 ykxb将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形， 确定此直线的 解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在 直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求 到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要 求证明） 8.（2018 重庆）抛物线6x 3 32 x 6 6 y 2 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左边)，与 y 轴交 于点 C，点 D 是该抛物线的顶点。 (1)如图 1，连接 CD，求线段 CD 的长； (2)如图 2，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，PFx 轴于点 F，PF 与线段 AC 交于点 E；将线段 OB 沿 x 轴左右平移，线段 OB 的对应线段是 O1B1，当EC 2 1 PE 的值最大时，求四边形 PO1B1C 周长的最小值， 并求出对应的点 O1的坐标； (3)如图 3,点 H 是线段 AB 的中点， 连接 CH.将OBC 沿直线 CH 翻折至O2B2C 的位置， 再将