导数恒成立问题---洛必达法则的妙用

洛必达法则 沈阳市第十一中学数学组赵拥权洛必达法则：设函数、满足：（1）；（2）在内，和都存在，且；（3） （可为实数，也可以是）.则.（可连环使用）注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 将上面公式中的xa，x换成x+，x-，洛必达法则也成立。洛必达法则可处理，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。1（2006全国2）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 解法三：1），当时，；2），当 x0时 a(x1)ln(x1)x，gx=(x1)ln(x1)x,g(x)=x-ln(x+1)x20 (x(0,+)由洛必塔法则limx0+g（x）=limx0+x+1ln(x+1)limx0+x=limx0+(lnx+1+1)limx0+1=1 a12. 2006全国1理已知函数.（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围.解法（一）()当0f(0)=1.()当a2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1,得 f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)1.解法（二）-aln1-x-ln(x+1)x,g(x)=ln1-x-ln(x+1)x,g(x)0 (x(0,+) （两次求导 ） 由洛必塔法则：limx0+g(x)=limx0+(ex+e-x)limx0+1=242010新课标理设函数=.（）若，求的单调区间;（）若当x0时0，求a的取值范围解法一：由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.解法二：当时，即.当时，；当时，等价于.记 ，则. 记 ，则，当时，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.5. 2010新课标文已知函数.（）若在时有极值，求函数的解析式；（）当时，求的取值范围.fx=x(ex-1-ax)。令g(x)= ex-1-ax，则。若，则当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.若，则当时，为减函数，而，从而当时0，即0. 综合得的取值范围为（）应用洛必达法则和导数当时，即.当时，；当时，等价于，也即.记，则.记，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.6. 2008全国2理设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围令，则故当时，又，所以当时，即9分当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有因此，的取值范围是（）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，因此，当时，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，因此.7. 2008辽宁理设函数.2 的单调区间和极值;是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由.）当时，由知，其中为正整数，且有12分又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为（）故当时，时，所以在单调递增，在单调递减由此知在的极大值为，没有极小值,f(x)a对一切 x(0,+)恒成立，所以只需fxmina,limx0fx=0,limx+f（x）=0的取值范围为8. 2010全国大纲理设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围.（）应用洛必达法则和导数由题设，此时.当时，若，则，不成立；当时，当时，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，即有，所以.综上所述，的取值范围是.9. 2011新课标理已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.（）方法一：分类讨论、假设反证法由（）知，所以.考虑函数，则(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，可得；当时，可得，从而当且时，即；（ii）当时，由于当时，故，而，故当时，可得，与题设矛盾.（iii）当时， ，而，故当时，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.解法二：当，且时，即，也即，记，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，当时，；当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有 ，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.10. 若不等式对于恒成立，求的取值范围.当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，f(x)16，即有.故时，不等式对于恒成立.11. 已知函数，其中，为自然对数的底数。（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围由，所以f(x)=ex-ax2-e-a-1x-1函数在区间内有零点,分离变量可得a=ex-e-1x-1x2-x在（0,1）上有解令g(x)= ex-e-1x-1x2-x 求导可得函数子（0,1）单调递增，由洛必达法则有limx0+g(x)=limx0+ex-(e-1)2x-1=2-e,同理limx1-gx=1的取值范围为12. 已知函数。（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，求实数a的取值范围解法一：（）由已知，因为，所以（1）当时，不合题意 （2）当时，由，可得设，则，设，方程的判别式若，在上是增函数，又，所以， 若，所以存在，使得，对任意，在上是减函数，又，所以，不合题意综上，实数的取值范围是解法二：对任意， 1a2(x-1)x+1lnx 令gx=2(x-1)x+1lnx gx=4lnx-2x+2x(x+1lnx)2,h(x)= 4lnx-2x+2x在（0，1）单调递减hxh1=0g(x)在（0,1）单调递增，由洛必达法则limx1-gx=limx1-2(x-1)limx1-x+1lnx =limx1-2limx1-(2lnx+1+1x)=1所以1a1即a13. 设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.（）求，的值；（）证明：当时，；（）若当时，恒成立，求实数的取值范围解法一：设，求得，由（）知， 当，即时，在单调递增，成立；当，即时，求得，令，得，当时，在上单调递减，不成立综上所诉， 解法二：（1）x=1时,mR（2）mf(x)(x-1)2 ,g(x)= f(x)(x-1)2 x(1,+) g(x)0(两次求导利用到x-1lnx）(1,+)上g(x)单调递增，由洛必达法则limx1gx=32m32 14. 已知函数，（1） 求证：；（2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.解法一：当时，“”等价于“”； “”等价于“” ，令，则当时，对任意恒成立。当时，因为对任意，所以在区间上单调递减，从而对任意恒成立。当时，存在唯一的使得与在区间上的情况如下：0因为在区间上是增函数，所以，进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为1.解法二：令gx=sinxx ,gx=xcosx-sinxx2 ,hx=xcosx-sinx,hx=-xsinx0,h(x)h0=0g(x)单调递减，g2=2 ,由洛必达法则：limx0sinxx=limx0cosxlimx01=1所以，若对任意恒成立，则的最大值为，的最小值为1.15.已知函数fx=xx+1+e-x-1，（1）证明：当=0时f(x)0;(2)若x0时f(x)0，求的取值范围。解：（1）略（2）已知x0，当0时x+时xx+10，e-x-10fx0时fx011-e-x-1x ,g(x)= 11-e-x-1x=x-1+e-xx(1-e-x) ,gx=e-x-2+e-x-x2+1x2(1-e-x)2 ,h(x)= e-x-2+e-x-x2+1 ,h(x)=e-x(-2e-x+x2-2x+2) ,P(x)= -2e-x+x2-2x+2,p(x)=2e-x+2x-20（由1可知）由洛必达法则limx0+11-e-x-1x=limx0+x-1+e-xx(1-e-x)=limx0+1-e-x1-e-x+xe-x=limx0+ e-x2e-x-x=limx0+12-x=1200 ，f(x)0求a范围;由题意x0 ，f(x)0即a(x-x2)ln(x+1）恒成立；当x=1时x-x2=0，原不等式0ln2成立；当0x0则aln(x+1）x-x2 ，令g(x)=lnx+1-(x-x2) ,g