利用微分方程求幂级数的和函数VIP

上海工程技术大学教育研究? 3/ 2010 利用微分方程求幂级数的和函数 沈亦一 (上海工程技术大学基础教学学院? 上海 201620) ? ? 摘? 要? 在多数高等数学教材中, ex, sinx的展开式都是利用直接展开法得到的。本文利用 微分方程给出了 e x, sinx的展开式, 这种方法更容易被学生所接受, 也可以节省课堂教学的时 间。利用微分方程求幂级数的和函数也是考研数学的一个重要知识点。 ? ? 关键词? 幂级数; 和函数; 微分方程; 考研数学 ? 在大多数高等数学教材中, 微分方程都 是编排在无穷级数后面的。因而在教学中, 普遍面临着这样的一个问题。利用间接展开 法将函数展开成幂级数时需要用到 e x, sinx 的展开式, 而这两个展开式都是利用直接展 开法作为例题给出的。直接展开法步骤多, 难度大, 不宜被学生所理解和掌握。近来, 有 部分高等数学教材改变了传统的内容编排顺 序, 将微分方程提到无穷级数的前面, 这就使 得我们可以利用微分方程求幂级数的和 函数。 本文利用微分方程给出了, 的展开式, 这 种方法更容易被学生所接受, 也可以节省课堂 教学的时间。在研究生入学数学考试中, 求幂 级数的和函数是一个重要的知识点, 掌握利用 微分方程求幂级数的和函数这一方法, 有助于 提高考生综合运用所学知识的能力。 一、 用间接展开法将和展成的幂级数 函 f (x )数展开成幂级数的方法分为直 接展开法和间接展开法。直接展开法包括以 下步骤:( 1)求出 f (n) ( x0) ( n = 1 , 2 , ? ); ( 2)写出 f (x )的泰勒级数 ! n= 0 f (n) (x0) n! (x - x0) n 并求其收敛区间 I;(3) 证明 li m n ! Rn(x ) = li m n ! f (n+ 1) (?) ( n+ 1)! (x - x0) n 对于 x# I 均成立。 从而将 f ( x )展开成幂级数, 即 f (x ) = ! n= 0 f (n) (x0) n! (x - x0) n (x# I)。直接展开法的思 路很明确, 但在使用的过程中会遇到许多困 难。首先对于多数函数给出 f (n) (x )并不总 是切实可行; 其次是 li m n ! Rn(x ) = 0的证明。 间接展开法是在 e x, sinx, 1 1- x等函数展开式 的基础上, 通过恒等变形, 利用幂级数逐项求 导和逐项积分的性质, 将 f (x )展开成幂级 数。间接展开法相比之下简便易行, 但需要 一定的技巧, 同时间接展开法离不开 e x, sinx, 1 1- x等函数的展开式, 而在多数高等数 学教材中, e x, sinx 的展开式都是利用直接展 开法得到的。 我们也看到有些教材在内容的编排上有 所创新, 最明显的变化是将微分方程编排在 无穷级数的前面。微分方程也可以用来求幂 级数的和函数。若对 S (x) = ! n= 0anx n 逐项求 导后不能直接求得和函数的导数 S(x ), 但 %59% 是可以导出和函数 S (x)所满足的一个微分 方程, 并容易确定其初值, 则通过求解该微分 方程的初值问题就可求得幂级数的和函数 S (x)。 下面通过求解微分方程, 给出 e x, sinx 的 展开式。 例 1? 求幂级数 ! n= 0 x 0 n! = 1+ x + x 2 2 ! + ? + x n n! + ?的和函数。 解: ?= li m n ! an+ 1 an =li m n ! n! (n + 1)! = li m n ! 1 n + 1 = 0, 则 R = + ! , 幂级数 ! n= 0 x n n! 的收敛区间为 ( - ! , + ! )。设其和函数为 f (x), 则 f (x) = ! n= 0 x n n! = 1+ x + x 2 2 ! + ? + x n n! + ? (- ! x + !), 利用幂级数的性质, 上式两边求导, 可得 f(x) = ! n= 0 x n- 1 n! = 1+ x + x 2 2 ! + ? + x n n! + ? (- ! x + !), 由 f(x ) = f(x), 解得 f (x ) = Ce x, 又f (0) = 1 , 所以 f (x ) = e x, 即 e x = ! n= 0 x n n! = 1+ x+ x 2 2 ! + ?+ x n n ! + ? ( - ! x + !)。 例 2? 求幂级数 ! n= 1 (- 1) n- 1x 2n- 1 ( 2n - 1)! = x - x 3 3 ! + ? + (- 1) n- 1 + x 2n- 1 ( 2n - 1)! + ? 的和函数。 解: 由于 lim n ! un+ 1(x) un(x) = lim n ! x 2 2n + 1 = 0 1 , 故对于任意的 x, 级数 ! n= 1 (- 1) n- 1x 2n- 1 (2n - 1)! 都是收敛的, 因而幂级数 ! n= 1 (- 1) n- 1x 2n- 1 ( 2n - 1)! 的收敛区间为 ( - ! , + ! )。设其和函数为 f (x), 则 f (x ) = ! n= 1 (- 1) n- 1x 2n- 1 (2n - 1)! = x - x 3 3 ! + ? + (- 1) n- 1x 2n- 1 ( 2n - 1)! + ? (- ! x + ! ), 利用幂级数的性质, 上式两边分别求一阶和 二阶导数, 可得 f(x ) = ! n= 1 (- 1) n- 1x 2n- 1 ( 2n - 1)! = 1- x 2 2 ! + ? + (- 1) n- 1x 2n- 1 ( 2n - 1)! + ? (- ! x + ! ), f ( 2) 利用 ( 1) 的结果求幂级数 ! n= 0 x 3n ( 3n)!的和函数。 解:( 1)由于 li m n ! un+ 1(x) un(x) = li m n ! | x 3 | (3n + 1) (3n + 2) ( 3n + 3) = 0 1 , 故级数 ! n= 0 x 3n (3n)! 对于一切 x 都收敛, 所以 幂级数 ! n= 0 x 3n ( 3n)! 的收敛区间为 ( - ! , + ! )。设其和函数为 y(x ), 则 y(x) = ! n= 0 x 3n (3n)! = 1+ x 3 3 ! + x 6 6 ! + ? + x 3n (3n) + ? (- ! x + ! ) 在上式的两边分别求一阶和二阶导数, 得 y(x ) = x 2 2 ! + x 5 5 ! + x 8 8 ! + ? + x 3n- 1 ( 3n - 1)! + ? (- ! x + ! ) y 设非齐次方程 y ( 2)求的表达式。 %61% 解: (1)在 y(x ) = ! n= 0anx n ( - ! x + ! )两边分别求一阶和二阶导数, 可得 y(x ) = ! n= 0 nanx n- 1 (- ! x + ! ) y 2nb2n- 1= (2n - 2)b2n- 3= ? = 2b1, b2n- 1= b1 n 0(n ! ); 即 ?= lim n ! an+ 1 an =li m n ! | bn| = 0 , 则 r= + ! , 幂级数 ! n= 0anx n 的收敛区间为 ( - ! , + ! ), 所以有 S(x ) = ! n= 0 anx n (- ! x + ! ) %62% 上式两边求一阶和二阶导数, 可得 S(x ) = ! n= 1 nanx n- 1, S&(x ) = ! n= 2 n(n - 1)anx n- 2 (- ! x + ! ) 由 an- 2= n(n- 1)an, 得 s&(x ) = ! n= 2 n(n- 1) anx n- 2 = ! n= 2 an- 2x n- 2 = ! n= 0 anx n = S(x), 由 S&(x ) - S (x ) = 0 , 解得 S (x ) = C1e x + C2E - x, 注意到 S(0) = a 0= 4, S(0) = a1= 1 , 可得 C1= 5 2, C 2= 3 2, 于是, S (x ) = 5 2 e x + 3 2 e - x, 即 ! n= 0 anx n = 5 2 e x + 3 2 e -x (- ! x + ! ) 另解: 由 an= 1 n(n- 1) an- 2, 可得 a2n= 1 2n(2n - 1) a2n- 2= 1 2n( 2n- 1) (2n - 2) ( 2n - 3) a2n- 4= ? = 1 2n( 2n - 1) ?1a 0= 4 ( 2n)! (n = 0 , 1, 2 , ) a2n+ 1= 1 (2n + 1)2na 2n- 1= 1 (2n + 1)2n(2n - 1) ( 2n - 2) a2n- 3= ? = 1 ( 2n + 1) 2n?2 a1= 1 (2n + 1)! (n = 0 , 1 , 2 , ?) 所以 an= 5+ 3(- 1) n 2 ) 1 n! (n = 0 , 1 , 2 , ?) 由此可得 ! n= 0 anx n = ! n= 0 5+ 3(- 1) n 2 ) 1 n! x n = 5 2 ! n= 0 x n n! + 3 2 ! n= 0 (- x) n n! = 5 2 e x + 3 2 e - x (- ! x + ! ) 三、教材内容次序的重新安排所带来的 问题 把微分方程内容放在无穷级数的前面介 绍, 使得我们可以利用微分方程来求幂级数 的和函数, 通过上面的例题不难发现这样安 排教材内容的次序所带来的益处。然而, 任 何事物都有其两面性, 这种处理方法也存在 弊端。 当微分方程的解不能用初等函数或其积 分式表达时, 我们常用幂级数解法 (和数值 解法 )。 例 6? 求解勒让得 ( Legendre)方程 (1- x 2 )y&- 2xy+ n(n+ 1)y = 0 其中 n为常数。 解: 设勒让得方程的解为 y = a0+ a1x + 3a3x 2 + ? + akx k + ? = ! k = 0 akx k 对上式两边求导, 得 y= a1+ 2a2x + 3a3x 2 + ? + kakx k- 1 + ? = ! k = 1 kakx k- 1 y&= 2a2+ 3) 2a3x + ? + k(k - 1)akx k- 2 + ? = ! k= 2 k(k - 1)akx k- 2 带入勒让得方程, 得 ! k = 2 k(k - 1)akx k- 2 - ! k= 2 k(k - 1)akx k - 2 ! k= 1 kakx k + n(n + 1) ! k= 0 akx k = 0 %63% 即 ! k = 0 (k + 2) (k + 1)ak+ 2- k(k - 1)ak- 2kak+ n(n + 1)ak x k = 0 整理得 ! k= 0 (k + 2) (k + 1)ak+ 2+ (n - k) (n + k + 1)ak x k = 0 于是有 ak+ 2= - (n - k) (n + k - 1) ( k + 1) (k + 2) ak ( k = 0 , 1 , 2 , ?) 即 a2= - n(n + 1) 2 ! a0, a3= - (n - 1) (n + 2) 3 ! a1 a4= - (n - 2) (n + 3) 3) 4 a2= (n - 2)n(n + 1) (n+ 3) 4 ! a0, a5= - (n - 3) (n + 4) 4) 5 a3= (n - 3) (n - 1) (n + 2) (n + 4) 5 ! a1, 记 C1= a0, C2= a1, 于是得到勒让得方程的 通解为 y = C11- n(n + 1) 2 ! x 2 + (n - 2)n(n + 1) (n + 3) 4 ! x 4 - ? + C2x - (n - 1) (n + 2) 3! x 3 + ( n- 3) (n- 1) (n + 2) (n + 4) 5 ! 5 ? 可以证明上述级数在 - 1 x 1内收敛。 如果无穷级数内容安排在微分方程的后 面, 则无法利用幂级数来求解微分方程。由 于这部分内容不是重点, 加上课程教学大纲 对于这种方法要求也不高, 所以权衡利弊, 将 微分方程内容安排到前面的做法是非常值得 尝试的。 四、结? 语 数学知识是相互渗透的, 我们既可以利 用微分方程求