利用对称原理计算定积分的三种方法

利用对称原理计算定积分的三种方法 ? 李德新 ? (福建农林大学计算机与信息学院 ?福建福州 ? 350002) 摘要 ?对称区间上的定积分和一类非对称区间上的定积分, 均可用对称原理简便计算。 关键词 ?对称区间; 对称比; 定积分 ? ?中图分类号: O172?2 本文将深入讨论利用对称性计算定积分的问题。 为节省篇幅, 文中均假设被积函数为连续函 数, 同时具体实例中应用了对称性之后的定积分计算略去解答过程, 直接附上结果。 1?利用对称区间上奇、 偶函数的定积分性质 定理 1? (1) 若 f ( x ) 为奇数, 则? a - af ( x )dx = 0; ? ? ?(1) ? ? ? ( 2) 若 f ( x ) 为偶函数, 则? a - af ( x) dx = 2? a 0 f ( x )dx 。 ? ?(2) 利用公式( 1)、 ( 2) 并结合定积分的分项运算与分段运算可以简化计算过程。 当被积函数中含 有奇、 偶函数或积分区间含对称区间时, 可考虑直接用公式(1)、 (2) 化简定积分。 如,? 1 - 1( ?x ?+ x) e - ? x ? dx = ? 1 - 1 ?x ?e - ?x ? dx +? 1 - 1xe - ?x ? dx (1)(2) 2? 1 0 xe - ?x ?dx = ? ? ? ? ? ? ?2(1- 2 e )。 如,? ? 2 - ? 2 cosx - cos3x dx = ? ? 2 - ? 2 cosx ?sinx ?dx (2) 2? ? 2 0 cosx sinxdx = 4 3 。 如,? 2 - 1e - ? x ?dx = ? 1 - 1x e - ? x ?dx + ? 2 1xe - | x| dx (1) ? 2 1xe - x dx = 2e - 1 - 3e - 2。 2?利用对称区间上非奇非偶函数的定积分性质 定理 2?对任何函数 f ( x ), 都有 ? a - af ( x )dx = 1 2? a - a f ( x ) + f (- x)!dx ; ? ? ? ?(3) ? a - af ( x )dx =? a 0 f ( x ) + f (- x )!dx 。 (4) 先证公式(3): 因为? a - af ( x)dx - 1 2? a - a f ( x) + f (- x )!dx = 1 2? a - a f ( x) - f (- x )!dx (1) 0 ( 其中f ( x) - f (- x) 为奇函数) , 因而? a - af ( x) dx = 1 2? a - a ( f ( x )+ f (- x )!dx 。 这里是用比较法 证明, 读者还可用换元法、恒等法或将 f ( x ) 分解成一个奇与一个偶函数之和 1f ( x) = f ( x ) - f (- x ) 2 + f ( x ) + f (- x ) 2 然后, 利用公式(1)、 (2) 证之。 至于公式( 4), 由公式(3) 与公式(2) 并注意到 f ( x ) + f (- x ) 为偶函数, 容易证得 ? 41 Vol. 7, No. 6? ? ? ? ? ? ? ?高等数学研究 ? Nov. , 2004 ? ? ? ? ? ? STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS? ? ?收稿日期:2004 02 23 公式(3)、 ( 4) 是公式(1)、 (2) 的推广。 利用公式( 3) 或(4) 可以计算对称区间上非奇非偶函数 f ( x ) 的定积分, 只要 f ( x ) + f (- x ) 比 f ( x ) 简单即可。 如, 求? 1 - 1 x 2 1+ ex dx 。 其中 f ( x ) = x 2 1+ ex , f ( x ) + f (- x) = x 2, 所以原式 (4) ? 1 0 x 2dx =1 3 。 如, 求? ? 2 - ? 2 ?sinx ?arctan2xdx 。 其中 f ( x ) =?sinx ?arctan2x, 利用 arctanx + arctan 1 x = ? 2 这一结论有 f ( x ) + f (- x) = ? 2 ?sinx ?, 所以原式 (4) ? ? 2 0 ? 2 ?sinx ?dx = ? 2? ? 2 0 sinx dx = ? 2 。 仿照上例, 可求得 ? ? 4 - ? 4 sin2x 1+ e - xdx = 1 8 ( ?- 2),? 1 - 1 1- x 2lnx +1+ x 2 2 dx = - ? 2 ln2。 3?利用非对称区间上可对称化的定积分性质 定理 3?对任何区间 a, b!记区间中点 x0= a + b 2 , 记 c = b - a 2 , 则 ? b af ( x )dx =? c - cf ( x + x 0)dx ; ? ? ?(5) ? b af ( x - x 0) dx =? c - cf ( x )dx 。 ? ? ? ?(6) 定理 3 利用定积分换元法中的# 中心对称变换x =t + a + b 2 不难证得。 公式( 5)、 ( 6) 表明非对称区间上定积分有时也能用对称性计算, 只要 f ( x + x0) 在对称区间 - c, c!上容易积出或被函数形如 f ( x - x0) 即可。 如, 求? 3 1 x - 1 x 2 - 4X + 5dx 。 其中 a = 1, b = 3, x 0= 2, c = 1, f ( x ) = x - 1 x 2?4x + 5, 所以 原式 (4) ? 1 - 1 x + 1 x 2 + 1dx (1)、 (2) 2? 1 0 1 x 2+ 1dx = ? 2 。 如, 求? ? 0arctan(cosx )dx 。 其中 a = 0, b = ? , x0= ? 2 , c = ? 2 , f ( x ) = arctan(cosx ), 所以 原式 (4) -? ? 2 - ? 2 arctan(sinx )dx (1) 0。 仿照上例, 可得 ? 2a 0 x2ax - x 2dx ( a 0) =? 2 a3%? ? 0 x | sinx cosx | 1+ sin4x dx = ? 2 8 。 ? 2 0 ?x - 1?dx = 1。 ? 1 0 x ex+ e1- x dx = 1 e (arctan e- ? 4 )。 前面这四个例子, 用公式( 4)、 ( 5) 计算比用任何其他方法(见文献 3!) 都简单明了, 读者不妨 一试。 下面用公式(5) 证明一个定积分性质(文献 1!的例题, 文献 2!的习题), 且证法比文 1! 2!要 简单。 如求证? ? 0 xf (sinx) dx = ? 2? ? 0f (sinx ) dx。 事实上, a = 0, b = ?。 x0= ? 2 , c = ? 2 , 于是利用公式(4) 有 ? ? 0 xf (sinx )dx - ? 2? ? 0 f (sinx )dx = ? ? 0( x - ? 2 ) f (sinx )dx = ? ? 2 - ? 2 xf (cosx )dx (1) 0 ?( 下转 47页) 42? ? ? ? ?高等数学研究 ? ? ? ? 2004年 11 月 令 g( x) = arctanex+ arctane- x, 因为 g&( x ) = ex 1+ e2x + - e- x 1+ e - 2x = 0, 所以 g( x ) = C, 又 g(0) =? / 2, 所以 g( x ) =?/ 2。 于是 I = ? ?/2 0 | sinx |% ? 2 dx = ? 2 。 六、 若 f ( x ) 是偶函数, 且在- a, a 上可积, 则有? a - a f ( x) ex+ 1dx =? a 0f ( x )dx 。 其实由(五) 中公式可以得到: ? a - a f ( x ) ex+ 1dx =? a 0 f ( x) ex+ 1 + f (- x ) e - x + 1 dx = ? a 0 f ( x ) ex+ 1 + exf ( x ) ex+ 1 dx = ? a 0f ( x )dx 。 例 7?求 I = ? ?/2 - ?/2 cos7x ex+ 1dx。 ? ? ?解 ? I = ? ?/2 0 cos7x dx = 6 7 4 5 2 3 1 = 16 35。 例 8?求 I = ? 1 - 1 1 (ex+ 1) ( x 2 + 1) dx 。 ? ?解 ? I = ? 1 0 1 x 2+ 1dx = arctanx | 1 0= ? 4 。 这样的例子还有很多, 我们可以把这些方法和技巧介绍给学生, 不仅可以增加定积分计算的方 法, 而且可以增强学生学习的兴趣, 引导他们积极思考。 参考文献 1 李开丁, 李莉. 定积分的二种换元法及其应用J . 高等数学研究, 1999( 4) , 15- 18. (上接 42 页) (注: xf (cosx) 为奇函数)。 所以所证式子成立。 利用对称原理计算定积分, 不仅可以求对称 区间上奇、 偶函数的定积分, 求对称区间上非奇非 偶函数的定积分, 并且还可以求非对称区间上的 定积分。 这是一种十分简单而有效的计算方法。 参考文献 1 同济大学数学教研室? 高等数学( 上) M? 北 京: 高等教育出版社, 2001?299 301? 2 张朝阳, 李德新? 高等数学(上) M ? 厦门: 厦 门大学出版社, 2003?252 253? 3 龚冬保, 武忠祥, 毛怀遂等. 高等数学典型题解 法. 技巧. 注释( 第二版) M!. 西安: 西安交通大 学出版社, 2000. 191 203. 简 ?讯 # 两奖 奖励条例将做适当修正 # 华罗庚数学奖 和# 陈省身数学奖 自设立以来, 奖励了一批我国在数学研究上做出突出成就 的数学工作者, 在社会上有相当的反响。 两奖的评选和奖励办法, 一直严格遵循# 华罗庚数学奖奖励 条例 和# 陈省身数学奖奖励条例 两个奖励条例, 效果很好。 为了适应新时期和新形式的要求, 根 据提议, 中国数学会九届三次常务理事会上针对是否应对奖金的数额和奖励办法有相应的调整进 行了商议。 会议通报了文兰理事长、 李安民副理事长和巩馥洲秘书长就将与香港刘永龄先生签署新 的合同一事拜访陈省身先生, 并带回了陈先生提出奖励办法是否可由申请改为推荐的方式的意见。 会议还通报了王元先生就