利息习题解答第七章d

版权所有，翻版必究 第七章习题答案 1. 已知名义利率8%，通货膨胀率5%。现有10年期定期存款，分别按照以下两种 方式计算：1）按最初投入资本计算第10年底的收益， 记为A；2）以实际利率计算 第10年底的收益， 记为B。给出A与B的比值。 解: 不妨设最初投入为1元， 则 (1) A = (1 + 8%)10/(1 + 5%)10 (2) B = (1 + i0)10= (1 + 8%)10/(1 + 5%)10 (3) A/B = 1 2.超级有争议！ ！ ！ 下面只是一种解法。 如果上题中的投资方式改为标准年金方式， 计算A与B的比值。 解: 由题意， A = s10p8%/(1 + 5%)10 B = a10pi0 /(1 + 5%) = (1 + i0)10 1 i0 (1 + 5%) 再利用1 + i0= 1+i 1+r,可得A/B = 0.82 3. 已知5年定期储蓄的年实利率7%，通货膨胀率10%，计算在此期间实际购买力 下降的比例。 解: 注意这里的实利率不是书中的实际利率。不妨设最初投入1元钱，其终值 为S,按照实际购买力计， S = (1 + 7%)5 (1 + 10%)5 实际购买力下降了1 S = 12.9% 4. 某人计划投资于年利率8%的基金，20年后退休时的总受益。已知利息收入的 税率是25%。现有以下两种付税方式：(A)投资结束时一次性付税；(B)每年按 时付税。计算两种方式下最终收益的比值。 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必究 解: 从现实来看， 此人的投资方式应该是年金方式。不妨设每年投入一元钱。 收益YA= (s20p8% 20) (1 0.25) + 20 = 39.29 收益YB= s20p6%= 36.79 YA YB = 1.069 5. 10年前某投资者将10,000元投资于某项目，每年底得到回报1500元。目前， 项目失败，10,000元投资已无法追回。该投资者将前10年的回报分别存入年利 率8%的基金。计算该投资者这10年的收益率。 解: 设收益率为i， 由题意得 10,000 (1 + i)10= 1500 s10p8% i = 8.07% 6. 面值1000元的10年期息率8%的债券以预期收益率12%出售，假定息票收入是 确定的， 但是， 到期的兑现有2%的违约可能。用现值的数学期望计算债券价格。 解: 首先应该解出无风险利率i。利用溢价公式可得 0.12 i = 1 98% 98% (1 + i) i = 9.76% 于是 EPV = 1000 8%a10p12%+ 980 (1 + 9.76%)10 = 838.19 7.已知某项目在一年后能够收回1000元的可能为90%，无任何收入的可能 为10%， 年利率25%。计算投资收益现值的数学期望、 标准差和风险收益率。 解: 这里的年利率应该理解成无风险收益率。设风险收益率为i。由题意 EPV = 1000 90% 1.25 = 720 因为Pr(PV = 1000 1.25 = 800) = 0.9,Pr(PV = 0) = 0.1 故 = 0.9 (800 720)2+ 0.1 (0 720)2= 240 由 720(1 + i) = 1000 i = 38.89% 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有，翻版必究 8. 面值1000元的20年期债券。每年息票收入87.50元，预期收益率9.5%。如果无 风险利率为8.75%。计算年违约概率。 解: 无风险收益率i = 8.75%, 风险收益率ip= 9.5%,于是 年不违约概率 p = 1 + 8.75% (9.75% 8.75%) + 1 + 8.75% = 0.993 年违约概率为0.00685 9. 某公司签发1,000,000元两年期贷款，年利率8% 。还贷方式：每年底偿还应计 利息并等额偿还本金。如果对借款人在第一年底的提前还贷没有处罚。已知第一 年底的一年期远期利率可能为6%或10%且概率相等，贷款将以这个利率进行第 二年的再投资。计算：1）贷款人收回的贷款在第二年底的终值的数学期望；2） 这个终值的标准差；3）平均期望收益率。 解: (1) 若f2= 6%,借款人提前还完贷款 AV2= 1080000 1.06 = 1144800 若f2= 10%,借款人不提前还完贷款 AV2= 580000 1.1 + 540000 = 1178000 故E(AV2) = 1144800 0.5 + 1178000 0.5 = 1161400 = (1144800 1161400)2 0.5 + (1178000 1161400)2 0.5 = 16600 (2)设风险收益率为i,由 1000000 (1 + i)2= 1161400 i = 7.77% 10. 15年期贷款，利率12%，每年底等额还贷。每年的违约概率为1%，还款现 金流的现值的数学期望为150,000。(1)如果年违约概率加倍，计算对应的数学期 望；(2)如果将利率提高到14%， 计算对应的数学期望。 解: 设每年等额还款为R。首先应该解出无风险利率i。利用溢价公式可得 0.12 i = 1 99% 99% (1 + i) i = 10.88% 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所有，翻版必究 (1)v(0) p,i = 99% 1+10.88% = 0.8929,v(1) p,i = 98% 1+10.88% = 0.8838 150000 = R 1 t=1 5(v(0) p,i) t EPV = R 1 t=1 5(v(0) p,i) t EPV = 141204.82 (2) 150000 = Ra15p12% EPV = Ra15p14% EPV = 135272.87 11. 某人购买1000元10%息率的早赎债券：10年到期时以面值赎回或者在第5年 底以1050元赎回。这10年中可能的再投资利率为7%，如果债券的出售价格 为1100元， 早赎概率为.25， 计算收益率。 解: 设收益率为i。 不早赎下10年底终值AV10= 100 s10p7%+ 1000 = 2381.64 早赎下10年底终值AV10= (100 s5p10%+ 1050) (1 + 7%)5= 2279.25 于是 E(AV10) = 0.75 2381.64 + 0.25 2279.25 = 2356.04 再由1100 (1 + i)10= 2356.04 i = 7.91% 12. 利用表7-4的利率计算面值1000元的两年期息率分别为5%和10%的债券的价 格。 解: 息率为5%P = 1000 5% 1.07 + 1000 (1 + 5%) 1.082 = 946.93 息率为8%P = 1000 8% 1.07 + 1000 (1 + 8%) 1.082 = 1000.69 13. 计算上题中两种债券的收益率 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有，翻版必究 解: 设收益率为i。 利用公式F rs2pi+ F (1 + i)2 = P 息率为5%i = 7.97% 息率为8%i = 7.96% 14. 根据表7-4的利率计算以下远期利率： 一年后的两年期远期利率； 两年后的三 年期远期利率。 解: 用fk n+1表示n年后k年远期利率， 于是由 (1 + i1) (1 + f2 2) 2 = (1 + i3)3 f2 2 = 9.64% (1 + i2)2 (1 + f3 3) 3 = (1 + i5)5 f3 3 = 10.51% 15.不理解题意 16. 某人计划投资100,000元三年，在第一、二年底将投资账户的余额进行再投 资。已知第一年的即期利率如表7.1所示， 而第二、 三年的收益曲线将分别比上一 年整体上升2%。分析所有可能的投资模式，计算第三年底的最小和最大投资终 值。 解: 投资方式共有4种。 (1) 购买一个3年的金融产品 终值AV = 100000 (1 + 2.459%)3= 107559.89 (2) 先买一个2年的， 2年后再购买一个1年的 终值AV = 100000 (1 + 2.225%)2 (1 + 1.98% + 4%) = 110748.58 (3) 先买一个1年的， 1年后再购买一个2年的 终值AV = 100000 (1 + 1.98%) (1 + 2.225% + 2%)2= 110779.35 (4) 分别购买三个1年的 终值AV = 100000(1+1.98%)(1+1.98%+2%)(1+1.98%+4%) = 112379.92 故最小和最大投资终值分别为107559.89元、 112379.92元。 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有，翻版必究 17. 现有如下的现金流： 当t=1,3,5,19时， 100元； 当=2,4,6,20时， 200元。计 算时刻t， 使时刻的3000元的现值等价于上述现金流的现值。 解: 利用 100 a20pi+ 100 s2pi a20pi= 3000 vt t= ln a20pi 30 (1 + 1 s2pi ) lnv 18. 已知某种股票的分红以4%的比例逐年递增， 实利率8%， 计算投资期限。 解: d = n=1 n 1.04n1 1.08n n=1 1.04n1 1.08n = 1 1.08 n=1n 1.04n1 1.08n n=1 1.04n1 1.08n = 1 1.08 ( n=1x n)0| x=1.04 1.08 n=1 1.04n1 1.08n = 27 19. 给出年金 anpi的修正投资期限的计算表达式。 解: d = Ianpi anpi v = d 1 + i = v Ianpi anpi 20. 证明： 期末永久年金的修正投资期限等于该年金的现值。 证: v = d 1 + i = 1 d (1 + i) = 1 i 北京大学数学科学学院金融数学系第 6 页 版权所有，翻版必究 21.某贷款的偿还现金流为：第一年底1000元，第二年底2000元，第三年 底3000元， 实利率25%， 计算贷款额、 投资期限、 修正投资期限和2。 解: 贷款额 L = 1000 1.25 + 2000 1.252 + 3000 1.253 = 3616 投资久期 d = 1 1000 1 1.25 + 2 2000 1 1.252 + 3 3000 1 1.253 3616 = 2.2 修正投资久期 v = d 1 + 0.25 = 1.76 2= 1 1000 1 1.25 + 4 2000 1 1.252 + 9 3000 1 1.253 3616 d2 = 0.62 22.如果 c可以用2 i表示如下： c = a(i) 2 i + b(i) 。试给出a(i) 和 b(i)的表达式。 解: 由(P 0(i) P(i) )0= P00(i) P(i) (P 0(i) P(i) )2 c = P00(i) P(i) = (P 0(i) P(i) )0+ (P 0(i) P(i) )2 = ( d 1 + i) 0 + (P 0(i) P(i) )2 又 (d)0= v (i)2 (P 0(i) P(i) )0= 2 i + d (1 + i)2 c = 2 i + d (1 + i)2 + (d)2 (1 + i)2 = 2 i (1 + i)2 + d + (d)2 (1 + i)2 a(i) = 1 (1 + i)2 , b(i) = d + (d)2 (1 + i)2 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有，翻版必究 23. 如果在例7.5中投资者的投资方式为：(A)600元投资于短期资金市场，400元 投资于两年期债券； (B)400元投资于短期资金市场， 600元投资于两年期债券。 计 算P(0.09),P(0.10)和P(0.11)。并且将这两种投资组合与例7.10的结果进行比较。 解: (A) 利用 P(i) = 600 + 1.12 400 (1 + i)2 1100 1 + i P(0.09) = 1.80 P(0.10) = 0 P(0.11) = 1.83 (B) 利用 P(i) = 400 + 1.12 600 (1 + i)2 1100 1 + i P(0.09) = 1.89 P(0.10) = 0 P(0.11) = 1.75 显然这两个策略均不是免疫策略。 24. 已知年利率8%， 计算以下投资组合的凸值：短期资金市场、10年期零息票债 券和红利固定的优先股票。 解:(1) 短期资金市场 c = 0 (2) 不妨设购买零息票面值为1元， 则 P(i) = 1 (1 + i)2 c = P00(i) P(i) = 110 (1 + i)2 故当 i = 8%时 , c = 94.31 (3) 不妨设优先股每年的红利为1元， 则 P(i) = 1 i c = 2 i2 故当 i = 8%时 , c = 312.5 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有，翻版必究 25. 如果n期贷款的利率为零， 计算分期等额还贷的凸值。 解: P(i) = n k=1 1 (1 + i)k P 00(i) = n k=1 k (k + 1) (1 + i)k+2 故当 i = 0时, c = n k=1k (k + 1) n = n k=1k 2 + n k=1k n = n(n+1)(2n+1) 6 + n(n+1) 2 n = (n + 1) (n + 2) 3 26. 某金融机构收到85,000元定期储蓄，10年后以年利率8%按复利偿还本息。 可能的投资工具为收益率均为8%的5年期零息票债券和优先股票。如果零息票 债券的投资期限为5年；优先股票的投资期限为13.5年。将以上的期限加权平均 后，有：零息票债券的投资额为：13.510 13.55 85,000 = 35,000；优先股票的投资额 为： 105 13.55 85,000 = 50,000。证明：用免疫技术进行分析，上述投资组合为最优 组合。 证: 只需验证免疫技术的三个条件。 (1) P(i) = 35000 1.085 (1 + i)5 + 50000 0.08 i 85000 (1 + 8%)10 (1 + i)10 P(8%) = 0 (2) P 0(i) = 35000 5 1.085 (1 + i)6 50000 0.08 i2 + 85000 10 (1 + 8%)10 (1 + i)11 P 0(8%) = 0 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有，翻版必究 (3) P 0(i) = 35000 30 1.085 (1 + i)7 + 50000 2 0.08 i3 85000 10 11 (1 + 8%)10 (1 + i)12 P 00(8%) = 8.509 106 0 27. 某金融机构当前收到37,908元，然后在今后的5年内每年底支付10,000元。其 投资工具为1、3和5年的零息票债券，收益率均为10%。该机构考虑以下的投资 决策：负债的期限关于可能的投资期限是对称的，所以，三种债券的投资额均 为12,636元。证明：用免疫技术说明，这个投资策略并不是最优的。找到一个更 优的策略。 解: 设投资于三种资产的金额分别为X、 Y、 Z PV L(i) = 10000 a5piPV L(10%) = 37908 PV L0(i) = 100005 i (1 + i) 6 1 + (1 + i)5 i2 PV L00(i) = 100002i 2i (1 + i) 5 10i2