数学中考总复习30讲(一轮复习)第17讲-全等三角形

第17讲 全等三角形【考点总汇】一、全等三角形的性质及判定定理1.性质（1）全等三角形的对应边 ，对应角 。（2）全等三角形的对应边的中线 ，对应角平分线 ，对应边上的高 ，全等三角形的周长 ，面积 。2.判定定理（1）三边分别 的两个三角形全等（简写“边边边”或“ ”）。 （2）两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等（简写“边角边”或“ ”）。 （3）两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等（简写“角边角”或“ ”）。 （4）斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等（简写“斜边、直角边”或“ ”）。 微拨炉：已知两边和一角判定三角形全等时，没有“SSA”定理，即不能错用成“两边及一边对角相等的两个三角形全等”。二、角的平分线1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 。 2.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在 。3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离 。 微拨炉：1.三角形的角平分线是一条线段，不是射线。2.角的平分线的性质定理和判定定理互为逆定理。注意分清题设和结论。高频考点1、全等三角形的判定与性质【范例】如图，在中，为延长线上一点，点在边上，且，连接、。（1）求证： （2）若，求的度数得分要领：判定全等三角形的基本思路1.已知两边：（1）找夹角（SAS）；（2）找直角（HL或SAS）；（3）找第三边（SSS）。2.已知两角：（1）找夹边（ASA）；（2）找一边（AAS）。3.已知一边一角：（1）边为角的对边，找一角（AAS）；（2）边为角的邻边找夹边角（ASA）；找边的对角（AAS）；找夹角边（SAS）【考题回放】1.如图，和相交于点，求证：。2.如图，已知：在和中，点在同一直线上，。求证：。3.已知，如图所示：，于点，于点，求证：。高频考点2、角平分线的性质与判定【范例】如图，是中的平分线，于点，则长是（ ）A.3 B.4 C.6 D.5得分要领：解答与角平分线有关的题目时常作的辅助线：1.过角平分线上一点向角两边作垂线，构造相等线段。2.过角平分线上一点，作与角的一边平行的直线，构造等腰三角形。3.过角平分线上一点，作角平分线的垂线，构造等腰三角形。4.遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形。【考题回放】1.如图，中，分别是其角平分线和中线，过点作于，交，连接，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 2.已知是的平分线，点在上，垂足分别为点，则的长度为 。3.如图，中，。（1）用尺规作图作边上的中垂线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）。（2）连接，求证：平分。高频考点3、尺规作图【范例】如图，已知线段及，只用直尺和圆规，求作，使，（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）。 得分要领：利用“尺规”作三角形的“五种类型”1.已知三角形的三边，求作三角形。2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形。3.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形。4.已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形。5.已知直角三角形的一直角边和斜边，求作三角形。【考题回放】1.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。已知；线段，。求作：，使，。2.如图，在中，先作的角平分线交于点，再以边上的一点为圆心，过两点作（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。3.如图，点在的边上，且。（1）作的平分线，交于点（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）。（2）在（1）的条件下，判断直线与直线的位置关系（不要求证明）。4.如图，在Rt中，。（1）用尺规在边上作一点，使（不写作法，保留作图痕迹）。（2）连接，当为 度时，平分。【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】已知，如图，点为射线，上的动点（点不与点重合），且，在的内部、的外部有一点，且，。（1）求的长。 （2）求证：点在的平分线上。解：（1）过点作于点。 在Rt中，设，则则有 解得： 即 （2）点在的平分线上【规避策略】1.理解定理的条件。在运用角的平分线的判定定理时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件，这是正确应用定理的前提。2.显现基本图形。通过作辅助线，显现出角的平分线定理的基本图形，为正确应用定理奠定基础。【实战演练】1.如图，在中，是高和的交点，则的长是（ ）A.4 B.6 C.8 D.9 第1题 第2题2.如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）A.1处 B.2处 C.3处 D.4处3.如图，在和中，请你添加一个条件，使得和全等，并加以证明。你添加的条件是 。4.在Rt中，cm，在上取一点，使，过点作交的延长线于点，若cm，则 cm。5.如图，的平分线与的平分线相交于点，作于点。若，则两平行线与间的距离为 。6.如图，Rt中，是边上一点，点分别是线段中点，连接。求证：。7.如图，在梯形中，对角线平分，的平分线交于分别是的中点。求证：。8.不再添加其他线段，如图，与中，与相交于点，请你添加一个条件，不再标注或使用其他字母，使，并给出证明。你添加的条件是： 。9.如图，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使并证明。（1）添加的条件是 。（2）证明你的结论。【限时小测】建议用时30分钟。总分50分一、选择题（每小题3分，共12分）1.如图，已知点在同一条直线上，要使，还需要添加一个条件是（ ）A. B. C. D.2.如图，已知中，点是高和的交点，则线段的长度为（ ）A.4 B.5 C. D. 3.如图，在Rt中，是的平分线，于点。cm，则的周长是（ ）A.10cm B.8cm C.12cm D.9cm 4.如图，在和中，点在边上，边交边于点。若，则等于（ ）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共12分）5.如图，要使，应添加的条件是 （添加一个条件即可）。 第5题 第6题6.如图，在Rt中，的平分线交于点，则的面积是 。7.点是内一点，且点