安培环路定理

1 0d SB S 内内 qSE S 0 1 d 磁场的高斯定理：磁场的高斯定理： 静电场的高斯定理：静电场的高斯定理： 性质性质1： 磁场是无源场磁场是无源场 性质性质1： 静电场是有源场静电场是有源场 2 L lE0d 静电场环路定理：静电场环路定理： 性质性质2： 静电场是保守场静电场是保守场 稳恒磁场：稳恒磁场： lB L d 类似的环路定理表达式类似的环路定理表达式？ 揭示出磁场具有怎样的性质揭示出磁场具有怎样的性质？ ? 3 一一. .安培环路定理的表述安培环路定理的表述 以无限长直电流的磁场为例分步验证以无限长直电流的磁场为例分步验证 Il r I l r I lB r LL 0 2 0 0 0 d 2 cos0d 2 d 在垂直于长直载流导线的平面内，取以导线与平面交在垂直于长直载流导线的平面内，取以导线与平面交 点点o o为圆心，为圆心，r r为半径的圆周路径为半径的圆周路径L L，其指向与电流成，其指向与电流成 右旋关系。右旋关系。 B I r o L a: 1、 11.4 11.4 安培环路定理安培环路定理 4 Il r I l r I lB r r L 0 2 0 0 2 0 0 d 2 cosd 2 d B I r o L b: 若电流反向（与包围电流的圆周路径成左旋若电流反向（与包围电流的圆周路径成左旋 ） 螺旋关系时螺旋关系时,电流为正电流为正;反之为负反之为负. 规定规定:当电流流向与积分路径的绕行方向成当电流流向与积分路径的绕行方向成 右手右手 IlB L 0 d 5 0)( 2 )dd( 2 ddd 0 21 0 21 I I lBlBlB LL LLL 闭合路径不包围电流闭合路径不包围电流d: I 2 L 1 L Q P 在垂直于导线平面内围绕电流的在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径任意闭合路径 B d l d r L I C: I I I r r I lBlB LLL 0 0 2 0 0 0 d 2 d 2 dcosd 若电流反向，则为 6 )ddd / lBlBlB LLL I L L Ld Ld Ld Ld O O 0 / dlB L 0 0I )(LI穿过 )(LI不穿过 L e:闭合回路闭合回路不在垂直于电流的平面内，不在垂直于电流的平面内， 任意形状的空间曲线任意形状的空间曲线 而是而是 7 )( 0 21 21 ddd d)(d 内L i LnLL nLL I lBlBlB lBBBlB f:推广推广: : 由磁场叠加原理由磁场叠加原理空间存在若干个闭合稳恒电流时，空间存在若干个闭合稳恒电流时， 任意形状的稳恒电流任意形状的稳恒电流 长直电流长直电流 8 2.表述：表述：稳恒磁场的安培环路定理稳恒磁场的安培环路定理 )( 0 d L iL IlB 穿过 稳恒磁场中，磁感应强度稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径沿任意闭合路径 L 的线的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与 真空磁导率的乘积。真空磁导率的乘积。 B 二二. .安培环路定理的安培环路定理的意义意义 2)2)反映了磁感应线与电流的互相套联。反映了磁感应线与电流的互相套联。 磁场是非保守场磁场是非保守场 1)1)表征了表征了 对任意闭合曲线的环流不恒等于零；对任意闭合曲线的环流不恒等于零；B 磁场是涡旋场磁场是涡旋场 9 0d S SB 无源场无源场 内内 qSE S 0 1 d 有源场有源场 高斯定理高斯定理 0d L lE 保守场、有势场保守场、有势场 ）（穿过（穿过 L i L IlB 0 d 环路定理环路定理比较比较 静电场静电场 稳恒稳恒 磁场磁场 非保守场、无势场非保守场、无势场 （涡旋场）（涡旋场） 10 正确理解安培环路定理需正确理解安培环路定理需注意的问题注意的问题. .上各点的上各点的应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产应是空间中所有闭合稳恒电流在该处产L B 生的生的的矢量和的矢量和B （类似高斯定理中的类似高斯定理中的） E 3安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场安培环路定理仅适用于闭合稳恒电流产生的磁场. 随时间变化的磁场随时间变化的磁场 一段电流的磁场一段电流的磁场 均不适用均不适用. . 螺旋关系螺旋关系时时,电流为正电流为正;反之为负反之为负. 2.规定规定:当电流流向与积分路径的绕行方向成当电流流向与积分路径的绕行方向成 右手右手 10 穿过穿过的电流：对的电流：对和和均有贡献均有贡献LB lB L d 不穿过不穿过的电流：对的电流：对上各点上各点有贡献；有贡献； 对对无贡献无贡献 B L L lB L d 11 321 )( IIII L i 穿过 IIII L i 23 )( 穿过 1 I L lB L d 4 I I L 例如：例如： 2 I 3 I 二二. .安培环路定理的应用安培环路定理的应用 12 由安培环路定理求解磁场由安培环路定理求解磁场 求解具有某些求解具有某些对称对称性分布的磁场性分布的磁场 求解具有某些求解具有某些对称对称分布的静电场分布的静电场 内 qSE s 0 1 d )( 0 d L iL IlB 穿过 求解条件：求解条件：电流分布电流分布( (磁场分布磁场分布) )具有某些对称性，具有某些对称性， 以便可以找到以便可以找到恰当恰当的安培环路的安培环路L，使，使能积能积 出，从而方便地求解出，从而方便地求解。 lB L d B 适用条件：适用条件：闭合稳恒电流的磁场闭合稳恒电流的磁场 13 o rP I R 在在平面内，作以平面内，作以为中心、半径为中心、半径的圆环的圆环， 上各点等价：上各点等价：大小相等，方向沿切向大小相等，方向沿切向 。 以以为安培环路，逆时针绕向为正为安培环路，逆时针绕向为正: : B L roI L L + + 对称性分析：对称性分析： dI I d r o P L 无限长均匀载流圆柱体无限长均匀载流圆柱体内外磁场内外磁场. . RI, 例一例一 B d dB L 14 内 IrBlB L0 2d dB B d dI I d r o PL L rr I B 1 2 0 外 :Rr II 内 :Rr 2 2 2 2 R Ir r R I I 内 r R Ir B 2 0 2 内 I方向与方向与指向满足右旋关系指向满足右旋关系B B oR r r 1 r 15 方向与方向与指向满足右旋关系指向满足右旋关系 外 B I B oR r 0 内 B r I B 2 0 外 无限长均匀载流直圆筒无限长均匀载流直圆筒 rB 思考：思考： 曲线？曲线？ 16 B 21 I M 例二例二 无限长直载流螺线管内磁场（无限长直载流螺线管内磁场（线密绕）线密绕）. . nI 单位长度上单位长度上 的匝数的匝数 螺距螺距 为零为零 解：解：对对称性分析称性分析 线密绕线密绕0 外 B 等价，等价， 无限长无限长：1 、2 面上对应点面上对应点 /轴任一直线上各点轴任一直线上各点B 大小相等，方向沿轴大小相等，方向沿轴 17 d B c ab 21 I a d d c c bL b a lBlBlBlBlB ddddd abBabB000 cos abnII 内 作矩形安培环路如图，作矩形安培环路如图， 规定：规定：+ + 18 d B c ab 21 I nIB 0 无限长直螺线管内为均匀磁场无限长直螺线管内为均匀磁场 管外磁场几乎为零管外磁场几乎为零 abnIabB 0 由由安培环路定律：安培环路定律： 19 例三例三 载流螺绕环的磁场分布（载流螺绕环的磁场分布（）I.N.R.R 21 1 R L I N L 2 R r r o r 对称性分析：对称性分析： 环上各点环上各点方向：方向： 切向切向B 同心圆环同心圆环大小相等的点的集合：大小相等的点的集合：B 取以取以中心中心, ,半径为半径为的圆环为安培环路的圆环为安培环路or + + 20 内 IrBlB L0 2d r 1 r 1 Ro B 2 R 0 外 B: , 21 RrRr0 内 I : 21 RrR r NI B 2 0 内 NII 内 1 R L I N L 2 R r r o r 若环平均半径大而孔径小若环平均半径大而孔径小 0 BnI 内 21 B 求：求：分布分布 解一解一. . 用叠加原理用叠加原理 xjIdd r I B 2 d d 0 z z x o j Id B d dI dB r r 练习：练习： 无限大导体平板在无限大导体平板在 xy y 电流沿电流沿 平面内平面内, 密度密度 方向，线方向，线j(x方 方向单位长度上的电流向单位长度上的电流)。 由对称性：由对称性：0d zz BB x BBd r z r xj B 2 d cosd 0 22 0 d 2zx xzj z x z zj arctg 1 2 0 2 0 j 22 解二解二. . 用安培环路定理用安培环路定理 jllBlB L 0 2d 2 0 j B 得：得： 由：由： z xj L 选如图安培环路选如图安培环路 在对称性分析的基础上在对称性分析的基础上 l 23 如图有两块面积很大如图有两块面积很大,彼此相距很近的金属薄板彼此相距很近的金属薄板, 两板上都有均匀分布的电流流过两板上都有均匀分布的电流流过,但电流的流向相反但电流的流向相反. 单位长度的电流密度为单位长度的电流密度为j ，则，则 磁感应强度磁感应强度 jB 0 0B 板外板外 II 板间板间 练习练习: 24 例五：例五： 半径半径的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一个 半径为半径为的圆柱形空腔：的圆柱形空腔：，电流，电流在截面在截面 内均匀分布，方向平行于轴线，求：内均匀分布，方向平行于轴线，求： door R I R r d I p oo 部分电流与原柱体部分的部分电流与原柱体部分的 电流电流构成实心圆柱电流构成实心圆柱电流， 方向：方向： 1 I I 用补偿法用补偿法 . 解：解： 即在空心部分中补上与实体即在空心部分中补上与实体 具有相同的电流密度的电流具有相同的电流密度的电流 和和 这等价于原来的空心部分。这等价于原来的空心部分。 1. 圆柱轴线上磁感应强度圆柱轴线上磁感应强度 o B 25 原磁场为：原磁场为： 21 BBB 电流密度电流密度 22 rR I j 2 1 RjI 2 2 rjI 电流电流 d I BO 2 20 2 对圆柱轴线上任一点对圆柱轴线上任一点,由安培环路定理：由安培环路定理： 0 1 O B )(2 22 2 0 21 rRd Ir BBB ooo R r d I p oo 原电流分布等效于：原电流分布等效于： 实心圆柱电流实心