圆的综合解题技巧

龙文数学圆的综合解题技巧圆中的分类讨论：例1.在半径为1的O中，弦AB，AC的长分别是和，求BAC的度数。例2.，是O的两条切线，分别是切点，点是弧AB上任意一点，连结， ，求的度数 巩固练习：1.已知：AB、CD为O的两条弦，且ABCD，O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD之间的距离.2O的直径AB=2cm，过A点有弦AC=,AD=.求CAD所夹的圆内部分的面积。3.已知PA、PB是O的切线，A、B是切点，APB780，点C是O上异于A、B的任一点，则ACB 。4.如图，底面半径为的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（） 或或 5题图4题图5. 在半径为的O中，弦的长为，则AOB的度数是多少？若点C为圆上任意一点， 则ACB的度数是多少？6ABC中,AB=4cm，AC=cm,若以A为圆心，2cm为半径的圆与直线BC相切，则BAC 圆中的证明：例1.如图，已知等边ABC，一边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E.过点D作DFAC，垂足为点F.（1）判断DF与O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FHBC，垂足为点H.若等边ABC的边长为4，求FH的长（结果保留根号）.例2. 如图，已知与是等圆，它们相交于A、B两点，在上，AC是的直径，直线CB交于D，E为AB延长线上一点，连接DE.O1 O1 D E C B （1）请你连接AD，证明：AD是的直径； （2）若E600，求证：DE是的切线.A D C O E B G F 例3.如图，割线ABC与O相交于B、C两点，D为O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于点F，DE交AC于G，ADGAGD.(1)求证：AD是O的切线；（2）若AB=2,AD=4,BC=6,EG=2，求O的半径.巩固练习：A B C D E 1. 如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是O的切线。2 (2006江西)如图，是O的直径，是弦，于，交于（1）请写出四个不同类型的正确结论；（2）连结，设，试找出与之间的一种关系式，并给予证明3.如图，线段AB经过圆心O，交O于A、C两点，点D在O上，AB30.（1）求证：BD是O的切线；（2）若点N在O上，且DNAB，垂足为M， NC=10，求AD的长4.如图,AB是O的直径,CB、CE分别切O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E,连结OC、OD（1）求证：OBCODC；（2）已知DE=a，AE=b，BC=c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算O半径r的一种方案：你选用的已知数是 ； 写出求解过程（结果用字母表示） 5 （2006淮安课改）阅读材料：如图（一），的周长为，内切圆的半径为，连结，被划分为三个小三角形，用表示的面积图（一）又，（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆）且面积为，各边长分别为，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个边形（为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为，各边长分别为，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）6（天津）已知RtABC中，ACB90，AC6，BC8。（）如图，若半径为r1的O1是RtABC的内切圆，求r1；图图图（）如图，若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2；（）如图，当n大于2的正整数时，若半径rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、BC相切，On与BC、AB相切，O1、O2、O3、On1均与AB边相切，求rn.7（07山东滨州）如图12-1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置若不能，请说明理由（2）当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围图12-2（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与O的位置关系，并证明你的结论图12-1圆中的方案设计：例1.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 （3）当O的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由 ABC例2在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料，如图示。现取其中的一种，测得C=90，AC=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其它边相切。请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形的半径)巩固练习：1.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）图（1）需要的材料多 图（2）需要的材料多图（1）、图（2）需要的材料一样多 无法确定图（1）图（2） 2在相距的两个城镇之间，有一近似圆形的湖泊，其半径为，圆心恰好位于 连线的中点处现要绕过湖泊从城到城，假设除湖泊外，所有的地方均可行走，如路线：线段AC弧CD线段，其中在直线上请你找出最短的行走路线，并求出这条路线的长度3、如图，一块直角三角板形状的木板于料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木版制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大.BAC(1)请你试着用直尺和圆规画出此圆(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法).(2)若此R tABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积.4.李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘（图1），鱼塘四个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）（1）若按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面积；（2）若按正方形设计，利用图2画出你所设计的正方形鱼塘示意图；（3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？（4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？ABDC图1ABDC图2运动与圆例1. 两个半径为r的等圆,外切于点P，将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边的一边PA与相交与A，另一边PB与相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切）.此时线段AB的长与半径之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论. . P A B 例2. 在矩形ABCD中，AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动。设时间为t(s)（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？（2）如图，如果P和Q的半径都为2cm，那么t为何值时，P和Q外切？ABCD.PQ.ABCD.PQ.巩固练习：1. 已知：如图，AB是O的一条弦，点C为弧AB的中点，CD是O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交O于点F.(1)判断图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论；(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化，请你在下面两个备用图中分别画出l在不同位置时，使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给予证明.2.如图1，在等腰梯形中， 点从开始沿边向以3s的速度移动，点从 开始沿CD边向D以1 s的速度移动，如果点 、分别从、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为。（1）为何值时，四边形是平行四边形？（2）如图2，如果和的半径都是2，那么，为何值时，和Q外切？圆与函数例1如图，某运动员从半圆跑道的点出发沿弧AB匀速前进到达终点，若以时间为自变量，扇形的面积为函数的图象大致是（） 例2. 如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的O的半径为，直线：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），B与x轴相交于点M.(1)求点A的坐标及CAO的度数；（2）B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线绕点A顺时针匀速旋转.当B第一次与O相切时，直线也恰好与B第一次相切.问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？y x B M O A C 图1 A C O E y x 图2 （3）如图2，过点A、O、C三点做，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA，EO，当点E在劣弧AO上运动时（ 不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由.巩固练习：1已知：如图10-1，D交y轴于点A、B，交x轴于点C，过点C的直线与y轴交于点P. （1）试判断直线PC与D的位置关系；C P D(0,1) B O A x y （2）判断直线PC上是否存在点E，使得，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.圆中的计算：例1一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）(A)9 (B)18 (C)27 (D)39例2如图，在ABC 中，BC 4，以点A为圆心、2为半径的A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC于F，点P是A上的一点，且EPF40，则图中阴影部分的面积是（ ）例3题图例3如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，ADBC，AC平分BCD，ADC120，四边形ABCD的周长为10。求此圆的半径；求图中阴影部分的面积。练习1.如图，已知，是的中点，O与相切于点，与相切于点，设O交于，连并延长交的延长线于（1）与是否相等？为什么？（2）求由，和弧所围成图形的面积（阴影部分）2已知：MAN=30，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作O，交AN于D、E两点，设AD=，如图当取何值时，O与AM相切；如图当为何值时，O与AM相交于B、C两点，且BOC=90MANEDBCO第25题图（2）MANEDO第25题图（1） 3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观