第十八章平行四边形专题复习复习

第十八章 平行四边形复习一、归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等;4、两组对角分别相等；5、两条对角线互相平分.1、有三个角是直角的四边形;2、有一个角是直角的平行四边形;3、对角线相等的平行四边形.1、四边相等的四边形；2、对角线互相垂直的平行四边形；3、有一组邻边相等的平行四边形。4、两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形。1、有一个角是直角的菱形；2、对角线相等的菱形；3、有一组邻边相等的矩形；4、对角线互相垂直的矩形；对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=；S= ahS= a22、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（） A对角线相等 B. 对角线平分一组对角 C对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（） A对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ ） A正方形B菱形C矩形 D平行四边形（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角和为3600问：菱形的对角线一定不相等吗？（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（） A. 内角为3600 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？3、集合表示，突出关系二、查漏补缺，讲练结合1、如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是【 】2.平行四边形ABCD中, A:B:C:D的值可以是( )A. 4:3:3:4 B. 7:5:5:7 C. 4:3:2:1 D. 7:5:7:53如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC8，BD6，则四边形EFGH的面积为_ _4如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（2，5），B（3，1），C（1，1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，2），B（3，1），则C点坐标为_ . 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点AC的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 7在四边形ABCD中，ADBC，分别添加下列条件之一：ABCD；ABCD；AC；BC.能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是_ _8如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，EBC的平分线交CD于点F，将DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上点M处，延长BC，EF交于点N，有下列四个结论：DFCF；BFEN；BEN是等边三角形；SBEF3SDEF，其中正确的结论是()A B C D 9已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PMPN的最小值是_ _10、如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于_ 11、如图，将ABCD的边AB延长到点E，使BEAB，连接DE，交边BC于点F.(1)求证：BEFCDF；(2)连接BD，CE，若BFD2A，求证：四边形BECD是矩形解：(1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.BEAB，BECD.ABCD，BEFCDF，EBFDCF，BEFCDF(ASA)(2)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ADCB，ABBE，CDEB，四边形BECD是平行四边形，BFCF，EFDF，BFD2A，BFD2DCF，DCFFDC，DFCF，DEBC，四边形BECD是矩形12在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），且四边形ABCD为正方形，若直线l：y=kx+4与线段BC有交点，则k的取值范围是（）AkBkCk1Dk13、如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q.(1)如图，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想解：(1)PBPQ.证明：连接PD，四边形ABCD是正方形，ACBACD，BCD90，BCCD，又PCPC，DCPBCP(SAS)，PDPB，PBCPDC，PBCPQC180，PQDPQC180，PBCPQD，PDCPQD，PQPD，PBPQ(2)PBPQ.证明：连接PD，同(1)可证DCPBCP，PDPB，PBCPDC，PBCQ，PDCQ，PDPQ，PBPQ13、如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)求证：AEFDEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC4，AB5，求菱形ADCF的面积解：(1)由AAS易证AFEDBE(2)由(1)知，AEFDEB，则AFDB，DBDC，AFCD，AFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，ADDCBC，四边形ADCF是菱形(3)连接DF，由(2)知AF綊BD，四边形ABDF是平行四边形，DFAB5，S菱形ADCFACDF451014、求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。15（本题10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使EFD=BCD，并说明理由16、 如图，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF，请回答下列问题，并说明理由 （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在提示：（1）DBEABC，得DB=AB=EF=AD，DE=AC=FC=FA，即DE=FA，DA=FE得ADEF，（2）当BAC=150时是矩形，（3）由BDEABC知，BDE=BACBAC=BDE=60+ADE，当ADE=0时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，此时BAC=6017、(2014北京中考)在正方形 ABCD外侧作直线 AP,点B 关于直线 AP 的对称点为E,连接BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点F.(1)依题意补全图(1);(2)若PAB=20,求ADF的度数;(3)如图(2),若45PAB90,用等式表示线段 AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.解析对于(1),按照要求作出图形即可;对于(2),由四边形ABCD为正方形可得AB=AD,结合轴对称的性质,连接AE,得到两个等腰三角形ABE和ADE,进而使问题获解;对于(3),可以在(2)的基础上,进一步寻找线索,其中EF与FD都与点F有关,围绕这个关键点,结合轴对称的性质,连接BF,可得BFD是直角,最后根据勾股定理求解.解:(1)如图(1)所示.(2)如图(2),连接AE,点E是点B关于直线PA的对称点,PAB=PAE,AE=AB.PAB=20,PAE=20,BAE=40.四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,EAD=BAE+BAD=130,ADF=AED=(180-EAD)=25.(3)如图,连接AE,BF,BD,设BF与AD的交点为点G.由轴对称知FE=FB,AE=AB,又AF=AF,AEFABF,ABF=AEF.四边形ABCD是正方形,AB=AD,BAD=90,AE=AD,AEF=ADF,ABF=ADF,AGB=DGF,DFG=BAG=90.在RtABD中,AB2+AD2=BD2,2AB2=BD2.在RtBFD中,BF2+FD2=BD2,EF2+FD2=BD2,EF2+FD2=2AB2.【针对训练6】如图所示,一根长为2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.解析(1)木棍滑动的过程中,点P到点O的距离不会变化.根据是在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;(2)当AOB的斜边上的高等于中线OP时,AOB的面积最大,再求解.解:(1)不变.理由如下:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,斜边AB不变,斜边上的中线OP不变.(2)当AOB的斜边上的高等于中线OP时,即AOB为等腰直角三角形时,面积最大,理由如下:如图,设高为h,若h与OP不相等,则总有hOP,AB长度不变,根据三角形的面积公式,有h与OP相等时,AOB的面积最大,此时,SAOB= ABh=2aa=a2.AOB的最大面积为a2.解题策略此题利用了在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,理解AOB的面积在什么情况下最大是解决本题的关键.专题七折叠问题【专题分析】折叠问题,由于四边形中的每一个知识点都可以涉及,且经常与三角形全等,等腰三角形,等边三角形,直角三角形等知识综合,因此可以以选择题、填空题或解答题的形式出现.(2014临沂中考)对一张矩形纸片ABCD进行折叠,具体操作如下:第一步:先对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,展开;第二步:再一次折叠,使点A落在MN上的点A处,并使折痕经过点B,得到折痕BE,同时,得到线段BA,EA,如图(1);第三步:再沿EA所在的直线折叠,点B落在AD上的点B处,得到折痕EF,同时得到线段BF,展开,如图(2).(1)求证ABE=30;(2)求证四边形BFBE为菱形.解析(1)根据点M是AB的中点判断出A是EF的中点,然后判断出BA垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=BF,再根据等腰三角形三线合一的性质可得ABE=ABF,根据翻折的性质可得ABE=ABE,然后根据矩形的四个角都是直角计算即可得证;(2)根据翻折变换的性质可得BE=BE,BF=BF,然后得出BE=BE=BF=BF,再根据四条边都相等的四边形是菱形证明.证明:(1)对折后AD与BC重合,折痕是MN,点M是AB的中点,从而可知A是EF的中点,BAE=A=90,BA垂直平分EF,BE=BF,ABE=ABF,由翻折的性质,得ABE=ABE,ABE=ABE=ABF,ABE=90=30.(2)沿EA所在的直线折叠,点B落在AD上的点B处,BE=BE,BF=BF,BE=BF,BE=BE=BF=BF,四边形BFBE为菱形.思维模式解答折叠问题的一般思路:分清折叠前后的对应边、对应角、对称轴,利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角,再进行相关的计算或证明.【针对训练7】矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把B沿AE折叠,使点B落在点B处,当CEB为直角三角形时,求BE的长.解:(1)点B落在AD上时,BEC=90.四边形ABCD是矩形,BAD=B=90,ADBC,由折叠可知ABE=B=90,AB=AB,可知四边形ABEB为正方形,BE