线性分组码-习题

信息论与编码理论1. 已知一个(5, 3)线性码C的生成矩阵为：（1）求系统生成矩阵；（2）列出C的信息位与系统码字的映射关系；（3）求其最小Hamming距离，并说明其检错、纠错能力；（4）求校验矩阵H；（5）列出译码表，求收到r=11101时的译码步骤与译码结果。解：（1）线性码C的生成矩阵经如下行变换：得到线性码C的系统生成矩阵为（2）码字的编码函数为生成了的8个码字如下信息元系统码字0000000000100111010010100110110110010011101101001101100111111110(3) 最小汉明距离d=2，所以可检1个错，但不能纠错。(4) 由，得校验矩阵(5) 消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs 得码字序列c0=00000, c1=00111,c2=01010, c3=01101,c4=10011, c5=10100,c6=11001, c7=11110则译码表如下：0000000111010100110110011101001100111110100001011111010111010001100100010010111001000011110001000101110111110010001101100000100110010110110010010101011100011111当接收到r =(11101)时，查找码表发现它所在的列的子集头为(01101)，所以将它译为c=01101。2设（7, 3）线性码的生成矩阵如下（1）求系统生成矩阵；（2）求校验矩阵；（3）求最小汉明距离；（4）列出伴随式表。解：（1）生成矩阵G经如下行变换得到系统生成矩阵：（2）由，得校验矩阵为（3）由于校验矩阵H的任意两列线性无关，3列则线性相关，所以最小汉明距离d=3。（4）（7, 3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs 得码字序列：c0=，c1=，c2=，c3=，c4=，c5=，c6=，c7=。又因伴随式有24=16种组合，差错图样为1的有，差错图样为2的有，而由，则计算陪集首的伴随式，构造伴随表如下：伴随式陪集首伴随式陪集首00000101110110011010111101111100100011100100101100100011000101103已知一个(6, 3)线性码C的生成矩阵为：（1） 写出它所对应的监督矩阵H；（2） 求消息M=(101)的码字；（3） 若收到码字为，计算伴随式，并求最有可能的发送码字。解：（1）线性码C的生成矩阵G就是其系统生成矩阵GS，所以其监督矩阵H直接得出：（2）消息M=(m0,m1,m2)=(101)，则码字c为：（3）收到码字r=()，则伴随式又（6, 3）线性码的消息序列m=000,001,010,011,100,101,110,111，由c=mGs 得码字序列：c0=，c1=，c2=，c3=，c4=，c5=，c6=，c7=。伴随式有23=8种情况，则计算伴随式得到伴随表如下：伴随式陪集首000101011110100010001111伴随式（001）对应陪集首为（），而c=r+e，则由收到的码字r=()，最有可能发送的码字c为：c=（）。4设(6, 3)线性码的信息元序列为x1x2x3，它满足如下监督方程组（1）求校验矩阵，并校验10110是否为一个码字； （2）求生成矩阵，并由信息码元序列101生成一个码字。解：（1）由监督方程直接得监督矩阵即校验矩阵为：因为收到的序列10