椭圆中三角形

椭圆中三角形(四边形)面积最值求解策略最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本文举列探求椭圆中三角形(四边形)面积最值问题的求解策略一 利用椭圆的几何性质(对称性、取值范围等) 例1 已知椭圆的右焦点是F（c,0），过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点，求三角形ABF面积的最大值。分析:将三角形ABF的面积分割成两个三角形的面积之和，并表示成关于点A的坐标的函数，然后利用椭圆的取值范围求解解析:因为直线过原点，由椭圆的对称性知，A,B两点关于原点对称，设点A（x0,y0）(y00), 设三角形ABF的面积为S，则S=SAOF+ SBOF=2SAOF=cy0,00)与椭圆相交于B,D两点，求四边形ABCD面积的最大值 分析:将四边形ABCD的面积分割成几个三角形的面积之和，并表示成关于k或者点B的坐标的函数，再求函数的最大值。解析:因为点A(2，0)，C(0,1)是椭圆的两个顶点，所以椭圆的方程是，由椭圆的对称性知，点B,D关于原点对称，设点B（x0,y0）(x00),则，即。设四边形ABCD的面积为S，则S=SABD+ SBCD=2SAOB+2SCOB=|0A|y0+|0C|x0=2y0+x0.法一:可设x0=2cos,y0=sin,S=2y0+x0=2sin+2cos=2sin(+450)2,当且仅当=450时取等号。故四边形ABCD面积的最大值是2。法二: S=2y0+x0=2，当且仅当2y0=x0=时取等号。故四边形ABCD面积的最大值是2。点评: 将四边形ABCD的面积表示成关于点B的坐标（x0,y0）的二元函数，再利用基本不等式或参数求最大值，是本题的解题技巧，若将四边形ABCD的面积表示成关于k的函数，则运算量要大许多。三 巧设直线方程，简化运算 例3 已知椭圆C: ，若经过椭圆右焦点F2作直线交椭圆于A,B两点，求面积的最大值。分析: 直线过x轴上的一点，故可设直线方程为可简化讨论和运算，不会出错，认真领会。解 :设直线AB的方程为把代入得显然设A，B则又因为，=48令则由于函数在上单调递增，所以故即故面积的最大值等于3.点评:解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法，换元法等。四 构造关于k的函数求最值 例4 过点P(3,0)的直线与椭圆相交于不同的两点E,F，求OEF（O为坐标原点）面积的最大值.分析:将OEF的面积分割成两个三角形的面积之差，并表示成关于k的函数，然后利用换元法、配方法求最大值。解析:显然直线的斜率存在，设直线方程为:y=k(x-3)(k0)代入消去y整理得(k2+3)x2-6k2x+9k2-3=0,36k4-4(k2+3) (9k2-3)0,得0k20是直线与椭圆相交于不同两点的充要条件，任何时候不能忘，求k取值范围不能忽视。五 构造关于b的函数求最值 例5 已知椭圆，过椭圆上的点P(1,)作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点。（1）求证直线AB的斜率为定值（2）求面积的最大值。分析:利用(1)结论以b为变量构造函数，用弦长和点到直线距离求面积。解析:（1）略（2）由(1)可设直线AB的方程为:y=x+b代入得4x2+2bx+b2-4=0,b28. 设A，B, AB|=,点P到直线AB的距离d=,=,当且仅当b=2时取等号,所以面积的最大值是。点评:本题综合考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线距离公式，三角形面积求法等知识，六 利用垂直关系求四边形面积最值 例6 P,Q,M,N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知=，=，且=0，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值。分析:利用垂直关系建立面积关于k的函数，然后运用单调性求最值解析:由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且PQMN,直线PQ,MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F(0，1)，故PQ方程为y=kx+1.代入椭圆中得(2+k2)x2+2kx-1=0, 设P，Q则|PQ|=当k0时，MN的斜率为-，用-代换k可推得|MN|=，故四边形面积S=|PQ|MN|=，令u=k2+,得S=，因为u=k2+2，当k=1时，u=2,S=且S是以u为自变量的增函数，所以S0.x1+x2=4k, x1x2=-4,由x2=4y，得y=x2, =x, 直线AM的斜率为kAM=x1. 直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又x12=4y1, 直线AM的方程为x1x=2(y+y1)同理，直线BM的方程为x2x=2(y+y2)由-并据x1x2，得，点M的横坐标x=( x1+x2).即A,M,B三点的横坐标成等差数列。（2）由易得y=-1, 点M的坐标为(2k,-1) (k0). kMF=,则直线MF的方程为y=x+1,又|AB|=4(