小格子大智慧

小学数学论文小格子 大智慧浅谈数学教学中格子图的运用【内容摘要】文章根据格子图在教学中的使用现状，分析格子图在教材体系中的编排与分布，剖析格子图的外在特征和内在本质。论述了格子图在教学中的具体运用，数格子自然建构思想方法；摆格子无痕链接操作与概念；画格子，无形融合算理与图形；算格子无缝对接经典与创新。最后，文章列举了格子图在教学中的三个注意点，以期完美使用格子图，提升教法学法，真正发展思维。【关键词】 小学数学 方格图 教学 操作 直观 同学们认为数格子是笨方法，对这种方法不屑一顾，甚至老师们也是这样认为。但教材在很多课中都编写了数方格，如认识面积，平移和旋转，平面图形的面积，分数乘除法等。都对格子图的编写不离不弃，专家们编写教材时都经过深思熟虑，反复推敲。数方格的出现意味着与课程内容有着内延外显的关系。然而，笔者在以往的教学时，忽视了方格图的运用，直到听了特级教师袁晓萍老师的“平行四边形的面积”一课 ，一系列精心设计的数方格活动，让学生自然而然想到了剪、移、拼成长方形的方法。让笔者对“数方格”有了全新的认识，也引发了笔者对方格图在现行教学中运用的探究。一、教材体系中方格图的地位及探究（一）教材中方格图的编排与分布纵观小学数学整个教材体系，方格图的应用占据了“空间与图形”领域的半壁江山,格子图在每个年级的教材中都有编排，并通过不同形式来呈现。这种呈现在遵循学生的认知特点、认知规律，符合课程特点的前提下，体现出循序渐进、螺旋上升的设计理念。现将方格图在教材体系中的分布梳理如下： 从一年级的“位置”中的实物图、初步感知方格图的最初实物模型，到二年级的“图形与变换”和“观察物体”中学习轴对称，平移的重要载体；再到三年级中依托方格图感受四边形中“平行”“相等”这些概念；再到四年级方格图和点子图的比较呈现，为学生提供了更大的想象空间，在五年级则成了测量的重要依据，最后到六年级的“数对”，感受数对与位置的对应关系。（二）教材中方格图的剖析与定位 正方形，是由点、线构成的面，如果说点、线是一维的，那么面就是二维的。方格图就是由很多边长相等的小正方形组成的，它兼具了一维、二维的特性。从一维角度看，方格图上的点、线，蕴含许多特性，规律已经相互关系，很容易与其它内容结合。从二维角度看，小方格是单位面积的量，是整个方格图的基础，面积教学的最初就是依托小正方形来数出更大面积的平面图形，这对后续的面积教学都有着非常重要的作用。1.提供计算工具单位面积的小方格，由于边长一定，学生很容易看出线段的长度，比较线段间的长短，方格图作为测量标准，有利于学生发现和归纳计算方法，更为学生理解和感受长短、面积单位、面积单位的个数之间的联系起到了重要的作用。2.建立方位概念 方位就是各方向的位置。四方位指东南西北，相对方位指前后左右上下。数学中“方位”概念的建立，是空间与图形领域的重要目标。低年级的实物图，是格子图最初的实物体现，学生通过这熟悉的素材建立“前后左右”相对方位；中段位置与方向大量出现的“参照轴”，可以看成是简化的平面直角坐标系；出现在地图上的经纬线，更是格子图的变式。通过格子图这一载体，让理解方位更加具体，到位，更有利于学生方位概念的建立。3.凸显点线关系方格图上的点与点、线与线之间都有其特性。点点之间的距离都是边长的倍数，线线之间关系更是特殊，一种是互相平行，另一种是互相垂直。学生最喜欢这种横平竖直的参照，将图形置于方格图中，凸显了点和线的位置与特点，从而发现规律，得出特性。可以说，方格图是空间与图形教学的重要载体。4.渗透对应思想在六年级用数对确定位置这一课，教材编写了带横向、纵向数据的网格图。其实，这是对初中知识的一种渗透，为今后学习平面直角坐标系做孕伏。从整体上看，纵横交错的网格上的点是纵向和横向唯一的交点。在图中，用一对有序数来表示一个点的位置，帮助学生感受数对与位置的一一对应关系，渗透函数思想，提升空间观念。二、格子图在教学中的运用1.数格子，思想与方法的自然建构 “平行四边形的面积”这一内容，在面积计算公式推导之前有一个“数方格”的活动，许多老师对这一活动都只是轻描淡写地带过了，对后续的自主探究没有起到实质性的引领作用。笔者在小学数学课堂教学展示课上观摩了袁晓萍老师上这个内容的课，教者让一张小小的方格纸（亦称为单位面积卡）发挥了奇妙的作用，让“数方格”这一活动平淡中见神奇，朴实中见丰盈，“数”出了别样的精彩。【“平行四边形的面积”教学片断：】课前板书：平行四边形一、 引入新课师：今天这节课，我们一起学习平行四边形，想一想有关平行四边形的知识。二、 用格子图探究面积A、 初次数方格1、师：如果一个小方格表示1，平行四边形里有几格？画一画、数一数、标一标平行四边形有几格？（生尝试，师巡视指导）2、汇报展示1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 161 2 3 4 5 6 7 8 91011 12 13 14 1516 17 18 19 20生1： 生2： 师：你是怎么数的？生1：我是先数整格的，有20格，再把上下不到一格的两个两个拼起来数的，也是4格。生2：（用箭头符号表示拼的过程）左右两边的正好拼起来是一个格子，这样两个两个地可以拼成8个方格，再加上占整个的有20个方格，我这样一共数出24个方格。生3：把左边的三角形移到右边(并用同一个数字表示左右相对应的方格)，拼成长方形后再数一数是24个平方厘米。（解读：教师设计数出方格纸上的平行四边形的环节，数的过程中，学生遇到问题：不满一格怎么办？并促使学生思考：如何把不满一格转化成满格？这时，老师适时鼓励学生用笔画一画，将平行四边形的转化成长方形这种剪拼方法呼之欲出，大部分同学已自己得出方法）B、再次数方格1、师：谁能用拼的方法来数出它的面积。但是要注意，拼的次数越少就越能显示出你的水平高。（解读：学生思维层次不同、空间想象水平有差异，拼的次数肯定有多有少，第二次拼，教师指向明确，就是要拼的次数越少水平越高，这里的活动具有挑战性，成功激发了学生的战斗力，尽显方格魔力）2、电脑演示数方格的方法袁老师在平行四边形的面积一课中，巧妙的运用一系列的数格子活动，让学生自然而然的想到了剪、移、拼成长方形的方法，自己发现平行四边形的面积是底乘高，潜移默化地接受了“转化”这一重要的数学思想，教学设计真是妙不可言！2.摆格子，概念与操作的无痕链接一直以来，“公因数”教学，往往以抽象、单调、乏味困扰教师。赋予“公因数”图形的意义，既丰富了概念，丰盈了教学，又让学生通过数形结合加深理解。在“公因数”教学中运用格子图，让动手操作与概念理解无痕链接。【“公因数”教学片断：】1、 分别用边长9厘米和4厘米的正方形纸片铺右边的长方形，能正好铺满吗？ 12厘米 9厘米 4厘米 18厘米（1） 学生操作，交流验证。（投影学生作品） 边长9厘米 边长4厘米 12厘米 12厘米 18厘米 18厘米（2） 想一想：为什么有的边可以正好铺满？生：9能整除18,9是18的因数。而9不是12的因数。2、 怎样的正方形才能正好铺满这个长方形?边长6厘米 12厘米 18厘米师板书：6既是18的因数，又是12的因数。6是18和12的公因数。3、边长3厘米、2厘米、1厘米的正方形呢？能否正好铺满这个长方形？请在脑中描绘，并用语言表达。同理讲授。多样的素材，真正丰富了学生的感知；精心的设计，真正让学生自主建构起“公因数”的概念，并帮助学生初步理解“正好铺满”的本质意义。设计操作格子图活动，组织学生展示自己的思考过程，逐步完善对概念的理解，无痕地实现对“公因数”概念的建构。3.画格子，算理与图形的无形融合 算理往往是抽象的，如何让学生理解算理呢？数形结合的方法很实用，高年级的学生也需要图形的直观帮助他们拓展思维、以形促思、以形助数。单单教学“连除应用题”的计算与算理是枯燥的，将算理与画格子结合在一起，通过图形演绎加深、提升学生对算理的理解。【“连除应用题”教学片断：】例题：有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？3023，学生画了下图： 先平均分成2份，再将其中1份平均分成3小份。3032，学生画了下图：先平均分成3份，再将其中1份平均分成2小份。30（32），学生画了下图： 先平均分成6份，再表示出其中的1份。教师要求学生借助长方形表示思路的方法。因为长方形是二维的，通过二维图中的表达，让学生很容易表达出小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。很显然，学生通过画一画的操作，借助图形语言，借助已学过的除法知识，解决了连除应用题的问题，从而理解了连除的意义。联系分数除法的意义，我们会发现分数除法的算理也可以用以上画格子的方法体现，两者是想通的。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考路径形象地外显了，非常直观，宜于学生理解。4.算格子，经典与创新的无缝对接多年来“割圆成方”已经成为大家公认的推导圆面积公式的经典处理方式。但经典也容易让人墨守成规，打破经典需要创新和勇气，而实践又能完善创新。运用数方格“估算圆面积”这一环节，不仅能知道面积大约是多少，而且对探索面积公式有启发作用。，只要数出4分之1圆的面积，再乘4 就得到整个圆的面积。【“圆的面积”教学片断：】先数出空白部分的面积，空白部分可以看成是1、2、3、4 四个部分，1 和2 合成1 格，3和4 合成1格，这样空白部分面积大约为31=3（平方厘米），圆的面积大约为44-3=13，圆的面积大约是134=52（平方厘米），圆的面积大约是半径平方的5242=3.25。通过这样对教材的再加工，变要学生数方格为学生需要数方格来验证猜想，回答了为什么教材打破经典增加估算圆面积的困惑。同时也与圆的周长的研究相互呼应，让学生对圆的周长与直径（半径）、面积与半径平方之间的函数关系也有了更深刻形象的理解。 三、格子图在教学中的注意点格子图作为单位面积的规则正方形格子，得到老师和同学们的青睐，在教学、练习过程中也大量的使用。尽管方格图有直观，清晰，单位面积一定，便于数数比较等优点，但需要注意恰当运用，切记不要事倍功半。1.注意适配内容 虽然有些课的内容使用格子图能得到事半功倍的作用，这些内容往往都与方格有紧密的联系。面积教学有单位面积量的需求；平移旋转有对垂直线段、单位刻度的需要；公因数、连除、分数乘除法有长方形面积长乘宽两个数相乘的呈现。但是更多的内容很难与格子图适配，如概念教学、计算教学。因此，教者要分析教材、课题内容，选择最适合的素材，不能为了使用而使用。2.注意适度操作格子图用于数形结合时所花的时间相对较少，但用于操作时，耗时较大，影响教学进度。如平行四边形的面积，大多是教师引导学生转化得出面积方法，而格子图则需大量时间用来操作。由此，需要教者的精密设计，适度操作，才更能让格子图散发光彩。3.注意适时提升小学生的思维正由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。俗话说，数学是思维的体操，数学学习的最终目标是锻炼思维，发展思维，提升思维。不管是数格子，摆格子，算格子还是画格子，都应以落实内容，思维提升为前提。使用格子图这种直观的图形，也应注意是否提高教法，升华学法，提升思维。正确使用格子图，能起到事半功倍的作用，通过直观的手段帮助学生学习几何初步知识，乃至数与代数知识。凸显了空间与图形的显现特征，赋予了数与代数直观意义，渗透了中学的函数思想。但直观呈现也需要提升，具体到抽象、模糊到清晰是必然的过渡，这个过程使得空间想象力得到充分有序的训练，空间观念的提升必然落到