特征值与特征向量.ppt

主要内容,定义,7.3特征值与特征向量,几何意义,求法,举例,特征子空间,性质,一、定义,我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基,之后，线性变换就可以用矩阵来表示.,为了利用矩,阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我,们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形,式.,从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择,基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简,单形式.,为了这个目的，先介绍特征值和特征向量,的概念.,定义7.3.1设A是数域P上线性空间V的一个,线性变换，如果对于数域P中一个数0，存在一,个非零向量，使得,A=0.,那么0称为A的一个特征值，而称为A的属,于特征值0的一个特征向量.,这里需要注意，特征值0是数域P中的数量,特征向量是非零向量.,显然，零向量对任意的0,都满足A=0，因此这不具有“特征”意义.,二、几何意义,在几何向量空间R2和R3中，线性变换A的,特征值与特征向量的几何意义是：,特征向量(起,点在坐标原点)与其像A同向(或反向)，同向时，,特征值00，反向时，00，且0的绝对值等,于|A|与|之比值；,征向量被线性变换变成0.,如果特征值0=0，则特,例如：在R2中，向量绕原点按逆时针方向旋转,角的旋转变换S，当0时，对任意非零,向量R2，S()与都不共线(图7-8所示),此时，S没有实特征值；,当=时，R2中任何非零向量都与S(),共线，且S()=-(图7-9所示)，,S的特征值，而且任何非零向量都是其特征向,量.,所以，-1是,如果是线性变换A的属于特征值0的特征,向量，那么的任何一个非零倍数k也是A的属,于0的特征向量.,因为从A=0可以推出,A(k)=0(k).,这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.,相反，,特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特,征向量只能属于一个特征值.,三、求法,设V是数域P上的n维线性空间，1,2,n是它的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵,是A.,又设0是A的特征值，是A的属于0的,一个特征向量，在基1,2,n下的坐标是,x01,x02,x0n.,则A的坐标是,0的坐标是,因此A=0相当于坐标之间的等式,上式可进一步变形成,这说明特征向量的坐标(x01,x02,x0n)满足,齐次方程组,(0E-A)X=0.,由于0，所以它的坐标x01,x02,x0n不全为,零，即齐次方程组(0E-A)X=0有非零解.,我们,知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,它的系数行列式等于零，即,我们引入以下定义.,定义7.3.3设A是数域P上一n级矩阵，是,一个数字.,矩阵E-A的行列式,称为A的特征多项式，,次多项式.,这是数域P上的一个n,上面的分析说明，如果0是线性变换A的特,征值，那么0一定是矩阵A的特征多项式的一个,根；,反过来，如果0是矩阵A的特征多项式在数,域P中的一个根，即|0E-A|=0，那么齐次线性,方程组(0E-A)X=0就有非零解.,这时，如果,(x01,x02,x0n)是方程组(0E-A)X=0的一,个非零解，那么非零向量,=x011+x022+x0nn,满足A=0，即0是线性变换A的一个特征值,线性变换A的特征值与特征向量的步骤如下：,Step2：计算A的特征多项式，并求出特征,方程在数域P中的所有根.,的特征值1,2,s，它们也就是线性变换A,就是属于特征值0的一个特征向量.,于是可得求,Step1：在线性空间V中取一组基1,2,n，写出A在这组基下的矩阵A；,设矩阵A有s个不同,的全部特征值.,特征向量在基1,2,n下的坐标.,Step3:对A的每个特征值i(i=1,2,s),求解齐次线性方程组(iE-A)X=0，该,方程组的全部解即为矩阵A的对应于i的全部,矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的,特征值，而相应的线性方程组(iE-A)X=0的,解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.,四、举例,例1在n维线性空间中，数乘变换K在任,意一组基下的矩阵都是kE，它的特征多项式是,|E-kE|=(-k)n.,因此，数乘变换K的特征值只有k.,由定义可知,每个非零向量都是属于数乘变换K的特征向量.,例2设线性变换A在基1,2,3下的矩阵是,求A的特征值与特征向量.,解,A的特征多项式为,单击这里求特征值,所以，A的特征值为,当,时,解方程组,即,单击这里开始求解,解之得基础解系为,所以属于,的一个线性无关的特征向量就是,1=1+2+3，,全部特征向量就是,当,时,解方程组,即,解之得基础解系为,单击这里开始求解,所以属于,的一个线性无关的特征,向量就是,全部特征向量就是,例3在空间Pxn中，线性变换,Df(x)=f(x),在基,下的矩阵是,D的特征多项式是,因此，D的特征值只有0.,通过解相应的齐次线性,方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量,组只能是任一非零常数.,这表明微商为零的多项式,只能是零或非零的常数.,例4平面上全体向量构成实数域上一个二维,线性空间，第一节,中旋转S在直角坐标系,下的矩阵为,它的特征多项式为,当k时，这个多项式没有实根，因而，当,k时，S没有特征值.,五、特征子空间,容易看出，对于线性变换A的任一个特征值,0，全部适合条件,A=0,的向量所成的集合，,部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一,个子空间，,显然，,的维数就是属于0的线性无关的特征向,的最大个数.,也就是A的属于0的全,称为A的一个特征子空间，,记为,(2)12n=|A|.,证由行列式的定义可知,矩阵A的特征多,六、性质,性质7.3.1设1,2,n是n阶矩阵A=(aij),的n个特征值(k重特征值算作k个特征值),则,(1)1+2+n=a11+a22+ann;,项式,性质1,因而,A的特征多项式中,n与n-1的系数由该项,中,有一项是主对角线上n个元素的乘积,(-a11)(-a22)(-ann),而其他各项至多含有主对角线上的n-2个元素.,|E-A|=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A|.,确定.,不难看出,n的系数为1,n-1的系数为,-(a11+a22+ann).,另外,在特征多项式中,令=0可得其常数项为|A|.,故,12n=|A|.证毕,由于1,2,n是A的n个特征值,所以,|E-A|=(-1)(-2)(-n).,比较上述两式可得,1+2+n=a11+a22+ann;,特征值自然是被线性变换所决定的.,但是在有,限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变,换在这组基下矩阵的特征多项式的根.,随着基的不,同，线性变换的矩阵一般是不同的.,但是这些矩阵,是相似的。,性质7.3.2相似的矩阵有相同的特征多项式.,证明,设AB，即有可逆矩阵X，使,B=X-1AX.,于是,|E-B|=,|E-X-1AX|,=|X-1(E-A)X|,=|X-1|E-A|X|,=|E-A|.,证毕,性质7.3.2正好说明，线性变换的矩阵的特征多项,式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.,因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.,既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征,多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同的.,譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵,有相同的行列式.,因此，以后就可以说线性变换的,行列式了.,应该指出，性质7.3.2的逆是不对的，特征多项式,相同的矩阵不一定是相似的.,例如,它们的特征多项式都是(-1)2，但A和B不相似,因为和A相似的矩阵只能是A本身.,性质3,哈密顿-凯莱(Hanmilton-Caylay)定理,设A是数域P上一个nn矩阵，,f()=|E-A|,是A的特征多项式，则,f(A)=An-(a11+a22+ann)An-1+(-1)n|A|E=O.,证明,设B()是E-A的伴随矩阵，由行列,式的性质，有,B()(E-A)=|E-A|E=f()E.,因为矩阵B()的元素是|E-A|的各个代数,余子式，都是的多项式，其次数不超过n-1.,因,此由矩阵的运算性质，B()可以写成,B()=n-1B0+n-2B1+Bn-1.,其中B0,B1,Bn-1都是nn数字矩阵.,再设f()=n+a1n-1+an-1+an，则,f()E=nE+a1n-1E+an-1E+anE.,而,B()(E-A),=(n-1B0+n-2B1+Bn-1)(E-A),=nB0+n-1(B1-B0A)+n-2(B2-B1A),+(Bn-1-Bn-2A)-Bn-1A.,比较上述两式，得,以An,An-1,A,E依次从右边乘上式中的第一,式,第二式,第n式,第n+1式，得,把上式中的n+1个式子一起加起来，左边变成零,右边即为f(A),故f(A)=O.,证毕,因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的，所,以由这定理得,推论设A是有限维空间V的线性变换，,f()是A的特征多项式，那么f(A)=0.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结