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数列极限的定义Sx05,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,一、概念的引入,怎样求圆的面积S？,如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.,显然n越大,An越接近于S.,因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.,二、数列的定义,如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2,4,8,2n,;,1,-1,1,(-1)n+1,.,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.,数列与函数,数列的几何意义,数列xn可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,xn,.,三、数列的极限,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面图形的观察:,“无限接近”的等价含义:想要xn与1有多接近,就能有多接近.,想要|xn1|10,想要|xn1|104,想要|xn1|10k,想要|xn1|,当n,xna.当n,|xn-a|0.当n,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|N时不等式|xna|e都成立则称常数a是数列xn的极限或者称数列xn收敛于a记为,如果不存在这样的常数a就说数列xn没有极限,0,NN当nN时有|xna|.,极限定义的简记形式,“N”定义,数列极限的几何意义,0,NN当nN时有|xna|.,存在NN当nN时点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e,a+e),例1：,0,NN当nN时有|xna|.,证明：,例2：,0,NN当nN时有|xna|.,证明：,例3：设|q|1,证明等比数列1,q,q2,qn-1,的极限是0.,对于0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e+1就可以了.,0,NN当nN时有|xna|.,证明：,因为0,N=log|q|e+1N,当nN时,有,|qn-1-0|=|q|n-1e,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,作
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