平面向量及其运算

1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行。单位向量：模为1个单位长度的向量。 相等向量：长度相等且方向相同的向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。2、 向量加减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点。实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。3、平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 （2）平面向量的坐标运算：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|. 若，则 若，则 若，则 若，则；若，则注意：与轴、轴方向相同两个单位向量、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；基底不惟一，关键是不共线；由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，、唯一确定的数量。向量运算运算律： ； ； 4、平面向量的数量积：（1） “投影”的概念：|cosq 叫做向量在方向上的投影 （2）；规定； 几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积（3）设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或（4）运算律：；（5）坐标运算：若，则，或；设非零向量，则 ；1.已知，其中。 求证：与互相垂直； 若与（）的长度相等，求。2.(2013江苏)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值3. 已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(4，1)，n，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a，试判断bc取得最大值时ABC的形状。4. 设函数f(x)ab，其中向量a(2cosx,1)，b(cosx，sin2x)，xR.(1)若f(x)1且x，求x；(2)若y2sin2x的图象按向量c(m，n)(|m|)平移后得到yf(x)的图象，求实数m、n的值。5. 已知向量=3i4j，=6i3j，=（5m）i（4m）j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量。（1）若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数m的值。1下列命题中正确的是（ ）A B C D2设点，,若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）A B C或 D无数多个3若平面向量与向量的夹角是，且，则( )A B C D4向量，若与平行，则等于A B C D5若是非零向量且满足， ，则与的夹角是（ ）A B C D6设，且，则锐角为（ ）A B C D7若，且，则向量与的夹角为8已知向量，若用和表示，则=_。9若,，与的夹角为，若，则的值为