学而思四年级奥数等差数列进阶PPT.ppt

科目：四年级奥数教师：张宗诚,大家，晚上好！,等差数列,什么是等差数列？,定义：一列数中，每相邻两个数之间的差是定值的数列是等差数列.,等差数列的认识,1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.数列中数的个数称为项数。3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。4.例如：1、3、5、7、9、97、99，这是一个首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差数列。,练习1：2,5,8,11,14.32,35.练习2：10,20,30,40.1100练习3:99,97,96,95.2,1,等差数列我们要学些啥？,分为四种类型：（1）先来后到（2）点兵点将（3）对号入座（4）求和速算,又一波精彩内容马上呈现。各位看官，且听我一一讲来！,先来后到,题型1：找规律(1)1,3,5,7,9,(),()(2)0,5,10,15,20,(),().(3)100,96,92,88,84,(),().,题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的等差数列（1）写出该数列的前5项。（2）写出该数列的后5项。,【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之间差是定值。,【例题1】在数列5,9,13,17145中，问（1）这个数列中第20个数是多少？（2）85是这个数列的第几个数？（3）这个数列一共有几项？（4）将数列中所的数加起来，和是多少？解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）4=81（2）根据项数公式可知n=(85-5)4+1=21(3)根据项数公式可知n=(145-5)4+1=36(4)根据求和公式知：和=(5+145)362=2700,点兵点将，对号入座,【技巧总结】求公差，计算两项之间有几个公差！公式应用：通项公式：第n项=首项+（项数n-1）公差项数公式：项数=（末项-首项）公差+1,练习1：一个等差数列是6、13、20、27、678(1)它的第30项是多少？(2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几项,解：(1)第n项=首项+（项数n-1）公差第30项=6+（30-1）（13-6）=6+297=6+203=209,(2)项数=（末项-首项）公差+1=（622-6）7+1=6167+1=88+1=89（3）项数=（末项-首项）公差+1=（678-6）7+1=6727+1=96+1=97,【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项为33。求它的第8项。,【思路导航】步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。步骤二：公差=（33-21）2=6，首项=21-36=45步骤三：第8项=3+（8-1）6=45。,【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，是解此类等差数列问题的一种方法。,练习2：一个等差数列的首项是12，第6项是27。求公差。,解：第6项比首项多5个公差。公差=（27-12）5=155=3,例3.7个连续奇数的和是147，其中最大的奇数是几呢,解：中项定理：和=中间数项数中间数=和项数计算中间数第4个数，计算第7个数所以1477=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面三项是23，25，27,练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？,例4，某学校有304个小朋友围成若干个圆（一圈套一圈）做，已知最内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的相差多少人？分析：本题实际上是求公差解：这一等差数列的和是304，首项24，末项52，先根据公式：和=（首项+末项）项数2，求出项数：304276=8，再根据公式末项=首项+(n-1)公差，求出公差52-24）7=4练习：牛牛读一本550页的故事书，第一天读了30页，最后一天读70页，每天读的页数刚好构成等差数列。那么每一天比前一天多读几页？,例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，每层都比上一层多4块砖，已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，容易知道这是一个等差数列。402是第(402-2)4+1=101层，中间一层是第（101+1）2=51层，那么中间一层有2+（51-1）4=202块。这堆砖共有202101=20402方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均数，所以中间层有（402+2）2=202块，层数(402-2)4+1=101层，。这堆砖共有202101=20402,练习：8个连续自然数的和是164，其中最小的数是多少？,例1.计算：1+3+5+7+9=1+3+5+7+9+11=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+.+99+100=练习1：2+4+6+8+10+12+.+98+100=练习2：99+97+95+93+91+.+3+1=拓展练习1：5+10+15+20+.95+100=,求和速算,技巧总结：先求数列项数=（末项-首项）公差+1再代入求和公式：（首项+末项）项数2,例5计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+36+37+39+40的和是多少？分析：双重等差数列-跳着看-分离出两个等差数列-分别计算求和-计算总和方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+40和3+6+9+39两个等差数列，分别求和得287，273，所以原式=287+273=560方法2：补项：补上2+5+8+38使原式成为一个连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原式=820-260=560方法3：合并，将原数列中从3，4开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列1+7+13+79,求和得560,练习5计算2+3+7+8+12+13+17+18+32+33+37+38,方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+37和3+8+13+38两个等差数列，求和得320方法2：合并，将原数列中从2，3开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列5+15+25+75，求和得320,例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，,问这列数的第101个是多少？,分析：二级等差数列找规律-相邻两数找差-差是连续自然数-用连续自然数表示数解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数差是2，第四个数与第三个数相差3以此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：第1个数：1=1第2个数：2=1+1第3个数4=2+2=1+1+2第4个数7=3+4=1+1+2+3第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。第n个数：1+1+2+3+4+5+(n-1)第101个数为：1+1+2+3+4+5+。+（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6+。+100=5051,有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，问这列数中的第100个数是多少？,小结,等差数列的认识：1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.数列中数的个数称为项数。3.从第二项开始，后