(圆锥曲线)全国高中数学联赛试题一试

2000-2010年全国高中数学联赛试题一试(答案)解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是 【答】（ ）(A) (B) (C) 3 (D) 62002直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有【答】（ ） A1个 B2个 C3个 D4个 2003. 设那么直线和曲线的图形是【答】（ ）2003. 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）（A） (B) (C) (D) 2004、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是【答】（ ）A B。（）C。（） D。 2005. 方程表示的曲线是【答】（ ）A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是【答】（ ）二、填空题2000、在椭圆(ab0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则ABF=_.2003设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积等于_.2005.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为.2006. 已知椭圆的左右焦点分别为与，点P在直线l：上. 当取最大值时，比的值为 .2009.椭圆（）上任意两点，若，则乘积的最小值为_2009已知直线：和圆：，点在直线上，、为圆上两点，在中，过圆心，则点横坐标范围为 2010.双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 三、解答题2000、已知C0:x2+y2=1和C1:(ab0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。2002已知点A(0，2)和抛物线y2=x4上两点B，C，使得ABBC，求点C的纵坐标的取值范围 2005.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.2006. 给定整数，设 是抛物线与直线的一个交点. 试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.2007已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。2008如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值2009.设直线：（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由2010（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值十年全国高中数学联赛试题一试(答案)解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，ABC是等边三角形，则ABC的面积是 【答】（ ）(A) (B) (C) 3 (D) 6答案：C 。解析：如图所示，设BD=t，则OD=t-1，从而B（t-1，t）满足方程，可以得到t=,所以等边三角形，ABC的面积是.2002直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得PAB面积等于3这样的点P共有 A1个 B2个 C3个 D4个 解：直线与椭圆的交线长=5直线方程3x+4y12=0设点P(4cos，3sin) 点P与直线的距离d=， 当0时，d(1)，SABC6(1)3即此时没有三角形面积=3；当2时，d(+1)，SABC6(+1)即此时有2个三角形面积=3选B2003. 2设那么直线和曲线的图形是【答】（ ）题设方程可化为和,观察图形可知；2003.3 过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）（A） (B) (C) (D) 易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；2004、已知M=，N=，若对于所有的，均有则的取值范围是A B。（）C。（） D。 答： 解：相当于点（0，b）在椭圆上或它的内部。 故选A。2005. 方程表示的曲线是A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线解：即又方程表示的曲线是椭圆。即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当02c|r1r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1r2且r1+r20(1)，(2)，(3)，由此解得。对求导，得，则，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为(4)。同理可求得直线l2的方程为(5)。(4)(5)得，因为x1x2，故有(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得(7)，其中，代入(7)式得2yp=(32k)xp+2，而xp=2，得yp=42k。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。2008如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值解 设，不妨设直线的方程:，化简得 又圆心到的距离为1， ， 5分故，易知，上式化简得， 同理有 10分所以，则因是抛物线上的点，有，则 ， 15分所以 当时，上式取等号，此时因此的最小值为8 20分2009. 由消去化简整理得设，则 4分由消去化简整理得设，则 8分因为，所以，此时由得所以或由上式解得或当时，由和得因是整数，所以的值为，当，由和得因是整数，所以，于是满足条件的直线共有9条14分2010.已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 解一：设线段的中点为，则 ， .线段的垂直平分线的方程是 . （1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. （5分）由（1）知直线的方程为 ，即 . （2）（2）代入得 ，即 .（3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以 , . . 定点到线段的距离 . （10分） . （1