应用随机过程答案1

2. （1） 求参数为的()bp,分布的特征函数，其概率密度为 ( ) ( ) 是正整数pb x xex p b xp bxp p , 0 00 0, 1 = （2）求其期望和方差。 （3）证明对具有相同参数的b分布，关于参数具有可加性。 p 函数有下面的性质： 解 （1） 首先，我们知道 ( )()! 1=pp 根据特征函数的定义，有 ( )( ) ( ) ( ) () ( )() () ( )() () ( )() () ( ) () () () ( ) () () p p p xjtb p p xjtbp p xjtbp p xjtbp p xjtbp p bxp p jtxjtxjtX X jtb b jtb p p b dxex jtb p p b dxex jtb p p b dxex jtb p p b ex jtbp b dxex p b dxex p b edxxpeeEtf = = = = = + = = = !1 !1 1 11 0 0 1 0 2 0 2 0 1 0 1 1 0 L 所以 ( ) p X jtb b tf = （2）根据期望的定义，有 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) b p dxxp b p dxex p b b p dxex b p p b ex bp b dxex p b dxex p b xdxxxpXEm bxp p bxp p bxp p bxp p bxp p X = = + = = = 0 1 0 1 0 00 1 1 类似的，有 ( ) ( )( ) ( )( ) () ( ) () () ( ) () ( ) () 2 2 0 1 2 0 0 0 1 0 1 0 1222 1 11 1 11 b pp dxxp b pp dxex p b b pp dxex b p p b dxex b p p b ex bp b dxex p b dxex p b xdxxpxXE bxp p bxp p bxp p bxp p bxp p bxp p + = + = + = = + = + + = = = + + L 的方差为 X所以， () 2 2 2 22 1 b p b p b pp mXED XX = + = （3） ( ) () () jt jntjt en ee tf = 1 1 5. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变 量的分布。 ( )tf解. 根据定理 1.3.2（第 10 页）, 我们只需证明是连续非负定， 且。 ( )10 =f 注意到 ( ) () () () = = = = = n k jkt n k jkt jt jt n jtjt jt jntjt e n e n e e e n e en ee tf 1 1 1 1 1 1 0 所以连续且. 下面我们证明( )tf( )10 =f( )tf是非负定的（性质 1.3.3， 第 8 页） 。对任意给定的自然数M，实数以及复数 ，由于 M ttt, 21 L M aaa, 21 L () ()() () () () = = = M i M k ki ttj ttjnttj M i M k kiki aa en ee aattfA ki kiki 1111 1 1 () ()() () () () ()() () () () A aa en ee aa en ee aattfA M k M i ik ttj ttjnttj M i M k ki ttj ttjnttj M i M k kiki ik ikiik ki kiki = = = = = = 11 1111 1 1 1 1 n e jlt A, 2 , 1nlL=所以是实数。其次，容易证明对任意函数是非负定 的。 因此，函数是非负定的。( )tf( )tf是特征函数。 ( )tf下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。 根据定理 1.3.1 （第 10 页） ， ( )( ) ()() = = = = n k n k n k jktjtxjtx kx n kx n dtee n dtetfxp 11 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 1 t tf + =5. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的 分布。 解. 容易证明连续且( )tf( )10 =f( )tf，下面我们证明是非负定的。对 任意给定的自然数M，实数以及复数，首先， 由于 M ttt, 21 L M aaa, 21 L () () =+ = M i M k ki ki M i M k kiki aa tt aattfA 11 2 111 1 ， 是实数。其次， A显然 () () () () 0 max1 1 max1 1 1 1 2 21 2 , 11 2 , 11 2 11 + + = + + = = = M ki ki M i M k ki ki ki M i M k ki ki M i M k kiki aaa tt aa tt aa tt aattfA L 所以是非负定的。 ( )tf 最后，根据定理 1.3.1（第 10 页） ， ( )( ) x jtxjtx e dte t dttfexp 2 1 1 1 2 1 2 1 2 = + = (),x () 2 ,aN7. 设相互独立服从正态分布 n XXX, 21 L。试求维向量 的分布， 并求其均值向量和协方差矩阵， 再求 n = = n i i X n X 1 1 ( n XXX, 21 L) 的概率密度函数。 () 2 ,aN解. 由于相互独立服从正态分布 n XXX, 21 L，维向量 的均值向量为 n ()aaa,L=( n XXX, 21 L)，协方差矩阵为 = 2 2 2 O B，()的分布为()BN,。 n XXX, 21 L ()1 , 1 , 1 1 L n l = = = n i i X n X 1 1 ，则， al = 根据题意，。令 () nnn lBl 2 2 2 2 1 1 1 1 1 , 1 , 1 1 = = MO L 根据性质 1.4.4（第 14 页） ， () = n aNlBllNX 2 , ()1 , 0N11. 设相互独立， 且都服从 211 XXY+= 321, XXX和。 试求随机变量 和组成的随机向量() 21,Y YY =的特征函数。 312 XXY+= 解. 令，则 () 321 ,XXXX = 1 1 1 , 0 NX ()()()XAXXXXXXXYYY= =+=: 10 01 11 , 321312121 = = 21 12 10 01 11 101 011 1 1 1 AA 根据性质 1.4.5（第 15 页） ， () = 21 12 , 0,NBNY YY 根据定理 1.4.1（第 13 页） ， ( )() 2 221 2 1 exp 21 12 2 1 exp 2 1 expttttttttBtjtf YYY = = = ()1 , 0N。试求 12. 设相互独立，且都服从 321, XXX和 () 321 ,XXX的特征函数 （1）随机向量 （2）设, 321321211 XXXSXXSXS+=+=求随机向量()的特 征函数。 321 ,SSS () 21,Y Y（3）和的特征函数。 121 XXY= 232 XXY=组成的随机向量 跟上题的解法完全一样。 ()1 , 0N15. 设是相互独立同服从正态分布YX,的随机变量，讨论 和 Y X V =的独立性。 22 YXU+= 解. 我们知道，随机向量的概率密度函数为 (YX,) () 2 , 22 2 1 , yx YX eyxf + = Y X V =根据，有 。由0UYVX = 22 YXU+=知，代入，可 得，所以Y由两个解，即： 22 YXU+= ()() 222 2 1YVYYVU+=+= , 1 , 1 2 2 2 1 V U Y V U Y + = + = 类似的， + = + = 2 1 2 1 1 1 V U Y V VU X + = + = 2 1 2 1 1 1 V U Y V VU X 下面我们求 Jacobi 行列式。容易验证： () 2/3 2 1 1 V U V X + = 2 1 12VU V U X + = ， ， () 2/3 2 1 1 V VU V Y + = 2 1 12 1 VU U Y + = ， ， 所以， () ()() 2 11 11 11 1 12 1 , , V V Y U Y V X U X VU YX J + = = = 类似地， () ()() 2 22 2 12 1 , , VVU YX J + = = 因此，随机向量的概率密度函数为 (VU,) () () () + = + + + + = + + + + = 2 exp 1 1 2 1 12 1 11 2 1 exp 2 1 2 1 , 11 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 22 ,1 22 , u v v v u v vu J v u v vu fJ v u v vu fvug YXYXVU 由上式可得U和V的概率密度函数： ( )() () () = + = + = 2 exp 2 1 1 1 2 exp 2 1 2 exp 1 1 2 1 , 2 2 , u dv v u dv u v dvvugug VUU ( )() () ()() () 2 0 2 0 2 2 , 1 1 2 exp 2 1 1 1 1 2 1 2 exp 1 1 2 1 2 exp 1 1 2 1 , v u v du u v du u v duvugvg VUV + = + = + = + = 所以， ()( )( )vgugvug VUVU =, , 即是独立的。 VU和 17. 设二维随机变量的概率密度函数为 YX, () = 其它0 0, 0, 1 , yxe y yxp y x y yYXE=。 试求 解. 容易验证，Y的概率密度函数为 ( )() yy x y y x y y x y Y ee y y e dxe y e dxe y dxyxpyp = = = 0 0 0 1 1 1 , 在下的条件概率密度函数为（第 24 页） XyY =所以 () () ( ) y x y y x y Y YX e ye e y yp yxp yxp = 1 1 , | | 相应的条件数学期望等于 ()0 ,| 00 | = yydxe y x dxyxxpyYXE y x YX 习题二 () 2 , 0N( )tBtAtXsincos=2 设， 其中是相互独立且有相同的BA,分 布的随机变量，(),t。试求： 是常数， （1）的一个样本函数； ( )tX （2）的一维概率密度函数； ( )tX （3）的均值函数和协方差函数。 ( )tX () 2 , 0,NBA( )0tX是一个样本函数。 解. （1） 由于0= BA， 取， 则 （2） 由于。根据性质 1.4.4（第 14 页） 知，对任意 ， ( )()()CBA t t BAtX,: sin cos ,= = t ( )() 2 2 2 , 0, 0 NCCNtX= 所以的一维概率密度函数为 ( )tX ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 tx X etp = （3）容易计算： ( )( )0=tXEtmX ()( )( )() () ()() ()() () ()ts tsts BBtsABts BAtsAAts tBtAsBsA tXsXtsCX = += + = = = cos sinsincoscos ,covsinsin,covcossin ,covsincos,covcoscos sincos,sincoscov ,cov, 2 2 4设是参数为的 Wiener 过程，求下列过程的均值和相 关函数： ( )0, ttW 2 ( )0 , 1 =t t tWtX( )( )0 , 2 =ttWtX （2） （1） ( )()0 , 21 = ttcWctX( )( )( )0 ,=tttWtWtX （4） （3） ( )( )( )( )ttDtWEtXEt WX 22 =解 （1） 假设，有 st ()( ) ( )( )( ) ( )( )()( )( )( )() ( )( )()( )( )()( )( )()( )() ( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()sWWsWEsWtWWsWEsWtWWsWE sWsWtWsWtWWsWE sWsWtWWsWE tWsWEtXsXEtsRX 2 2222 2 22 22 22 0020 20 0 , += += += = ( ) 由于是 Wiener 过程，所以是独立增量过程，所以 ( )0, ttW ( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()()stssWtWEWsWEsWtWWsWE= 22 2222 00 ( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()000 22 =sWtWEWsWEsWtWWsWE ( )( )()( )( )sWEsWWsWE 42 2 0= ( )( ) 2 2 2 t s sW etf =，所以根据性质 1.3.6（第 9 页） ，有 因为 ( ) ( ) ( ) 244 )( 4 4 30 1 sf j sWE sW = 所以， ()()() 24424242422 233,sstssstsststsRX+=+=+= 类似的，当时，有 ts () 244 2,tsttsRX+= ( )( )0 1 = = t tWEtXEt X （2） ()( ) ( ) ts ts st t W s WstE t tW s sWEtXsXEtsRX ,min 1 , 1 min 11 11 , 22 = = = = ( )( )()0 21 = tcWcEtXEt X （3） 假设 st ()( ) ( )()()() () ()()()()() ()()()()()()() sscc scWEcscWtcWcWscWEc scWscWtcWscWEc tcWscWEctcWcscWcEtXsXEtsRX 2222 22222222 22222 2222121 0 , = += += = 所以 ()tstsRX,min, 2 = ( )( )( )( )0=ttWtWEtXEt X （4） ()( ) ( )( )( )()( )( )() ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ()( ) ( ) ()tsstts tWsWEstts tWsWstEtWsWsEtWsWtEtWsWE ttWtWssWsWEtXsXEtsRX ,min1 1 , 2 += += += = ( )tN9. 设某电报局接受的电报数组成 Poisson 流，平均每小时接到 3 次电报。求： （1） 一上午（8 点到 12 点）没有接到电报的概率； （2）下午第一个电报的到达时间的分布。 解. （1） 由于是 Poisson 流，满足 ( )tN ()( ) ( ) 0 , ! 3 3 =+ te n t nsNtsNP t n 所以一上午（8 点到 12 点）没有接到电报的概率等于 ()( ) () 1243 0 ! 0 43 0848 = =+eeNNP （2）类似的，用表示下午第一个电报的到达时间。那么的分布 为（定理 2.6.3,第 41 页） 1 T 1 T ( )( ) t T etNPtTPtTPtF 3 11 1011 1 = 10. 设和分别为强度为( )0, 1 ttN( )0, 2 ttN 21 和的独立的Poisson过 程。令，求( )( )( )0, 21 =ttNtNtX( )0, ttX的均值函数和相关函 数。 解. 容易知道，的均值函数为 ( )0, ttX ( )( )( )( )0 21 =tNtNEtXEt X ( )0, ttX的相关函数为 ()( ) ( ) ( )( )()( )( )() ( )( )( )( )( )( )( )( )tNsNEtNsNEtNsNEtNsNE tNtNsNsNE tXsXEtsRX 22122111 2121 , += = = 根据定理 2.6.1（第 40 页）, 有 ( )( )()()tssttsRtNsNE N ,min, 1 2 111 1 += ( )( )()()tssttstNsNE N ,min, 2 2 222 2 += 因为和相互独立，所以 ( )0, 1 ttN( )0, 2 ttN ( )( )( )( )sttstNsNE NN2121 21 = ( )( )sttNsNE 2112 = 因此 ()()()() ()()()tsst sttssttsRX ,min 2,min, 21 2 21 2121 2 2 2 1 += += 习题三 ()+=tatXcos)(TttX),(1设随机过程， 其中,a定义为为常数， ()2 , 0上的均匀分布， 服从 ()()st a tsRX=cos 2 ),( 2 （1）证明 （2）求 ( )tX 解. （1） ()( ) ( )()() ()()() ()()() ()ts a drrts a ts a tsE a tsE a tasaEtXsXEtsRX = += += += cos 2 2 1 2cos 2 cos 2 2cos 2 cos 2 coscos, 2 2 0 22 22 （2）后先， ()()( )()( )sinsincoscoscos)(tatatatX=+= 根据性质 3.3.3（第 57 页） ， ()( )()( )()+=tatatatXsinsincoscossin)( 2. 设均 方 可 微 ，是 普 通 的 可 微 函 数 ， 则 均方可微，且有 )(tX)(tf)()(tXtf )()()()()()( tXtftXtftXtf+= 证明。 根据随机变量可微的定义 3.3.1（第 54 页） ，只需证明 () ()( ) ( ) ()0)()()()( + + tXtftXtf t tXtfttXttf as 0t 因为， () ()( ) ( ) () () ()( ) ()( ) ()( ) ( ) () () ()( ) ()( ) ()( ) ( ) () ()( ) () ()()( )() ( ) ()( ) ( ) ()( ) ()()( )( ) ()( ) )()()( )()( )()( )()()()( )()()()( )()()()( tX t tXttX tftXttXtfttXtf t tfttf tXtf t tXtfttXtf tXttXtfttXtf t ttXtfttXttf tXtf t tXtfttXtf tXtf t ttXtfttXttf tXtftXtf t tXtfttXtfttXtfttXttf tXtftXtf t tXtfttXttf + + + + + + + + + + + + = + + 由于均方可微，是普通的可微函数，所以 ( )tX( )tf ()( )()( ) 0)(, 0)( + + tX t tXttX tf t tfttf 当 0t ( )tX另外，由定理 3.3.1（第 54 页） ，均方可微推出均方连续， 所以 ( )tX ()( )0+tXttX当。 0t 综上所述，我们有 () ()( ) ( ) ()0)()()()( + + tXtftXtf t tXtfttXttf 0t 当。 所以，根据定义， )()()()()()( tXtftXtftXtf+= 习题四 ( )(),ttY( ) = eRY11 设宽平稳过程的自相关函数为，对满足 随机微分方程( )(),ttX( )( )( )tYtXtX=+ 的宽平稳过程， X（1）求的均值函数、自相关函数和功率谱密度； X和Y的互相关函数和互功率谱密度。 （2）求 0, 1, 1, 1=DCBA解.由题意可知，所以脉冲相应函数为 ( )0 ,= teBCeth tAt Y t YYX mdtemdtthmtm= 0 )()( （定理 4.4.2，第 83 页） ( ) Y S，由维纳-辛钦公式（定理 4.3.1，第 76 页）知 下面我们先求 ( )( ) 2 1 2 + = deedeRS jj YY 另外，脉冲相应函数的 Fourier 变换为 ( )th ( )( ) + = 0 2 1 1 j dteedtethH tjttj ， ( ) 2 2 1 1 + =H所以 。根据定理 4.4.2（第 83 页） ，我们有 ( )( )( ) () 2 2 2 1 2 + = YX SHS 所以，根据定理 4.3.2（第 76 页） ， ( )( ) () ? 1 2 2 1 2 1 2 2 = + = = de deSR i i XX X和Y的互功率谱密度为（定理 4.4.3,第 84 页） ( )( )( ) () () 2 2 22 1 12 1 2 1 1 + = + = jj SHS YYX X和Y的互相关函数为 ( )()( )( )() ( )() = = 00 * dseedssRsh dssRshRhR s s Y YYYX 时， 当0 ( ) ()() 2 3 0 +=+= e edseedseeR ssss YX 时， 当0 ( ) () 2 0 e dseeR ss YX = 因此，我们有 ( ) + = 0 2 0, 2 3 e e e RYX 15. 已知平稳过程（参数连续）的谱密度 ( ) = 其它0 ,ba SX （1） ( )()0 0 2, 2 =a aab SX 其它 （2） ( ),( , 1 22 2 为正数 kk n k k k X S = + = （3） 解. （1）根据定理 4.3.2（第 76 页） ， ( )( ) () ()() b a bj j a ee j a e j a dae deSR jbjbb b j b b j j XX sinsin2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 = = = 平均功率为 ( )( ) ()() ab b babba RR XX = sin lim sin limlim0 000 （2） ( )( ) ()()()() ()()() aa b aa j jb eeee j b debdebdeSR ajjajaaj a a j a a jj XX sin1cos2 sin2sin 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 = =+= += ( )( )()()() () ()() 22 0 2 00 1cos2 sin limsin1cos2limlim0 ab a a aab aa b RR XX = （3） ( )( ) () () = = = = + = + = n k k k n k k j k kk k n k j k kj XX k k k e de dedeSR 1 2 1 2 2 1 22 2 2 1 1/ / 2 1 2 1 2 1 ( )( ) = = n k k k n k k k XX k e RR 1 2 1 2 00 22 1 limlim0 ( )h是平稳过程（即平稳过程具有平稳 增量） ，并求Y的谱函数。 解. 显然， ( )()( )0=+=tXhtXEtYE ( )( ) () ()()()( ) () ()() ( )() ()() ( ( )()()( ) ( )()()hRhRR RhRhRR tXtXEhtXtXEtXhtXEhtXhtXE tXhtXtXhtXE tYtYER XXX XXXX YY += += += += += ) 2 根据定义 4.1.2（第 71 页） ，Y是平稳过程。 根据定理 4.3.2（第 76 页） ， ( )( ) ( )()() ()( ) ()()( ) X X hjhj jt X jt X jt X jt YY Sh See dtehtRdtehtRdtetR dtetRS cos12 2 2 = = += = 22. 设是白噪声序列，试证明 L, 2, 1, 0,=nXn 11 1 + += mnnnn XXX m YL 是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。 L, 2, 1, 0,=nXn解. 由于是白噪声序列，所以 L, 2, 1, 0 , 0=nXE n () = =+ + 00 01 , l l XXElnnR lnnX 由上面两式可得， 0 1 11 = += +mnnnn XXX m EYEL () ()() 2 2 1111 11 1 11 , m lm mlnn m XXX m XXX m E YYElnnR mlnlnlnmnnn lnnY = += += =+ + + LL 根据定义 4.1.2（第 71 页） ， ，是平稳过程。 n Y ( )( ) = = = k jk k jk Y e m km ekRS 2 26.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且 满足： ( )( )( )( )tXtYtYtY=+ 2 0 X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数 试用 解。令。则 1 YY = ( )tXYYY YY += = 2 01 1 1 ， 即 = + = 1 1 2 0 1 01 1 010 Y Y Y X Y Y Y Y 所以 0 ,01 , 1 0 , 10 2 0 = = =DCBA ， ( )0 , 1 010 exp01 2 0 =tBCeth At ( )( ) =dtethH tj ， ( )( )( ) XY SHS 2 =， ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) = d eS H RHRHS i XXXY 2 ( )()()+=, ,costtAtX30设，其中，是常数，是相互独 立的随机变量， 且服从区间 ,A ()2 , 0X上的均匀分布，试研究的均值 函数的各态历经性。 ( )( )() (), 0coscos=+=+=tEAEtAEtXEtmX解. 容易验证， ( )( ) () ()()() ()()() () cos 2 1 coscos coscos 2 2 AE ttEAE tAtAE tXtXERX = += += += 下面我们验证均值遍历性（定理 4.6.1，第 93 页） ： ( ) () () () = = T T T T T T T X T d T AE d T AE dAE TT dmR TT 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 cos 4 limcos 2 lim cos 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 lim 容易验证， () () ()() 0lim 2 12sin lim sin 2 limcos 2 lim 22 2 0 0 2 2 0 2 = = T AE T TAE T AE d T AE TT T T T T () () ()() = = T T T T T T T d T AE d T AE d T AE 2 0 2 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 2 2 sinsin 4 lim sin 4 limcos 4 lim 所以， () () () ()0sin 4 lim 2 lim sin 4 lim 4 sin2 limcos 4 lim 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 =+= + T TT T TT T T d T AE T AE d T AE T TAE d T AE 所以均值具有遍历性。 习题五 2. 是随机差分方程L, 2 , 1 ,=nXn nnn IXX+= 1 的解， 其中是已知常 数，而L, 2 , 1 ,=nIn0 0 =X是独立同分布的取可数值的随机变量。试 证明是马氏链。 L, 2 , 1 ,=nXn 证明.容易证得： nn nnnnnn nnnnnnn nnnnn ijIP XiXiXiXijIP XiXiXiXijXXP XiXiXiXjXP = = = = + + + + 1 011111 011111 011111 0,| 0,| 0,| L L L 类似的， nn nnnnn nnn ijIP iXijXXP iXjXP = = = + + + 1 1 1 | | 所以 nnnnnnnn iXjXPXiXiXiXjXP= + |0,| 1011111 L， 即是马氏链。 L, 2 , 1 ,=nXn L, 1 , 0,=nXn3. 有两个状态 0 和 1 的马氏链， 其状态转移概率矩阵为 = pq qp P 其中。试征： 1=+qp （1） n 阶状态转移概率矩阵为 ( ) ()() ()() + + = nn nn n qpqp qpqp P 11 11 2 1 =1 0 XP1|1 10 =XXP（2） 设 ，求 证明： （1）首先，根据 C-K 方程（推论 5.2.1，第 105 页） ，