离散时间信号和系统理论知识介绍(ppt 113页).ppt

天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1离散时间信号序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号的抽样,第1章离散时间信号和系统,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1离散时间信号序列,1.1.1序列的定义1.1.2序列的基本运算1.1.3常用的基本序列1.1.4序列的周期性1.1.5用单位脉冲表示任意序列,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.1序列的定义,信号在数学上定义为一个函数，这个函数表示一种信息，通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是关于一个或几个独立变量的，关于一个独立变量的信号称为一维信号，关于多个独立变量的信号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信号是一维信号x(t),一般情况下x(t)为随时间变化的信号，简称时间信号或时域信号。,天津师范大学计算机与信息工程学院,若t是定义在时间上的连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT)，T表示的是采样点之间的时间间隔，n是一个整数。离散时间信号可以表示成下列形式：x(nT)n=0,1,2,3,.,天津师范大学计算机与信息工程学院,在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为：x(n)n=0,1,2,3,.x(n)定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，x(n)没有定义，但并不表示信号值为零。从数学的角度看，上面的定义式表示一个序列，所以也把离散时间信号称作离散时间序列，常常简化为x(n)。,天津师范大学计算机与信息工程学院,序列除了数学表达式外，还常常采用图形方式来表示，如图1.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。图1.1离散时间信号的图形表示,天津师范大学计算机与信息工程学院,离散时间信号在幅度上定义成连续的，如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此，离散时间信号并不等于数字信号，但由于数字信号是幅度量化得到的，在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.2序列的基本运算,和积移位标乘翻转,累加差分时间尺度变换序列的能量卷积和,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的和,设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的和,例1.1.1设序列,计算序列的和x(n)+y(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列求和图示,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的积,设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)y(n)表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的积,例1.1.2设序列,计算序列的积x(n)y(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列求积图示,x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的移位,设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)表示将序列x(n)进行移位。,m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的移位,例1.1.3设序列,计算序列的移位序列x(n+1)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列移位图示,x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的标乘,设序列为x(n)，a为常数(a0)，则序列y(n)=ax(n)表示将序列x(n)的标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的标乘,例1.1.4设序列,计算序列4x(n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的翻转,设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)表示以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：序列的翻转,例1.1.5设序列,计算序列x(-n)。,解：,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的累加,设序列为x(n)，则序列定义为对x(n)的累加，表示将n以前的所有x(n)值求和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例:序列的累加,设序列为则其累加序列即y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的差分,前向差分：将序列先进行左移，再相减x(n)=x(n+1)-x(n),后向差分：将序列先进行右移，再相减x(n)=x(n)-x(n-1),由此容易得出x(n)=x(n-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,多阶差分运算,二阶前向差分,二阶后向差分,单位延迟算子D，有Dy(n)=y(n-1),y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n),=1-D,k阶后向差分,(按二项式定理展开),二阶后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,例:差分运算,例1.1.6设序列求x(n)和x(n)。解：前向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,例:差分运算,后向差分,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算时间尺度(比例)变换,设序列为x(n)，m为正整数，则序列抽取序列：y(n)=x(mn),x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。,插值序列：,天津师范大学计算机与信息工程学院,抽取序列,x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按比例增加到m倍以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留x(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,插值序列,x(n/m)：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点保留x(0),天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的能量,设序列为x(n)，则序列定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和；若为复序列，取模值后再求平方和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,基本运算序列的卷积和,设序列为x(n)和z(n)，则序列定义为序列x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。,天津师范大学计算机与信息工程学院,卷积和计算的四个步骤,翻转：x(m)，z(m)z(-m)移位：z(-m)z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位相乘：z(n-m)x(m)（m值相同）相加：y(n)=z(n-m)x(m),天津师范大学计算机与信息工程学院,对应点相乘！,例：卷积和计算,例1.1.7设序列,求y(n)=x(n)*z(n)。,解：,n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。,0n4时，,对应点相乘！,天津师范大学计算机与信息工程学院,例：卷积和计算,4n6时，,6n10时，,n10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.3几种常用序列,单位脉冲(抽样)序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列,天津师范大学计算机与信息工程学院,单位脉冲序列,(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零(n)类似于(t),(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零,天津师范大学计算机与信息工程学院,单位阶跃序列,u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义，u(n)在n=0时为u(0)=1,(n)和u(n)的关系：,(n)=u(n)-u(n-1),天津师范大学计算机与信息工程学院,单位矩形序列,N为矩形序列的长度,和u(n)、(n)的关系：,天津师范大学计算机与信息工程学院,实指数序列,a为实数,当|a|1时序列收敛,当|a|1时序列发散,天津师范大学计算机与信息工程学院,正弦序列,A为幅度为数字域角频率为起始相位,x(n)由x(t)=sint取样得到,x(n)=Asin(n+),归一化:=T=/fs(与线性关系),天津师范大学计算机与信息工程学院,复指数序列,为数字域角频率,用实部与虚部表示,用极坐标表示,=0时，序列具有以2为周期的周期性,复指数序列在实际中不存在，它是为了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性和正弦或余弦序列的特性基本一致。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.4序列的周期性,对于序列x(n)，如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足x(n)=x(n+N)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性,设x(n)=Asin(n+),则有x(n+N)=Asin(n+N)+=Asin(N+n+),若满足条件N=2k，则,x(n+N)=Asin(n+N)+=Asin(n+)=x(n),天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,N、k为整数，k的取值满足条件，且保证N是最小正整数。其周期为,2/为整数时，取k=1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/。,例1.1.8序列，因为2/=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。,例1.1.8序列，因为2/=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。,例1.1.8序列，因为2/=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/。,例1.1.9序列，2/=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。,2/为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。,指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。,例1.1.10序列,2/=8/3是无理数，所以不是周期序列。,例1.1.9序列，2/=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。,天津师范大学计算机与信息工程学院,周期性讨论,判断一个正弦序列是否是周期序列的方法是：用2除以它的数字频率，若得出的是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出的是无理数，序列就不是周期序列。但无论序列是否为周期序列，仍把称作序列的数字频率。,天津师范大学计算机与信息工程学院,下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。设模拟正弦信号为对该以T为采样间隔进行采样离散,得将离散后的信号表示成离散正弦序列，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,可知其中，称为采样频率。该式即为数字频率和模拟角频率0、模拟频率f0之间关系式，它们是依靠采样间隔T或采样频率fs进行关联的。,整理后可得,可以看出：是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对抽样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对抽样频率fs的相对频率。,天津师范大学计算机与信息工程学院,数字频率的特点：（1）是一个连续取值的量；（2）的量纲为一种角度的量纲单位：弧度（rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦信号变化的角度，表示了信号相对变化的快慢程度；（3）序列对于是以2为周期的，或者说，的独立取值范围为0,2)或-,)。,天津师范大学计算机与信息工程学院,正弦型序列是周期序列的条件为：,（有理数）,则,当N个抽样间隔等于k个连续时间信号的周期时，由正弦信号抽样得到的正弦序列是周期序列。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.1.5用单位脉冲序列表示任意序列,任何序列都可以用单位脉冲序列的移位加权和来表示，即,式中,天津师范大学计算机与信息工程学院,例如如图序列，可以表示成,天津师范大学计算机与信息工程学院,x(n)可看成是x(n)和(n)的卷积和，即,例1.1.11,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2线性移不变系统,1.2.1系统定义数字信号处理的任何处理都是依靠系统来完成的,所以系统是数字信号处理的核心，系统一般包括系统硬件和系统所完成的处理算法。系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。,天津师范大学计算机与信息工程学院,系统可以表示为其中，符号T表示系统的映射或处理，可以把T简称为系统。系统的图形表示如下图所示，输入x(n)称为系统的激励，输出y(n)称为系统的响应。由于它们均为离散时间信号，将系统T称为离散时间系统或时域离散系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.2线性离散时间系统满足叠加原理的系统，或满足齐次性和可加性的系统称为线性系统。设y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)对任意常数a,b，若Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)=ay1(n)+by2(n)则称T为线性离散时间系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,推广到一般情况，设yk(n)=Txk(n)，k=1，2，.N线性系统满足1kN线性系统的特点是多个输入的线性组合的系统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例1.2.1证明由线性方程表示的系统是非线性系统。证明设所以，该系统是非线性系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.3非时变离散时间系统若满足下列条件，系统称为非时变（非移变）系统，或时不变（移不变）系统。设y(n)=Tx(n)对任意整数k,有y(n-k)=Tx(n-k)即系统的映射T不随时间变化，只要输入x(n)是相同的，无论何时进行激励，输出y(n)总是相同的，这正是系统非时变性的特征。,天津师范大学计算机与信息工程学院,下图形象说明了系统非时变性的概念。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例1.2.2设系统的映射y=Tx(n)=nx(n)，判断系统的线性和时不变性。解设y1(n)=nx1(n),y2(n)=nx2(n)x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)则Tx(n)=nx(n)=na1x1(n)+na2x2(n)=a1y1(n)+a2y2(n)所以，系统为线性系统。设y(n)=nx(n),x1(n)=x(n-k)y1(n)=nx1(n)=nx(n-k)而y(n-k)=(n-k)x(n-k)y1(n)所以，系统为时变系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.4线性时不变离散系统定义同时具备线性和时不变性的系统称作线性非时变系统或线性时不变系统。它的重要意义在于，系统的处理过程可以统一采用这种系统的特征描述之一单位取样响应，以一种相同的运算方式卷积运算，进行统一的表示。任何一个信号可以表示成单位取样序列的线性组合，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,系统对的响应为设系统对单位取样序列的响应为，即称为系统的“单位取样响应”，它是描述系统的一个非常重要的信号。,天津师范大学计算机与信息工程学院,根据时不变性，有则系统输出y(n)可表示为上式表明：当线性非时变系统的单位取样响应h(n)确定时，系统对任何一个输入x(n)的响应y(n)就确定了，y(n)可以表示成x(n)和h(n)之间的一种简单的运算形式。将上式的运算方式称作“离散卷积”，简称“卷积”，采用符号“*”表示，即,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.5离散卷积的运算规律(1)交换律h(n)*x(n)=x(n)*h(n)它的意义可以解释为，如果互换系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)，系统的输出保持不变。,天津师范大学计算机与信息工程学院,交换律证明：,令n-m=k（m=n-k），则,天津师范大学计算机与信息工程学院,(2)结合律x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)它的意义可以解释为一种级联系统结构，级联顺序可以交换，或系统级联可以等效为一个系统，输出保持不变。,天津师范大学计算机与信息工程学院,结合律证明：,令k-m=r（k=r+m），则,天津师范大学计算机与信息工程学院,(3)分配律x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)+h2(n)它的意义可以解释为一个并联系统结构，或并联系统可以等效为一个系统，输出保持不变。,天津师范大学计算机与信息工程学院,分配律证明：,天津师范大学计算机与信息工程学院,(4)与(n)卷积的不变性x(n)*(n)=x(n)它的意义可以解释为输入通过一个零相位的全通系统。(5)与(n-k)卷积的移位性x(n)*(n-k)=x(n-k)它的意义可以解释为输入通过一个线性相位的全通系统。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.6离散卷积的计算卷积的计算一般采用两种方法：解析法和图解法，或是两种方法的结合。例1.2.3设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如下图所示，画出输出的波形。,天津师范大学计算机与信息工程学院,解：（1）采用图解法。,图解法的过程如图1.2所示。,天津师范大学计算机与信息工程学院,图1.2例1.2.3图解法,天津师范大学计算机与信息工程学院,（2）采用解析法。因为所以将x(n)的表达式代入上式，得到两种方法结果一致。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.2.7系统的稳定性和因果性,一、稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。若则线性时不变离散系统是稳定系统的充要条件（稳定性定理）：,即，系统的单位抽样响应绝对可和。,天津师范大学计算机与信息工程学院,证明：充分条件若系统满足条件，且输入x(n)有界，有，对所有n，M是一个任意大的有限数，此时系统的输出为两边取绝对值，得即输出y(n)有界，故系统是稳定的。必要条件利用反证法，已知系统稳定，假设，可以找到一个有界的输入则即输出无界，这不符合稳定的假设，因而假设不成立，所以是稳定的必要条件。,天津师范大学计算机与信息工程学院,二、因果性若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。线性时不变离散系统是因果系统的充要条件（因果性定理）：,天津师范大学计算机与信息工程学院,证明：充分条件若nn时的值有关，也就是y(n)值与n以后的x(n)有关，所以该系统不是因果系统，与已知条件矛盾，因而假设不成立。可见要使y(n)与nn时的x(n)无关，则必须使,天津师范大学计算机与信息工程学院,结论:因果稳定的线性时不变系统的单位取样响应是因果的,且是绝对可和的,即,天津师范大学计算机与信息工程学院,例1.2.4某线性时不变离散系统，其单位取样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。解：因果性:该系统是非因果系统。稳定性:当时系统稳定,当时系统不稳定。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例1.2.5设系统输入输出关系为，判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。解：因而所以此系统为线性系统而因而所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变的。,天津师范大学计算机与信息工程学院,若x(n)有界，即，则而，所以。即有界的输入产生有界的输出，因此系统是稳定的。只与x(n)的当前值有关，而与未来值无关，所以系统是因果的。,天津师范大学计算机与信息工程学院,.常系数线性差分方程,连续线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散线性移不变系统的输入输出关系常用常系数线性差分方程表示，即或者常系数是指决定系统特征的系数是常数，若系数中含有n，则称为“变系数”。差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们的相乘项，否则就是非线性。,天津师范大学计算机与信息工程学院,求解差分方程有如下几种方法：递推法、时域经典法、卷积法、变换域法等等递推解法比较简单，适合计算机求解，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。时域经典法和微分方程的解法比较类似，比较麻烦，实际应用中很少采用。卷积法则必须知道系统的单位抽样响应h(n)，这样利用卷积和就能得到任意输入时的输出响应。变换域法是利用Z变换的方法求解差分方程。当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代的方法求系统的响应，当输入为(n)时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。,天津师范大学计算机与信息工程学院,例1.3.1常系数差分方程（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；（）初始条件为n0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。解：（）设，且，必有依次迭代所以单位抽样响应为,天津师范大学计算机与信息工程学院,（）设，由初始条件知，必有将原式该写为另一种递推关系则所以单位抽样响应为由本例看出，差分方程相同，但是初始条件不同，得到的单位抽样响应不同，也就是对应着不同的系统,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.4连续时间信号的采样,1.4.1采样的基本概念从原理上说，采样器就是一个开关，通过控制开关的接通和断开来实现信号的采样，它的概念如图1.3所示。,天津师范大学计算机与信息工程学院,图1.3采样过程,天津师范大学计算机与信息工程学院,采样在数学上等效为下列运算：式中s(t)是一个开关函数，是原信号，是采样后的信号理想采样情况下，s(t)是无限多项单位冲击信号等间隔构成的一个单位冲击串，即式中T是采样间隔。,天津师范大学计算机与信息工程学院,则式中，只在时不为零，因而只在这些点上才有定义的值，为，可见采样的结果是使原来的模拟信号变成为在这些点上的离散信号，这就是采样的简单原理。,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.4.2采样过程中频谱的变化周期信号T(t)可以进行傅里叶级数展开，如下式：可以求解出式中，是的基波频率，同时也是采样频率。,天津师范大学计算机与信息工程学院,令，求得Ak为T(t)等效为因此,天津师范大学计算机与信息工程学院,上式表示是无限多个载波被调制之和，从频域变化来看，的频谱被搬移到无限多个频率点，这些频率点是，所以的频谱就变成了周期函数，周期等于。所以,天津师范大学计算机与信息工程学院,分析上式，xS(t)与xa(t)的频谱比较，主要的变化是：它的频谱变成了周期的，即是周期函数，周期为，也就是说，离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱以采样频率为周期进行无限项周期延拓的结果，这是信号采样带来的最重要的变化。另一点变化是频谱幅度变为原来幅度的1/T。图1.4表示了这种频谱的变化。,天津师范大学计算机与信息工程学院,图1.4理想采样信号的频谱,天津师范大学计算机与信息工程学院,1.4.3低通信号采样定理设xa(t)表示一个带限的低通模拟信号，最高频率分量为fmax，它的频谱为Xa(j)，如图1.5所示。,图1.5带限的低通模拟信号,天津师范大学计算机与信息工程学院,对该信号以采样频率fs进行采样，采样后的离散时间信号的频谱Xs(j)变成了以fs为周期的周期频谱。显然，在这种情况下，Xs(j)和Xa(j)包含的信息是相同的，或者说，采样后的离散信号能完全表示原来的模拟信号。若fs2fmax，这时周期频谱的各周期出现了混叠，造成实际的周期频谱的一个周期不等于原信号的频谱，也就是说，采样以后，信号出现了失真。,天津师范大学计算机与信息工程学院,天津师范大学计算机与信息工程学院,采样定理对一个低通带限信号进行