应用随机过程第3章习题简答

随机过程随机过程_第第 3 章泊松过程习题简答章泊松过程习题简答 教材教材 P16 习题习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21 4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为,0 n Xn，则有 n X独立同分布于参数为的 指数分布，进而， 123 (,)X XX的联合分布函数为： 123 3 (,)123112233 1 ( , , ),(1) it XXX i Ft t tP Xt XtXte 123 (,)X XX的联合密度为： 123 123 ()3 (,)123 ( , , ) ttt XXX ft t te 令： 11 221 332 ts tss tss ， 则 3 3 100 | |()|1101 011 i j t J s 故而： 1 n ni i SX ，n=1,2,3的联合密度为： 3 123123 3 123 (,)123(,)12132 0 ( ,)( ,) 0 s S SSXXX esss fs s sfs ss ss other 。 5.公交车按速率为的泊松过程达到某个车站。某人从车站上车开始估计到 家需要时间 R，而步行回家的时间是 W。它的策略是：到达车站时等待一段时 间 s，若在此时间内公交车还未到达，则步行回家。 （1）计算他到家的平均时间。 （2）证明：若 W 1/ + R，则它在 s=时最小（即应该继续等车） ；而 W = 1/+ R 时，一切的 s 值 给出相同的期望时间。 （3）对为什么只需考虑 s=0 和 s=的情形给出一个直观解释。 解：将某人到达车站的时刻记为 t=0 时刻，则第 1 辆公交车到达的时刻 1 ( )SE，依他的策略，他到家的时间 11 1 SRSs T sWSs 。 （1） 11 0 ( )()( )()( ) s SS s E TtR ft dtsW ft dt =(1/ )(1/ ) s WReR 。 （2） ( ( )d E T ds (1/ ) s WRe 当 W 1/+ R 时， ( ( ) 0 d E T ds ，平均到家时间是 s 的减函数，所以（1）的 期望时间在 s=时最小； 而 W = 1/+ R 时，( )E T 1/R，即任意 s 值都给出相同的期望时间。 （3）s=0 表示不等公交车、直接步行回家，而 s=则表示无条件等车、一 定搭公交车回家。 10.设公交车在时刻 T 发车，而乘客按速率为的泊松过程来到车站。证明 在发车前所有顾客的总候车时间的平均值是 2 1 2 T。 证明：设 ( ),0N t t 表示时刻 (0,t) 内来到车站的乘客人数，则在( )N Tn的条 件下，乘客到达时刻 S1,S2,Sn的联合密度函数为 12 123 !/0 ( ,) 0 n n n Tsss f s ss other 。 恰是区间 (0,T) 上均匀分布的相互独立的随机变量 U1,U2,Un的顺序统计量的 联合分布，故而有： 11 ()() nn ii ii ESEU 。 记 ( ) 1 () N T i i XTS ， 则 X 表示发车前所有顾客的总候车时间， 其条件期望为： ( ) 111 (|( )()|( )()() N Tnn iii iii E X N TnETSN TnETSnTES 1 1 () 22 n i i T nTEUnTnnT 进而 2 111 () (|( )( ) () ( ) 222 E XE E X N TEN T TT E N TT。 11. 假设题 10 中在时刻 T 前的某个时刻 s 增加一般汽车，证明如果 s = T/2，那 么在时刻 T 前到达车站的所有乘客的平均总等待时间最小。 解： 由题 10， 在时刻 s 前到达车站的乘客的平均总等待时间为 2 1 2 s， 在 ( , s T 之间到达的乘客的平均总等待时间为 2 1 () 2 Ts。故而在时刻 T 前到达车站的所有 乘客的平均总等待时间为： 22 1 ( )(22) 2 D sTsTs。 易证，当 s = T/2 时，( )D s取得最小值 2 1 4 T。 13.设 ( ),0N t t 是强度函数为( ) t的非时齐泊松过程，令 *1 ( )( )N tNt，证 明 * ( ),0N t t 是速率为 1 的泊松过程。 15.求非时齐复合泊松过程在时刻 t 的期望、在时刻 s,t 的协方差、特征泛函。 解：设 n Y是独立同分布序列， ( ),0N t t 是一个与 n Y独立的强度函数为 ( ) t的非时齐泊松过程，则 ( ) 1 ( ) N t k k Z tY 是强度函数为( ) t的非时齐泊松过程。 首先计算条件期望： 1 1 ( )|( )()( ) n k k E Z tN tnEYnE Y ，进而复合泊松过程 在时刻 t 的期望函数： 11 0 ( )( ( ) ( )|( )( ) ( )( )( ) t Z tE Z tE E Z tN tE N t E YE Ys ds 。 同理复合泊松过程在时刻 s,t 的自相关函数： ( , )( ( ) ( ) ( ) ( )|( ) ,() Z R s tE Z s Z tE E Z s Z tN tst ( )( )( ) 2 11( ) 1 () () () N sN sN t kkk kkk N s EYEYEY 2222 111 ( ) ()( )( )()( ) ( )( )()E N s E YE NsN sEYE N s E N tN sEY 22 11 ( ) () ( ) ( )( )()E N s E YE N s E N tE N sEY 进而在时刻 s,t 的协方差函数： 11 0 ( , )( , )( )( )( )( )( )( ), () s ZZZZ s tRs tstE N s Var YVar Yu dust 由于： 1 ( ) (|( )()( ) n k k iuY iuZ tn Y E eN tnE eu 所以特征泛函： 1 11 ( )( ) 1) ( )( )( ) ( ) 0 ( ) ( ) (|( )( )( ) ! Y k m tu iuZ tN tkm t Z tYY k m t uE E eN tEuuee k 。 其中 1( ) Y u是 Y1的特征函数，而 m(t)是 ( ),0N t t 的均值函数。 17.令 ( ),0X t t 是一个复合泊松过程，即 ( ) 1 ( ) N t k k X tY 。假设 Yk只能取有限个可 能的值。论证对于总分大的 t，( )X t渐进于正态。 证明：Yk只能取有限个可能的值，所以其期望与方差存在，写出其特征函数 的泰勒展开式，进而由 15 题，写出( )X t的特征函数，与正态分布的特征函数对 比。 21.（Yule 过程）连续时间马尔科夫链。 第第 3 章补充作业章补充作业 1. 设 ( ),0N t t 是速率为的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与 协方差函数。 ( )( ) N tE N tt， ( , )( )( ) ( )( )( )( ) ,() N Rs tE N s N tE N sN tN sN sst 22 ( ) )( )( ) ( )( )( )( ) NN E N sEN sE N s E N tVar N sst(1)st ( , )( , )( )( ), () NNNN s tRs tstsst 2. 设( ),0(1,2, ) i N t tin是速率分别为(1,2, ) i in的相互独立的泊 松过程。记 T 为全部 n 个过程中第 1 个事件到达的时刻。 （1）求 T 的分布； （2）证明： 1 ( )( ),0 n i i N tN t t 是速率为 1 n i i 的泊松分布； （3）计算，当( )1N t 时，事件属于过程 1 ( ),0N t t 的概率。 利用特征函数证明（2） （1）T 是泊松过程 1 ( )( ),0 n i i N tN t t 的第 1 个事件到达的时刻，所以它 服从参数为 1 n i i 的指数分布。 （3） 1 11 1 1 ( ) 1,( ) 0,2,3, ( ) 1,( ) 1 21 1( ) 1( ) 1 () 1 1 ( )1|( )1 () i i n j j n tt P NtNtinP NtN t i P N tP N tn t n j j j j tee P N tN t te 。 3. 设某电话总机在t分钟内接到呼叫的次数 ( ),0X t t 是速率为的泊松过 程，求： （1）3 分钟内接到 5 次呼叫的概率； （2）3 分钟内接到 5 次呼叫条件下，第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率； （3）3 分钟内接到 5 次呼叫条件下，5 次呼唤都在前 2 分钟内到达的概率； （4）3 分钟内接到 5 次呼叫，且第 5 次呼叫在第 3 分钟到达的概率。 （1） 5 3 (3 ) (3)5 5! P Xe ； （3） 5 2 5 5 3 (2 ) (2)5,(3)(2)02 5! (2)5|(3)5( ) (3 )(3)53 5! ee P XXX P XX P X e ； （2） 5 5 2 2|(3)51(2)5|(3)51 ( ) 3 P TXP XX ； （3） 44 5 00 2,(3)5(2),(3)5(2),(3)(2)5 kk P TXP Xk XP Xk XXk 5555 4 23 0 (2 )( )(32 ) !(5)!5! kk k eee kk 。 4. 设设 ( ),0N t t 是强度函数为( ) t的非时齐泊松过程， 12 ,XX是事件之 间的间隔时间，问： （1）各间隔时间 i X是否相互独立？ （2）各间隔时间 i X是否同分布？（提示：计算 1 X与 2 X的分布） 解： （1）记 0 ( )( ) t m ts ds，则 12 ,0t t，由于 22111211121 | ()( )0|( )1 ()( )0P XtXtP N ttN tN tP N ttN t 121 ()() m ttm t e 与 X1的取值 t1有关，所以各间隔时间 i X不是相互独立的。 （2） 1 X的分布为： 1 ( ) 11 m t P Xte，而 1 121112 22221111 0 ()( )( )() 1111 00 |( ) ( )( ) X m ttm tm tm tt P XtP XtXt ft dt em t edtem t dt 所以 2 X与 1 X不同分布。 5. 某商店上午 8 时开始营业，从 8 时到 11 时顾客平均达到率线性增加，8 时顾客平均到达率为 5 人每小时，11 时为 20 人每小时。从 11 时到下午 1 时顾 客的平均到达率不变，从下午 1 时到 5 时顾客平均到达率线性下降，到下午 5 时降为 12 人每小时。设在不同时间间隔内到达的顾客数相互独立。求强度函数 ( ) t，并求上午 8 时至 9 时无顾客的概率，以及该时段的平均顾客数。 解：将上午 8 时记为 0 时刻，则强度函数为： 5503 ( )2035 23059 xx xx xx 上午 8 时至 9 时的平均顾客数为： 11 00 (1)( )(55)7.5mt dttdt ； 上午 8 时至 9 时无顾客的概率为： (1)7.5m ee 。 6. 设( ),0(1,2) i N t ti是速率分别为(1,2) i i的相互独立的两个泊松过 程。令 12 ( )( )( )X tN tN t，请回答下列问题，并证明你的结论。 （1） ( ),0X t t 是泊松过程吗？ （2） ( ),0X t t 是复合泊松过程吗？ 解：