2004—2012江苏高考数学试卷

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、选择题(5分12=60分)1.设集合P=1，2，3，4，Q=，则PQ等于 ( )(A)1，2 (B) 3，4 (C) 1 (D) -2，-1，0，1，22.函数y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为 ( )(A) (B) (C) (D)3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )(A) (B) (C) (D) 5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线离心率为 ( )(A) (B) (C) 4 (D)0.5人数(人)时间(小时)2010501.01.52.0156.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.的展开式中x3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A) (B) (C) (D)10.函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-1911.设k1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )(A)3 (B) (C) (D)12.设函数，区间M=a，b(a0的解集是_.14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.15.设数列an的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n1)，且a4=54，则a1的数值是_.16.平面向量中，已知=(4，-3)，=1，且=5，则向量=_.三、解答题(12分5+14分=74分)17.已知00且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0且1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍（纵坐标不变）（3）函数ysin(x)，xR(其中0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x前面的系数提取出来 5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识. 【正确解答】的展开式通项为，因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.6【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.【正确解答】设，则由，则，化简整理得 所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别. 7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解 【正确解答】因为由题意得所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算，以及集合之间的关系要牢固掌握 本题考查三个抽象集合之间的关系，可以考虑借助与文氏图 8【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论 【正确解答】运用排除法，C选项，当a-bb0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为18.本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力 解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有 (3)解法一：情形1：当时，此时，由，与a0时，此时g(a)=a+2, 由，由a0得a=1.综上知，满足的所有实数a为或a=121本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力 证明：必要性，设是an公差为d1的等差数列，则bn+1bn=(an+1an+3) (anan+2)= (an+1an) (an+3an+2)= d1 d1=0所以bnbn+1 ( n=1,2,3,)成立 又cn+1cn=(an+1an)+2 (an+2an+1)+3 (an+3an+2)= d1+2 d1 +3d1 =6d1(常数) ( n=1,2,3,)所以数列cn为等差数列 充分性： 设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn+1 ( n=1,2,3,)cn=an+2an+1+3an+2 cn+2=an+2+2an+3+3an+4 -得cncn+2=（anan+2）+2 (an+1an+3)+3 (an+2an+4)=bn+2bn+1+3bn+2cncn+2=( cncn+1)+( cn+1cn+2)= 2 d2 bn+2bn+1+3bn+2=2 d2 从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=2 d2 -得（bn+1bn）+2 (bn+2bn+1)+3 (bn+3bn+2)=0 bn+1bn0, bn+2bn+10 , bn+3bn+20,由得bn+1bn=0 ( n=1,2,3,)，由此不妨设bn=d3 ( n=1,2,3,)则anan+2= d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2= cn=4an+2an+13d3从而cn+1=4an+1+2an+25d3 ，两式相减得cn+1cn=2( an+1an) 2d3因此(常数) ( n=1,2,3,)所以数列an公差等差数列 【解后反思】理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来.2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页，包含选择题（第1题第10题，共10题）、填空题（第11题第16题，共6题）、解答题（第17题第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。参考公式：次独立重复试验恰有次发生的概率为：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。1下列函数中，周期为的是A By=sin2x C Dy=cos4x2已知全集U=Z，A=-1，0，1，2，B=xx2=x，则ACUB为A-1，2 B-1，0 C0，1 D1，23在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x2y=0，则它的离心率为A B C D24已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： 其中正确命题的序号是A、 B、 C、 D、5函数的单调递增区间是A B C D6设函数f（x）定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当x1时，f（x）=3x1，则有A BC D7若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x2）+a2（x2）2+a3（x2）3，则a2的值为A3 B6 C9 D128设是奇函数，则使f（x）0，对于任意实数x都有f（x）0，则的最小值为A 3 B C2 D10在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A=（x，y）x+y1且x0，y0，则平面区域的面积为A2 B1 C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11若，.则tanatan=.12某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有种不同选修方案。（用数值作答）13已知函数f（x）=x312x+8在区间-3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm=.14正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是.15在平面直角坐标系xOY中，已知ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则。16某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d=，其中t0，60。三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）18（本小题满分12分）如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，点M在BB1上，垂足为H，求证：面BCC1B1；（4分）（3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求。（4分）19（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线交于P，Q。（1）若，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）20（本小题满分16分）已知an是等差数列，bn是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2a1，记Sn为数列bn的前n项和。（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m1）a1；（4分）（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列bn中每一项都是数列an中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数q，使等比数列bn中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）21（本小题满分16分）已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）=0的根，反之，g（f（x）=0的实数根都是f（x）=0的根。（1）求的值；（3分）（2）若a=0，求的取值范围；（6分）（3）若a=1，f（1）=0，求的取值范围。（7分）2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，共计50分。1D2A3A4C5D6B7B8A9C10B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共计30分。11 1275 1332 14 15 16三、解答题17本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为（2）5次预报中至少有2次准确的概率为（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为18本小题主要考查平面的基本性质、或以平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象力、逻辑推理能力和运算能力，满分12分。解法一：（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2因为AEDN，ND1CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。从而ENAD，FD1CN。又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而FD1BE。（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BCM=CFB，BM=BCtanCFB=BGCFB=BC因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB平面BCC1B1，所以EM平面BCC1B1（3）如图，连结EH因为MHBF，EMBF，所以BF平面EMH，得EHBF于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM=0因为MBH=CFB，所以MH=BMsinMBH=BMsinCFB解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则所以故共面又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面。（2）如图，设M（0，0，z）则而，由题设得，得z=1因为M（0，0，1），E（3，0，1），有=（3，0，0）又，所以，从而M