微波技术习题解答

微波技术习题解答 第1章 练习题 1.1 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 100 ()。根据给出的已知数据，分 别写出传输线上电压、电流的复数和瞬时形式的表达式：(1) RL = 100 ()，IL = ej0 (mA)；(2) RL = 50 ()，VL = 100ej0 (mV)；(3) VL = 200ej0 (mV)，IL = 0 (mA)。 解：本题应用到下列公式： (1) (2) (3) (1) 根据已知条件，可得： VL = ILRL = 100 (mV)， 复数表达式为： 瞬时表达式为： (2) 根据已知条件，可得： 复数表达式为： 瞬时表达式为： (3) 根据已知条件，可得： 复数表达式为： 瞬时表达式为： 1.2 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 100 ()，负载电流IL = j (A)，负载 阻抗ZL = j100 ()。试求：(1) 把传输线上的电压V(z)、电流I(z)写成入射 波与反射波之和的形式；(2) 利用欧拉公式改写成纯驻波的形式。 解：根据已知条件，可得： VL = ILZL = j ( j100) = 100 (V)， 1.3 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 75 ()，传输线上电压、电流分布表 达式分别为 试求：(1) 利用欧拉公式把电压、电流分布表达式改写成入射波与反射 波之和的形式；(2) 计算负载电压VL、电流IL和阻抗ZL；(3) 把(1)的结果 改写成瞬时值形式。 解：根据已知条件求负载电压和电流： 电压入射波和反射波的复振幅为 (1) 入射波与反射波之和形式的电压、电流分布表达式 (2) 负载电压、电流和阻抗 VL = V(0) = 150 j75， IL = I(0) = 2 + j (3) 瞬时值形式的电压、电流分布表达式 1.4 无耗传输线特性阻抗Z0 = 50 ()，已知在距离负载z1 = p/8处的 反射系数为 (z1) = j0.5。试求(1) 传输线上任意观察点z处的反射系数 (z)和等效阻抗Z(z)；(2) 利用负载反射系数 L计算负载阻抗ZL；(3) 通过 等效阻抗Z(z)计算负载阻抗ZL。 解：(1) 传输线上任意观察点z处的反射系数和等效阻抗 由 (z) = Lej2z 得 因此有 L = 0.5 (z) = Lej2z = j0.5ej2z 由反射系数求得等效阻抗 (2) 利用负载反射系数计算负载阻抗 (3) 通过等效阻抗计算负载阻抗 1.5 无耗传输线的特性阻抗Z0 = 50 ()，已知传输线上的行波比，在 距离负载z1 = p/6处是电压波腹点。试求：(1) 传输线上任意观察点z处 反射系数 (z)的表达式；(2) 负载阻抗ZL和电压波腹点z1点处的等效阻抗 Z1(z1)。 解：(1) 传输线上任意观察点处反射系数的表达式 由电压波腹点处的反射系数为正实数可知 而由 又可知 于是可得 (2) 负载阻抗和电压波腹点处的等效阻抗 由前面计算可知负载反射系数为 因此有 在电压波腹点处 1.6 特性阻抗为Z0的无耗传输线上电压波腹点的位置是z1，电压波 节点的位置是z1，试证明可用下面两个公式来计算负载阻抗ZL： 提示：从中解出ZL，然后再分别代入Z(z1) = Z0 或Z(z1) = Z0k化简即 得证。 证明：由等效阻抗表达式 可解出： 当z = z1时，Z(z1) = Z0 ，所以得： 当z = z1时，Z(z1) = Z0k，所以得： 1.7 有一无耗传输线，终端接负载阻抗ZL = 40 + j30 ()。试求：(1) 题1-8图 要使线上的驻波比最小，传输线的特性阻抗Z0应为多少？(2) 该最小驻 波比和相应的电压反射系数之值；(3) 距负载最近的电压波节点位置和 该处的输入阻抗(等效阻抗)。 解：(1) 要使线上的驻波比最小，传输线的特性阻抗 如果传输线上的反射系数最小，它上面的驻波比就最小。设传输线 的特性阻抗为Z0，根据已知条件，负载反射系数为 令 可得到满足传输线上驻波比最小的特性阻抗，即 Z0 = 50 () (2) 该最小驻波比和相应的电压反射系数之值 (3) 距负载最近的电压波节点位置和该处的输入阻抗(等效阻抗) 在电压波节电处，反射系数为负实数，即 1.8 无耗传输线特性阻抗Z0 = 105 ()，负载阻抗，利用1/4波长阻抗 变换线实现匹配，试求：(1) 变换线 与负载之间连线上的驻波比 ，(2) 在 电压波腹点处进行匹配时连线的长度 l(以线上波长 p计)；(3) 变换线的特 性阻抗Z01；(4) 变换线上的驻波比 。 解：(1) 变换线与负载之间连线上的驻波比 (2) 在电压波腹点处进行匹配时连线的长度 在电压波腹点处有120 2 z = 0的关系，因此有 (3) 变换线的特性阻抗 (4) 变换线上的驻波比 1.9 无耗传输线特性阻抗Z0 = 100 ()，通过1/4波长阻抗变换线实现 了匹配，已知变换线上的驻波比 = 2，变换线与负载之间连线的长度为l = p/12，变换线与负载连线连接处是电压波腹点。试计算：(1) 负载连线 上的驻波比 ；(2) 变换线的特性阻抗Z01；(3) 负载阻抗ZL。 解：(1) 负载连线上的驻波比 由 得 = ()2 = 22 = 4 (2) 变换线的特性阻抗 (3) 负载阻抗 由已知条件可得 从上式中可解出 亦可直接利用1.6题的结果，即 题1-10图 题1-11图 题1-12图 1.10 传输线的特性阻抗Z0 = 300 ()，负载阻抗ZL = 450 j150 ()，工作频率f = 1 (GHz)，如利用 /4阻抗变换器来实现匹配，试求： (1) 变换线的接入位置lL和特性阻抗Z01；(2) 如将变换线直接接在负载与 主传输线之间，则需在负载处并联一短路分支，求短路分支的长度s和 变换线的特性阻抗Z01。 解：(1) 变换线的接入位置和特性阻抗 负载离电压波节点近，因此在波节点接 入，由326.31 2z1 = 180 得 (2) 短路分支的长度和变换线的特性阻 抗Z01 又因为终端短路分支提供的电纳为：， 所以为抵消掉负载的电纳部分，需 此时， 1.11 利用 /4阻抗变换器把ZL = 100 ()的 负载与特性阻抗Z0 = 50 ()的无耗传输线相匹 配，当工作频率为f = 10 (GHz)时，求：(1) /4变换器的特性阻抗Z01和长度l；(2) 能保持 1.25的工作频率范围。 解：(1) 变换器的特性阻抗Z01和长度 (2) 能保持 1.25的工作频率范围 化简可得： tan2( l) 9 |tan( l)| 3 即 tan( l) 3 ( l) 3 ( l) 90 因此有 ( l) arctan3 = 1.249 和 ( l) arctan3 = 1.893 由上面关系以及得 即 7.95 (GHz) f Z0 = 60，因此不能用并联双 短路短截线匹配，调整第1个短路短截线的长度，使s1 = 0.25p，因此它 不起作用。这个分支点处的等效阻抗为 把这个分支点处往负载方向看的等效阻抗看成是负载，就可以用双短路 短截线的匹配方法实现匹配，所需要的两个分支的相对电纳分别为 两个分支的长度分别为 验证(电路图参见教材第34页图1.5-7)： 1.18 如图1.5-8所示，无耗传输线特性阻抗Z0 = 75 ()，电源内阻抗 ZS = 150 j75 ()，通过单短路短截线实现匹配，电源与分支节点的距 离为lS = p/8，短路短截线的长度为s = p/8；负载阻抗ZL = 45 j60 ()，通过1/4波长阻抗变换线实现匹配，变换线与负载连线的长度lL = p/8，变换线特性阻抗为，试证明负载端和电源端实现共轭匹配，主传输 线实现行波匹配；计算各段传输线上的驻波系数。 解：先考察各观察点往负载方向看的等效阻抗。负载反射系数与负 载附近的驻波比分别为 |L| = 0.5 = 270 B点与负载A点的距离，因此B点是电压波节点，等效阻抗为 ZB = Z0k = 75 3 = 25 () B点等效阻抗直接用教科书中第15页(1.3-16)式计算亦可得到上面的结 果。 BC段是1/4波长阻抗变换线，故C点处的等效阻抗为 故TC段主传输线实现行波匹配，从T点往负载方向看的等效阻抗为 ZT = 75 () = Z0 短路短截线支路的等效阻抗为 T点处总的等效阻抗为 电源与T点分支点的距离为lS = p/8故从P点往负载方向看的等效阻抗为 与电源内阻抗成共轭匹配关系。 再考察各观察点往电源方向看的等效阻抗。T点处不包括短路短截 线的等效电源阻抗为 T点处包括短路短截线在内的等效电源阻抗为 电源匹配电路对主传输线实现行波匹配。故主传输线末端C点处的等效 电源阻抗为 ZCS = 75 () B点与C点距离BC = p/4，因此B点的等效电源阻抗为 负载A点与B点的距离为lL = p/8，因此A点的等效电源阻抗为 证毕。 1.19 图1.5-8中无耗传输线特性阻抗Z0 = 100 ()，把图中的P点改为 负载，负载阻抗ZL = 100 + j200 ()，单短路短截线分支点T与负载P的 距离不变只是改用lL = 0.25p表示；A点改为电源，电源内阻抗为ZS = 80 + j60 ()，A、B之间的长度也不变只是改用lS = 0.125p表示，短路 短截线的长度为 。验证主传输线CT段实现行波匹配，电源端和负载端实现共轭匹配； 计算各段 传输线的驻波系数。 解：先负载附近传输线的反射系数和驻波系数 考察各观察点往负载方向看的的等效阻抗。T点处不包括短路短截 线的等效阻抗为 短路短截线支路的等效阻抗为 T点处包括短路短截线在内的等效阻抗为 匹配电路对主传输线实现行波匹配。故主传输线末端C点处的等效阻抗 为 ZC = 100 () 变换线上B点与C点距离BC = p/4，因此B点的等效阻抗为 电源A点与B点的距离为lL = p/8，因此A点的等效阻抗为 B点往电源A点方向看的电源等效阻抗为 由上式可知，B点时电压波腹点。 BC段是1/4波长阻抗变换线，故C点处的电源等效阻抗为 故TC段主传输线实现行波匹配，从T点往电源方向看的等效阻抗为 ZTS = 100 () = Z0 短路短截线支路的等效阻抗为 T点处总的电源等效阻抗为 负载与T点分支点的距离为lL = 0.25p故从P点往电源方向看的等效阻抗 为 与负载阻抗成共轭匹配关系。证毕。 各段传输线的驻波系数(略)。 第2章 练习题 2-1 空气同轴线内、外导体的直径分别为d = 32 mm，D = 75 mm，求：(1) 该同轴线的特性阻抗Z0；(2) 当其内导体采用 r = 2.25的 介质环支撑(如图示)时，如D不变，则d 应为多少才能保证匹配？(3) 该 同轴线中不产生高次模的最高工作频率fmax。 解：(1) 该同轴线的特性阻抗 (2) 介质环支撑该同轴线的特性阻抗 (3) 该同轴线中不产生高次模的最高工作频率 2-2 空气同轴线内、外导体直径分别为d = 3 cm，D = 7 cm，当 其终端接阻抗为Z0 = 200 的负载时，负载吸收的功率为P = 1 W，求： (1) 保证同轴线中只传输TEM模的最高工作频率？(2) 线上的驻波比、入 射功率及反射功率；(3) 若采用四分之一波长阻抗变换器进行匹配，且D 保持不变，则四分之一波长阻抗变换器的内径d应为多少？ 解：(1) 保证同轴线中只传输TEM模的最高工作频率 (2) 线上的驻波比、入射功率及反射功率 因入射波是行波，其振幅处处相等，所以有|Vi(z)| = |Vi(0)|，Pi(z) = Pi(0)，由此可得： 在上式中代入P(z) = 1 W，L = 0.6，得 反射波功率为 (3) 由阻抗变换线的特性阻抗可求得其内径 2-3 某矩形波导横截面尺寸a = 22.86 mm，b = 10.16 mm，波导 内填充相对介电常数 r = 2.1的介质，信号频率f = 10 GHz，求TE10模 的波导波长 g10和相速vp10。 解：与频率f = 10 GHz对应的工作波长和介质中的波长分别为 由矩形波导TE10模的截止波长 c = 2a = 45.72 mm，可求得波导波长和 相速分别为 2-4 已知某矩形波导横截面尺寸a = 22.86 mm，b = 10.16 mm， 空气的击穿电场强度为E击穿 = 3 106 V/m，工作频率为9.375 GHz，求 波导中TE10模不引起击穿的最大传输功率是多少？ 解：矩形波导的工作波长为 不引起击穿的最大传输功率为 2-5 已知空气圆波导的直径为5 cm，求：(1) TE11、TE01、TM01模 的截止波长；(2) 当工作波长分别为7 cm，6 cm和3 cm时，波导中可能 存在的模式；(3) 当工作波长为7 cm时，主模的波导波长 g。 解：几种较低模式的截止波长列表如下 圆形波导各波型模式的截止波长 Hmn(TEmn)模Emn(TMmn)模 模式 c(cm) 模式 c(cm) H11 H21 H01 H31 H12 H22 H02 3.41R = 8.525 2.06R = 5.15 1.64R = 4.10 1.496R = 3.74 1.18R = 2.95 0.94R = 2.35 0.90R = 2.25 E01 E11 E21 E02 E12 2.62R = 6.55 1.64R = 4.10 1.22R = 3.05 1.14R = 2.85 0.90R = 2.25 (2) 工作波长为7 cm时，圆形波导内只能传输TE11模；工作波长为6 cm时，能传输TE11模和TM01模；工作波长为3 cm时，能传输TE11模、 TM01模、TE21模、TE01模、TM11模、TE31模和TM21模。 (3) 当工作波长为7 cm时，主模的波导波长 2-6 已知微带线的参数为h = 1 mm，W = 0.34 mm，t 0，r = 9， 求微带线的特性阻抗Z0和有效介电常数 e。 解：根据和 r = 9.0，由教科书第63页表2.8-1可查得： Z0 = 79.29 ()， 和 2-7 若要求在厚度h = 0.8 mm，相对介电常数 r = 9的介质基片上 制作特性阻抗分别为50 和100 的微带线，则它们的导体带条宽度W应为 多少？ 解：由教科书第63页表2.8-1可查得导体带条宽度分别为： Z0 = 50 ()，r = 9.0时， ， W = 1.0h = 1.0 0.8 = 0.8 (cm) Z0 = 100 ()，r = 9.0时，W = 0.16h = 0.16 0.8 = 0.128 (cm) 2-8 一耦合微带线的参数为 r = 9，h = 0.8 mm，W = 0.8 mm，s = 0.4 mm，求耦合微带线的奇模特性阻抗Z0o和偶模特性阻抗Z0e。 解：由教科书第66页表2.9-3(a) 可查得， r = 9，h = 0.8 mm，W = 0.8 mm，s = 0.4 mm时平行耦合微带线横截面相对尺寸为。在横坐 标的位置上，虚线上面参数的曲线对应的纵坐标为Z0e = 62 ()；虚线下 面参数的曲线对应的纵坐标为Z0o = 39 ()。 2-9 已知耦合微带线的Z0o = 35.7 ，Z0e = 70 ，介质基片的h = 1 mm，r = 10，求W和s。 解：由教科书第66页表2.9-3(b) 可查得，当介质基片的h = 1 mm，r = 10，奇偶模阻抗分别为Z0o = 35.7 和Z0e = 70 时，平行耦合 微带线横截面相对尺寸应为 第3章 练习题 3-1 微波传输线中不均匀性的作用和影响是什么？ 答案详见教科书第74页3.1概论。 3-2 已知波导的宽边尺寸为a = 23 mm、窄边尺寸为b = 10 mm， 工作波长为 = 32 mm，在距离波导口l = 20 mm处放置了三销钉，销 钉直径为r = 1 mm，其后接匹配负载。问三销钉处的反射系数是多 少？波导口处的反射系数是多少？ 解：由已知条件波导横截面尺寸a = 23 mm、b = 10 mm可知，波 导波长为 由教科书中第77页式(2.2-7)，销钉直径为r = 1 mm时等效电路中的并 联相对电纳为 在销钉所在的横截面AA 处总的并联电纳为 YAA = Y0 + jB 而该处总的相对并联电纳为 横截面AA 处的反射系数为 在距离横截面AA 处l = 20 mm的波导输入端处反射系数为 3-3 某矩形波导的尺寸为a b = 2.3 1.0 (cm2)，其中装有一谐振窗， 信号频率为f = 10 GHz。试求：(1) 若窗口没有填充介质，且b = 0.8 cm时，a = ?；(2) 若窗口填充 r = 1，r = 2的介质，且b = 0.8 cm 时，a = ?。 解：由已知条件可知，矩形波导的工作波长为 由题意可知，谐振腔的短波导与主波导的特性阻抗应该相等，即， 因此有 整理上式可得 (1) 窗口没有介质时，相对介电常数为 r = 1.0，因此谐振窗口的宽 度为 (2) 窗口有介质时，相对介电常数为 r = 2.0，因此谐振窗口的宽度 为 3-4 试画出图中所示微带电路的等效电路。 解：图中所示微带电路的等效电路如下图所示。 题3-4的等效电路 第4章 练习题 4-1 有一矩形谐振腔(b = a/2)，已知当f = 3 GHz时它谐振于模； 当f = 6 GHz时它谐振于模，求此谐振腔的尺寸。 解：由于波导中传输非色散波，由教科书第85页式(4.2-5)可知，非 色散播的谐振波长为 对于矩形波导，传输模的截止波长为 因此，矩形波导的谐振频率可按下式计算 已知当f = 3 GHz时它谐振于模，即 当f = 6 GHz时它谐振于模，即 由上面两式可得 于是可解得 = 8.16 (cm)， a = 6.32 (cm)， b = 0.5a = 3.16 (cm) 4-2 一空气填充的矩形谐振腔尺寸为3 1.5 4 cm3。求：(1) 当它工作 于模时的谐振频率；(2) 若在腔中全填充某种介质后，在同一工作频率 上它谐振于模，则该介质的相对介质电常数为多少? 解：(1) 当它由空气填充 r = 1、工作于模时的谐振频率为 (2) 当它由介电常数为 r 的介质填充、工作于模时的谐振频率不 变，即 从上式中可解出介质的相对介电常数为 4-3 有一半径为R = 3 cm，长度分别为l1 = 6 cm和l2 = 8 cm的两 个圆柱腔，求它们的最低振荡模的谐振频率。 解：(1) l = l1 = 6 cm时，l 2.1R，最低振荡模式为模，其谐振波长 为 相应的谐振频率为 4-4 已知圆柱腔的半径为R = 1.5 cm，对同一频率谐振于模时比模 时的腔体的长度多 2.32 cm，求此谐振频率f0。 解：由已知条件可知，模时比模的谐振波长相等，腔体的长度关系 为l = l + 2.32，因此有 从上式中可以看出，2l = l + 2.32，于是可知模的腔体长度为 l = 2.32 (cm) 模时比模的谐振波长为 由上式可求得谐振频率为 4-5 一个半径R = 5 cm，长l = 10 cm的圆柱形谐振腔，试求其振 荡于最低振荡模时的谐振频率；若腔 体用电导率 = 1.5 107 s/m的黄铜制作，试求出其Q0值。(已知) 解：由已知条件可知，腔体长度l 2.1R，因此最低模式为模，其 谐振波长和谐振频率分别为 由已知条件可知，黄铜的电导率和磁导率分别为 = 1.5 107 (S/m) 和 0 = 4 107 (H/m) 趋腹深度(穿透深度)为 于是，可求得谐振腔的品质因数为 4-6 如图所示一尺寸为2.3 1.0 cm2的矩形波导传输波，与一半径为R = 2.28 cm的圆柱形波长计耦合，今测得调谐活塞在相距d = 2.5 cm的 位置、上分别对和模谐振。求：(1) 腔的谐振波长 0以及波导的工 作波长 和它相应的波导波长 g各为多少？(2) 如波导传输的信号波长变 为 = 2.08 cm，问活塞在I处是否还能谐振？若能，是什么模式? 解：(1) 腔的谐振波长 0以及波导的工作波长 和它相应的波导波长 g 调谐活塞在位置、处，即腔长分别为l和l = l + d两种情况 下，源送来的信号频率f是不变的，所以谐振波长也是一定的，故有： 由上式可知2l = l d，因此有 l = d = 2.5 (cm) 于是可求得模的谐振波长为 波导和谐振腔由空气填充时，波导的工作波长与谐振腔的谐振波长 相等，即 = 0 = 3 (cm) 因此，矩形波导的波导波长为 (2) 波导传输的信号波长变为 = 2.08 cm，活塞在I处是否还能谐振 以及谐振的模式