数模引言线性非线性-1_3.pptx

,数学建模河海大学理学院丁根宏,引言本章主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，给读者以建立数学模型初步的了解。,一、从现实对象到数学模型原型和模型原型（Prototype）指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型（Model）指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替代物。注意：为了某种目的构造模型，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。,模型的分类直观模型（如实物、玩具、照片）物质模型（形象模型）物理模型（为了模拟实验）模型思维模型（经验形式）理想模型（抽象模型）符号模型（如地图、电路图、分子式）数学模型（由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式，图形或算法）,模型的定义所谓数学模型是指对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。,建立数学模型的过程数学模型是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实。数学模型经过演绎、推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过解释，回到现实世界，最后，这些分析、预报、决策或控制必须接受实际的检验，完成实践理论实践这一循环，如果检验的结果是正确的或基本正确的，就可以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译，归纳的过程，修改数学模型。,1,数学建模流程图,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答（分析、预报、决策或控制）,表达（归纳）,解释,验证,求解（演绎）,二、国外数学建模情况（国外从70年代初）1、教学课程、教材1978年由Springer出版，国防科大翻译ModelinginAppliedMathematics共4卷EllisHarwoodMathanditsApplicationKaporMathematicalModeling数学国际会议，1983年起，会议录由Harwood出版竞赛,国外数学建模情况2、科研会议1977数学和计算机建模国际会议期刊MathematicalandcomputerModeling年刊AppliedMathematicalModelingSIAMReview、SIAMNewsJ.ofMathematicalModelingforTeacher,三、国内数学建模发展的情况国内从1983起，先驱有肖树铁、叶其孝、姜启源等我国从1991年在上海等地区开展数学建模竞赛的工作，1992年起由中国工业与应用数学学会主办全国大学生数学建模竞赛，从1994年起由政府国家教委（现为教育部）下达文件在全国高校中开展数学建模竞赛。,我校数学建模发展的情况我校从1993年起每年都参加全国大学生数学建模竞赛，并取得了较好的成绩。,四、数学建模发展迅速的主要原因1、花费少、设备少、周期短2、许多问题的解决只有建模是唯一途径（如太阳表面温度、人体血液总量等）,2,数学建模发展迅速的主要原因3、以前发展慢的原因、计算工具（如计算机速度慢、编程的复杂、不能解决符号的运算、图形学的问题），而今高速、小型、智能、廉价计算机的出现使数模发展迅速，注意数学建模的美国五大工业：汽车、计算机、石油、飞机工业、机器制造,五、建立数学模型的方法和步骤1、方法上大体分为两大类机理分析：是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映机理的规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可测量系统的输入（出）数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识（SystemIdentification）。,建立数学模型的方法和步骤2、建立模型的大体过程模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息和统计数据等，弄清实际对象的特征，由此初步确定用哪一类模型。模型假设：根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的合理的简化，并用精确的语言做出假设，这是关键的一步。,建立数学模型的方法和步骤模型构成：根据所作假设，利用适当的数学工具，构造各个量之间的关系或其它数学结构，这里除需要上些相关学科的专门知识外，还需要较广阔的应用数学方面的知识。模型求解模型分析模型检验模型应用,建立模型过程,模型应用,模型求解,六、建模示例例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？现实生活中，把椅子往不平的地面上一放通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。,3,模型假设：1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有象台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。,模型构成：建立模型的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。注意到椅子四脚连线呈正方形ABCD。中心点为O，椅子绕O点转动时，对角线AC与X轴的夹角来表示椅子的位置，“着地”就是椅脚与地面的距离等于0.,y,x,CC,AA,B,DD,B,o,模型构成：距离是的函数，记A、C两脚与地面距离之和为g()，B、D两脚与地面距离之和为f()，不失一般性，可设g(0)=0，注意到椅子在任何位置总有三只脚可以着地，即对任意，f()和g()中总有一个为零，则“稳定的椅子”可归结为下面的数学问题：,模型构成：假设：f()、g()是的连续函数，g(0)=0，f(0)0，且对任意，f().g()=0求证：存在0，使f(0)=g(0)=0证：令h()=f()-g()则h(0)0,h(/2)ui交易费=piuixiui,而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi3要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:n目标函数约束条件4.模型简化：,MAX(ripi)xii0MINmaxqixin(1pi)xi=Mi0,xi0i=0,1,n,c投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。,因此对风险、收益赋予权重s（0s1)，s称为投资偏好系数.n模型3目标函数：minsmaxqixi-（1-s）(ripi)xii0n,约束条件,(1pi)xi=M，xi0i0,i=0,1,2,n,b若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2固定盈利水平，极小化风险目标函数：R=minmaxqixin约束条件：(ripi)xik，i0,(1pi)xiM，xi0,i=0，1，n,a在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/Ma，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型1固定风险水平，优化收益n目标函数：Q=MAX(ripi)xii0,约束条件：,qixiaM(1pi)xiM，xi0i=0，1，n,四、模型1的求解模型1为:minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0 x1x2x3x4)Tx0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1s.t.0.025x1,aa0.055x3a0.026x4a,0.015x2,xi0(i=0,1,.4)由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：,11,a=0;while(1.1-a)1,A=00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)，axis(00.100.5)，holdon,a=a+0.001;endxlabel(a),ylabel(Q),ToMatlab（xxgh5）,a=0.0200 x=00.80000.18820a=0.0400 x=0.00000.99010.00000,00,Q=0.2518Q=0.2673,计算结果：,五、结果分析1.风险大，收益也大。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度收益x0 x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.2212,实验作业,某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料多获利1万元,问应否改变生产计划.,第5章无约束优化3.1预备知识一、问题的提出例选址问题：某市燃气公司计划要建一个煤气供应站，该站要向城市中有固定位置的m个用户供货。对于选定的坐标系而言，煤气供应站与煤气厂其坐标为(0,0)相距不能超过20km，已知第i个用户的位置（坐标）为（ai,bi），i=1,m，如果只考虑直线距离，问如何确定这个煤气站的位置，才能使总的运输距离最短？,问题的提出解：设煤气站的位置为（x1,x2）即求：m,s.t.x2x2202,12,i1,2,1i2i,2,minf(x1,x2)(xa)(xb),12,一般形式：,XR其中R=gj(X)0,j=1,2,m分类：线性规划，二次规划，非线性规划等非线性规划又可分为无约束非线性规划，有约束非线性规划。,minf(X),minfXXEn其中f:EnE1,标准形式：,求解无约束最优化问题的基本思想,求解的基本思想(以二元函数为例),x1,x2,f(x1x2),0,x1,2,x,0,35,1,0,X,X1,X2,f(X0)f(X1)f(X2),连续可微,maxfX=minfX,XEnXEn,多局部极小,f0.298,f0,f0.298,唯一极小(全局极小),12112212,2,2,f(xx)2x2xxx3xx,二、非线性规划的图示,例1,minf(X)(x2)2(x2)212h(X)x1x260,三、极值问题局部极小点，全局极小点,13,四、极值点存在的条件定理1（必要条件）f(X*)0定理2（充分条件）Z0,ZTH(X*)Z0,则x*为f(x)的严格局部极小点。,五、凸规划,XR其中R=gj(X)0,j=1,2,m，这里f(X)为凸函数，gj(X)为凹函数。可以证明：上述R为凸集，其局部最优解X*即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集，当凸规划的目标函数f(X)为严格凸函数时，其最优解必定唯一。,minf(X),3.2无约束非线性规划一、下降算法先给定一个初始估计X(0)，找X(1)，使f(X(1)0，取=0.618，k=0(2)若,则停止，x*a,b；否则转(3),kk,(3)计算sk=ak+(1-)(bk-ak)tk=ak+(bk-ak)及f(sk),f(tk)(4)若f(sk)f(tk)，取ak+1=sk,bk+1=bk,sk+1=tk,f(sk+1)=f(tk),求tk+1=ak+1+(bk+1-ak+1)及f(tk+1)若f(sk)64,1in-1i+1jn,0tminTi,Tj,Ti,Tj分别表示两架飞机飞出区域边界的时刻。|i|/6,i=1,2,6xi(t)=xi(0)+800cosi,i=1,2,6yi(t)=yi(0)+800sini,i=1,2,6i=i0+i,i=1,2,6,关于目标函数的讨论第