托勒密定理及其应用

解 ? ? ? 。扩 一 “ 。口办 一 ?一 。“双于以了 ? 一 ? 气 ? , 。“。“? 二, 。, 。, 一?二 , ? 一奋。, 。一 ? 原不等式化为 二?一二一? ? ? ? ? 解之 , 得 二? 一?舍去?及? ? 所以 , 原不等式的解为? ? ? 例? ? 解方程 ? 。? 一 ? ? “?二 ? 。? 解 ? , ? ? “?。二 ? ?, ?, 则 ? ? ? 。? ? ?一? ? ? ,。 ? ? ? ? 有 二艺一? ? ? 解之 , 得 “? 一? , 为 “? ? ? ? , 得 月召 ? ? 厅 ? 月? ? ? ? ? 尸? ? ? 月 ? ? ? ? 证 法二 ? 如 图二 , 作乙 ?二匕? ? 使边月 ?与? ?的延长线 交于尸点 , 因? ? ? 为 圆的内接四边形 ? ? ? 匕?艺? ? 于是 ? ?尸? ? ? , ?尸?月尸 ? 即 ? ? ? ?二? ? ? ?尸 ?图习 ? ? 例? ? 解方程? ? , ? 。? ? ? ?飞一?一二 ? 解 ? , ? ? ? ? ? ? 二? ? 公 ? ? ? 。? ? ? ? 即器一 器 , 又乙尸, ?一 “ ,。 ? ? ? ? ?。? 刀 ? , 得? ? ? ? ?尸 ? 由? 一? , 得 ? ? ? ?一 ?厅 ?二 ,? ? ? 尸一? 尸? ? 。 召? ? ? 忱? 一? ? ?“ ? ? ? ? 二, ? ? 一 劣? ? ? ? 原方程化为妒? ?一 , 即 劣? 一? ? ? 解之 , 得 ? ? ? ?一? , 丸? ? , ?圈三? ? ? 托勒密定理及其应用 广西 德保一中叶 添善 新编初中数学 几何 第二册复习题五第? ? 题 。 求证 ? 在圆内接四边 形? ? 中 , ? ? ? ? ! ? ? 一 月 ? ? ? 这是著名的托勒密? 尸? ? ? ? , 公元二世纪 古希腊数学家 、 星 学家兼地里学家 ? 定理 ? 本文 就定理的证 明和在解题中的应用 , 举数 例供参 即 月 ? ? ? ? ? 月 刀 ? ? ? 证法三 ? 利用余弦定 理 , 如图三 , 设班? ? , ? , ? ? ? , ? ? ? , 月?二劣 , ?“? ? 在? ? 和月?中 , 由余弦定理得 ? ? ? ? ? ? ?一? ? ? ? ? ?“? ? ? ? ? 劣? ? 艺? ? ? 一? ? ? ? 由? ? ? ? , 得 ? ?二 ? ? ? ? ? ?“? ? ? 么? ? ? ? ? ? ? ? ? , 得 ? ? “? 。? ? 。? , 一 ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 乙 ? ? ? ? ? ? ? “? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 考 ? 证法一 ? 在? ?上找一 点尸 , 如图一 , 使乙 ? 乙? ? 于是在? ? 尸和? 、 中 , 因匕?艺? , 匕?二乙? , ? ? A B PA C D , - _ 画 “ 火 二夕 “ 即 同理 二: 之兰共舞黔竺 ; , ! 一 丝镖琴 黔 丝乞 则 _.,_ , _( a d + b e ) ( ea +bd) ( a b+ c d) ( ea +bd ) 、 一y 一 一甲面拜瓦叭丽干瓦厂一 。 . 比A B _ B尸 圈为灭万万顶. (图一, , 即A B CD二月 C BP 同理 城D 尸 A C B .得 B C .A D =月C 。 尸D l= (ca+ b d )“ . 即 劣 y = ca + bd . . AB C D+BC . AD一 A C oB D . 下面举几个例子 , 浅谈托勒密定理在解题中 的应用 。 37 例1等腰梯形滩BC刀中 , 月B / / C D , 刁 C是对角线 , 求证 : A C .= A D Z+ A B .C 刀 . 证明 (一)利用证法 在A C上取一点尸 , 使匕1= 艺2 , 如图四 . , . AB / / C D , . 艺3=艺4 , 则B A 尸。A C D 昌 , , 的根 . 证明:设A B = a , AD= b , C D 二 。, 图 的 直径B C 二 d , 如图 七. 连对角线A C和B D . 得 b d 由托勒密定理 , A C o B D = ac + 煮飞 叮甲一几-一 一c 、/ 图 、一/ , 七 图四 又A C =亿d , 一 a, , BD= 了 d “一c忿 。 AB_A尸 ”又亡一万西 . . 即A C .A 尸= A B oC D , . A B CD 为等腰梯形 , 得艺B AD = 匕A B C . . 匕3=匕5 , 又艺AC B =匕B C尸. . 刀 B C。B 尸C 。 BC . 尸 C 即 月 C .尸 C = B C “, . AC o PC=AD , 由+ , AC 订 月尸+ 尸C )= A D , + AB CD . .A C 2 =月刀 含 + 月 B oC D. (二 ) 利用托勒密定理来证 , 较简捷 . , . A BC D 是等腰梯形 , .A BCD必内接 于 一圆O , 如图 五 , 连 B刀 . , . A D=BC , 代入得 : 。 。+ 有 d=了 少一 “ 侧少一 “, 两边平方得(ae+ bd ) 乞 =( d Z 一a “ )( d , 一 ,e ) 整理得d ”一 (a+ b + e ) d一Zabe=o 由知 , 直径B C = d是方程 x一 (a +b + C么)一ZabC一 o 的根 例 4 已知尸是正三角形AB C外接圆B C 上一点 , 连尸A , 尸B , 尸C , 求证 : 尸A “ =AB Z 十尸B 尸C 扒盆 证明:如图八 , 由托 / / l 勒密定理得 / l 、 尸A oB C 月 B 。 尸C + !/l l , 二 一 。、一二。 名 。 t11 一尸刃 C 一 沙尸 。 DD 、 /月卜产洲乡口 图 “A “ 一“ c一 c 川 已 、七夕 八 .尸 A P C + 尸 B . p C一AC一B 一一 图 五 AC BD . 由托勒密定理 , 得 A C oB D= AD .B C +A B oC B, 即月C =AD 艺 +AB 一 C D . 例:设尸为正五边形A B c刀的 外接圆汤 两边平方得 : 尸A Z 尸C Z+ 尸B 艺 + 2尸C .尸B = B C Z+ 2尸C 尸B oo : 匕B 尸C +2尸 C 尸B 二刀 e :+ 2尸e . 尸刀 (一 冬 )+2 尸e .尸 厅 一 一 一-一 - 一 “ 2 一- 一 一 =BC Z +尸 C 尸B 即尸A := A B忿 +尸B 尸C . 例 5 设过 B 和C D为圆O的任意两条定直 图九 卿 上一点 , 求证 : 尸A+尸C + 尸E 尸B + 尸 D . 证明:如图六 , 设正五 边形A B CD E 边长为叮 , 对 角线长为m . 在圆内接四边 形尸 A B D 中 , 由托勒密定理得: 喂 , 尸为圆周上任一点 , 尸M 一上 妊B于M , 而 尸N 上C D于N , 求证 万N为定长 . 证明:如图九 , , . 尸M 上A B , 尸N . 上CD . 匕尸M O = 匕尸N O =9 0 。 图六 尸 B 。 刃 D 一 尸A .B D + 月 B 尸D . 即尸 B 。 =尸A m +尸D a 同理 , 在圆内接四边形尸B CD和尸B D E 中 , 得尸B a +尸D a =尸C 。 , 尸 D 。 =尸E 川+尸B 。 困 + , 得 (尸B + 尸D)川=(尸A + 尸C + P E )川 . .尸A +尸 C +尸E=尸B + P 刀 . 例 3 设圆O的内 接四边 形A B C D的 一边 B C 为圆的直径 , 其余三边为 a , b , C , 试证这 圆的直径是方程 二3一 (a 忍 +b , + e 名 ) 二一 2。b = o . 尸 、 M 、 O 、 N四点共 圆 . 连尸O , 由托勒密定理 , 得 MN 尸O =O M 尸N+ ON 尸M 设圆0的半径为R , 乙月O D 二a , 乙月O 尸 =日 . 则 OM= R eosp , P M =R s n日 , O