数学建模 小区停车位分布的合理性研究

小区停车位分布的合理性研究小区停车位分布的合理性研究 摘要摘要 本文研究小区停车位分布合理性的问题， 建立了评判车位分布合理性的层次 分析模型，对该小区的车位分布进行了合理的评判，并结合本小区情况，重新设 计出一个更加适合车位分配方案。 针对问题一：建立合理的评价体系，关键在于选取合适的评价指标。我们利 用层次分析模型建立了评判车位分布合理性的模型： 将选择位置分布良好的车位 作为目的,也就是该模型中的目标层,将车位距离楼梯口的距离、 车位距离小区出 口的距离、车位停车的难易程度和车位对小区居民的影响作为评价的指标，也就 是该模型的准则层，将不同的车位分布作为措施层。 针对问题二：在分析评价指标时，我们采用了模糊数学模型，将定性的变量 改为定量描述，划分了不同的标度。在分析距离指标时，我们采用了图论中的最 短路径算法。我们在分析车位的位置时进行了简化，对车位进行了划分，同一个 区域的车位，我们认定其各方面指标相近。我们代入数值得出不同层次的判断矩 阵，写入 excel 文件中，随后利用 matlab 编程，写出层次分析模型的算法，将 excel 表格中的判断矩阵依次输入 matlab 程序中，计算出准则层权值，最后利 用公式计算出层次总排序并进行一致性检验。 最后对小区的车位各区分布合理性 做出排序。 针对问题三：我们对不同住户到车位的距离采用了图论中的最短路径算法 关键词：车位分布 层次分析 评价体系 权值 二二 问题的提出问题的提出 随着现代社会经济的快速发展，房地产成为国家经济发展中重要的经济增长 点之一。而小区内汽车停车位的分布对于小区居民的上下班出行影响很大。请建 立数学模型，解决下列问题： 问题 1：分析评判小区汽车停车位分布是否合理的几个关键指标，建立评判 车位分布合理的数学模型。 问题 2：附件 1 是某小区的汽车停车位分布方案，请用问题 1 的模型评价 此种车位分布的合理性，为什么？ 问题 3：请根据你们关于车位分布合理性的指标和评判模型，重新为附件 1 中的小区车位进行分配，给出最优分配方案。 相关说明： 房间标号规则为：每栋楼分 2 个单元，东侧为 1 单元，西侧为 2 单元； 每个单元两户，东户尾号 01，西户尾号为 02； 房间标号为：楼号-单元号-楼层号 户号； 例如： 7-2-2002，表示的是 7 号楼，20 层，2 单元西户。 三三 问题的分析问题的分析 题目要求的是建立评判车位分布合理的数学模型，这就涉及到评判指标的确 定。 我们要考虑车位分布对用户使用的便捷，也要考虑车位的存在对住户生活的 不便，这样才能综合评判车位分布的合理性。 对于问题一，建立合理的评价体系，关键在于选取合适的评价指标。关于车 位分布对用户使用的便捷，根据调查，我们认为用户从楼梯口到达车位的步行距 离越短越好，用户的车位距离小区出口的路程越短越好，车位越容易停车越好； 关于车位的存在对住户生活的不便，这里我们考虑车位距离居民楼越近，车辆产 生的噪音对小区居民的生活影响越大， 且车位距离楼梯口越近可能在不同程度的 上对小区居民的步行出入产生影响、也是交通事故发生的潜在危险，在这里我们 统一将这两点因素简化为车位距离小区楼梯口的问题，距离越远越合理。我们利 用层次分析模型建立了评判车位分布合理性的模型： 将选择位置分布良好的车位 作为目的,也就是该模型中的目标层,将车位距离楼梯口的距离、 车位距离小区出 口的距离、车位停车的难易程度和车位对小区居民的影响作为评价的指标，也就 是该模型的准则层，将不同的车位分布作为措施层。 对于问题二，要求我们对附件 1 中的小区车位分布做出评判，该小区居民楼 附件分布了 136 个停车位，我们给 136 个车位进行了编号,并认为每个车位具有 其唯一性,所以每个停车位在评标指标上的标度也是唯一的。此外，对车位停车 的难易程度和车位对小区居民的影响这样的定性指标，我们根据模糊数学模型， 对其进行量化，根据 Saaty 等建议，我们引用数字 19 及其倒数作为标度，表 1 列出了 19 标度的含义。 根据问题一中建立的评判车位分布合理性的层次分析 模型，将该小区的实际车位情况代入该模型中，并写出各个层次的判断矩阵，进 行一致性检验，利用 matlab 程序计算出各个准则层权值，最后根据公式计算出 各个区域的层次总排序，即对小区的车位分布合理性做出评判。 对于问题三，题意为：在不改动当前小区车位布置的情况下，给每个住户重 新分配车位，给出最优分配方案。给住户分配车位，要考虑公平性，住户最想要 的车位是距离自己最近的、距离小区出口最近的、最容易停车的，但是在考虑到 公平性的前提下，我们要使每个住户的满意度相近，即其车位在考虑多方面指标 之后的评分是相近的。在问题三中，每一个停车位到楼梯口的距离、到小区门口 的距离、停车难易程度、对小区居民的影响这四个指标是确定的，我们再根据层 次分析模型，对车位本身的好坏进行排序并用综合得分的形式体现，这样就将四 个指标简化为一个指标来表示一个车位的合理性。此外，每个住户从家门口到楼 梯口的距离也是确定的，距离越远则该住户越需要一个距离楼梯口近的车位、一 个相对高品质的一个车位， 距离越近，则该住户对车位的品质和车位到楼梯口的 距离要求则相对越低。 我们将 136 个住户和 136 个具有确定综合得分的车位进行 优化组合配对， 把综合得分最高的车位分配给距离楼梯口最远的住户，把综合得 分第二高的车位分配给距离楼梯口第二远的住户，以此类推倒序相加， 使每个住 户在家门口到楼梯口的距离这一指标上的标度与车位的综合得分相加后，136 对 数据的综合尽量接近，即对其分配的车位满意度相近。 四四 符号的说明符号的说明 A目标层，即选择位置分布良好的车位 B1准侧一，楼梯口到停车位的距离 B2准侧二，停车位到小区出口的距离 B3准侧三，该停车位停车的难易程度 B4准则四，该停车位对小区居民的影响程度 B5准则五，住户从家门口到楼梯口的距离 C1C136小区停车位的编号 B 层各因素的层次总排序权重 A 层各因素的层次总排序权重 五五 模型的假设模型的假设 小区的出口只有一个且已经确定 该小区仅一栋楼，即蓝色线条所围部分 停车场为地上停车场，且有围墙 停车位的规格已经确定（5mX2.5m） 六六 模型的建立与求解模型的建立与求解 1 1 问题一问题一的求解的求解 评价体系的建立: 要建立一个合理的评价体系，关键是选取合适的评价指标。 1.1 1.1 指标的确立：指标的确立： 要想获得合适的指标，首先要明确建立模型所要达到的目的，从而提取出最 能反映问题解决的优劣的指标。我们研究的对象是车位分布的合理性,那么要考 虑车位分布对用户使用的便捷，也要考虑车位的存在对住户生活的不便，这样才 能综合评判车位分布的合理性。关于车位分布对用户使用的便捷，根据调查，我 们认为用户从家门到一楼楼梯口的时间越短越好,从楼梯口到达车位的步行距离 越短越好，用户的车位距离小区出口的路程越短越好，车位越容易停车越好；关 于车位的存在对住户生活的不便，这里我们考虑车位距离居民楼越近，车辆产生 的噪音对小区居民的生活影响越大， 且车位距离楼梯口越近可能在不同程度的上 对小区居民的步行出入产生影响、也是交通事故发生的潜在威胁，在这里我们统 一将这两点因素简化为车位距离小区楼梯口的问题，距离越远越合理。综合考虑 这五项指标,对模型进行评价。 1.2 1.2 指标具体的评价方法指标具体的评价方法 根据模糊数学思想，我们将定性个指标根据 Saaty 等建议，我们引用数字 19 及其倒数作为标度，表 1 列出了 19 标度的含义。 表 1 标度的含义 在关于停车位的分布合理性问题中，我们从如下几个方面考虑标度： 1) 从楼梯口到车位的距离越短，我们认为其在车位分布的评价中越重要 2) 从车位到小区门口的距离越短，我们认为其在车位分布的评价中越重要 3) 车位越容易停车，我们认为其在车位分布的评价中越重要 4) 车位对小区居民的影响越小，我们认为其在车位分布的评价中越重要 5) 从家门到楼梯口的时间越短，我们认为其在车位分布的评价中越重要 对以上指标，我们分别根据专家评价、以及 排名确定其标度，最重要的标 度为 9，越不重要的标度为 1。 以上五个指标，代表层次分析模型中的准则层。根据专家评价，我们认定准 则层的五个指标的标度分别为： 方案层的标度只有在确定的情形下才能确定。 当准则层和方案层的每个数据的标度都确定以后，我们要分别根据层次分析 模型写出其判断矩阵，并对判断矩阵进行一致性检验；再根据计算公式， ，i=1，n。计算出准则层的 5 个指标的权值，以上得到 B 层各指标的层 次总排序权重之后，根据总标度的高低，得出层次总排序，即车位分布的合理性 评价，总标度越高代表越合理，反之越不合理。 2 2 问题二的求解问题二的求解 问题二中给出了具体小区的 136 个汽车停车位分布方案， 根据问题一中建立 的评判车位分布合理性的层次分析模型， 首先我们需要具体地对其在楼梯口到停 车位的距离、停车位到小区出口的距离、该停车位停车的难易程度、该停车位对 小区居民的影响程度、 住户从家门口到楼梯口的距离这五个指标上具体的标度进 行判定。 然后根据问题一中建立的评判车位分布合理性的层次分析模型的算法算 出最终的排序，也即车位分布合理性的评价。 2.1 模型的建立 附件中给出了小区136个停车位的具体位置和它所对应的住户信息，我们重 新给这136个车位进行了编号以方便我们进行后续讨论， 具体的编号情况见图一。 2.1.1 指标1：楼梯口到停车位的距离 从楼梯口到每一个停车位的距离都是唯一的，并且从楼梯口到每一个停车位 只有一个最短路径，我们需要用这个最短路径来说明这个指标。根据图论中的最 短路径模型，我们将 136 个停车位和楼梯口都简化为点，而它们之间的路线简化 为边，在附件的图上我们可以算出每一个边的长度，把这个长度简化为权，然后 根据 Dijkstra 算法，通过 matlab 编程，求出网络最短路，也就是楼梯口到每个 停车位的最短距离。数据见表格 1。程序见附录。 在算出楼梯口到所有的停车位的距离后我们对这些距离进行由高到低的排 序，并将这 136 个数据平均分成九组，利用标度 19 来评判这个指标。 2.1.2 指标2：停车位到小区出口的距离 从停车位到小区出口的距离都是唯一的，并且从每一个停车位到小区出口只 有一个最短路径，我们需要用这个最短路径来说明这个指标。根据图论中的最短 路径模型，我们将 136 个停车位和小区出口都简化为点，而它们之间的路线简化 为边，在附件的图上我们可以算出每一个边的长度，把这个长度简化为权，然后 根据 Dijkstra 算法，通过 matlab 编程，求出网络最短路，也就是楼梯口到每个 停车位的最短距离。数据见表格 2。 在算出所有停车位到小区出口的距离后我们对这些距离进行由高到低的排 序，并将这 136 个数据平均分成九组，利用标度 19 来评判这个指标。 2.1.3 指标3：停车位停车的难易程度 在具体问题中，根据相关文献和社会调查，我们考虑到停车位位于墙角则不 便于停车；停车位两侧都有停车位则不便于停车；停车位对面有停车位则不便于 停车 等等，这是个定性的量，运用模糊数学的思想，我们在这个指标上同样 用19来体现，数字越大则越容易停车，相对来说这个车位的品质越高。 对于附件中的小区136个停车位的具体位置，我们逐一给出了其标度，数据 见表3。 2.1.4 指标4：停车位对小区居民的影响 在具体问题中，根据相关文献和社会调查，我们考虑到停车位距离居民楼越 近， 车辆产生的噪音对小区居民的生活影响越大，且车位距离楼梯口越近可能在 不同程度的上对小区居民的步行出入产生影响、也是交通事故发生的潜在危险， 在这里我们统一将这两点因素简化为车位距离小区楼梯口的问题， 距离越远越合 理，我们在这个指标上同样用19来体现，距离越近对小区居民的影响越大则标 度越小，相对来说这个车位的品质越低。这个距离与指标1中的距离完全相同， 但是标度与指标1正好相反。 对于附件中的小区136个停车位的具体位置，我们逐一给出了其标度，数据 见表4。 2.1.5 指标5：从家门到楼梯口的时间 住户从家门口到楼梯口的距离由两部分组成，一是所在楼层到一楼的垂直距 离，二是住户从家门口到所在楼层电梯口的水平距离。经过查阅相关规范，我们 可以得知走廊的长度，将长度除以人步行的速度得到时间1；还可以得知楼层的 层高和电梯的下降速度， 将层高累计所得的垂直距离除以电梯下降速度得到时间 2。将时间1加上时间2得到一个总时间，即用户从家门口到电梯口的总时间。我 们将136位住户从家门口到电梯口的总时间算出来，进行由大到小的排序，再分 均分成9个层次，从大到小赋给标度19，这是其在分配车位时至关重要的一项指 标。数据见表5。 2.2 模型的求解 我们已经确定了准则层的五个指标的标度，五个指标在方案层的标度也已经 确定了。至此我们开始对评判车位分布合理性的层次分析模型的求解。 2.2.1 构造判断矩阵 首先， 我们分别将五个指标的判一个136断矩阵写出来。 具体的操作方法是， 创建一个136X136的矩阵， 第一列为136个车位的标度分别除以第1个车位的标度， 第二列为136个车位的标度分别除以第2个车位的标度，第三列为136个车位的标 度分别除以第3个车位的标度，以此类推，就创建了