数学分析课后习题答案18.4

1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： （1）,),( 22 yxyxf+=若; 01=+ yx （2）,),(tzyxtzyxf+=若 4 cxyzt =（其中0, 0,ctzyx） ； （3）xyzzyxf=),(，若0, 1 222 =+=+zyxzyx. 解 (1)设) 1(),( 22 +=yxyxyxL对 L 求偏导数,并令它们都等于 0,则有 =+= =+= =+= . 0 1 , 02 , 02 yxL yL xL z y x 解之得 . 1 , 2 1 =yx由于当yx,时, f.故函数必在唯一稳定点处 取得极小值, 极小值. 2 1 ) 2 1 , 2 1 (=f (2)设)(),( 4 cxyzttzyxtzyxL+=且 = =+= =+= =+= =+= , 0 , 01 , 01 , 01 , 01 4 cxyztL xyzL xytL xztL yztL t z y x 解方程组得. ctzyx=由于当 n 个正数的积一定时,其和必有最小值,故 f 一定存在唯 一稳定点(c, c ,c, c)取得最小值也是极小值,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c . (3)设)() 1(),( 222 zyxuzyxxyzuzyxL+=,并令 =+= =+= =+= =+= =+= , 0 , 01 , 02 , 02 , 02 222 zyxL zyxL uzxyL uyxzL uxyzL u z y x 解方程组得zyx,的六组值为: = = = 6 2 6 1 6 1 z y x , = = = 6 1 6 1 6 2 z y x , = = = 6 1 6 2 6 1 z y x , = = = 6 2 6 1 6 1 z y x , = = = 6 1 6 2 6 1 z y x = = = 6 1 6 2 6 1 z y x . 又xyzzyxf=),(在有界闭集 0, 1| ),( 222 =+=+zyxzyxzyx 上连续,故有最值.因此,极小值为 , 63 1 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 () 6 2 , 6 1 , 6 1 (=ff 极大值为 . 63 1 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 () 6 2 , 6 1 , 6 1 (=ff 2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。 解： （1）设长方体的长、宽、高分别为zyx,，表面积为)0( 2 aa， 则体积为xyzzyxf=),(，限制条件为 2 )(2axzyzxy=+。 设)(2),( 2 axzyzxyxyzzyxL+= 并令 =+= =+= =+= =+= , 0)(2 , 0)(2 , 0)(2 , 0)(2 2 axzyzxyL yxxyL zxxzL zyyzL z y x 解得 6 a zyx=。 因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值 66 ) 6 , 6 , 6 ( 3 aaaa f=。 故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体. （2） 设长方体的长、 宽、 高分别为zyx,， 体积为V,则表面积)(2),(xzyzxyzyxf+=, 限制条件: Vxyz =. 设)()(2),(VxyzxzyzxyzyxL+= 并令 = =+= =+= =+= , 0 , 0)(2 , 0)(2 , 0)(2 VxyzL xyyxL xzzxL yzzyL z y x 解得 3 Vzyx= 故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体. 3.求空间一点),( 000 zyx到平面0=+DCzByAx的最短距离. 解 : 由 题 意 , 相 当 于 求 2 0 2 0 2 0 2 )()()(),(zzyyxxdzyxf+=在 条 件 0=+DCzByAx下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在. 设)(),(),(DCzByAxzyxfzyxL+=且 =+= =+= =+= =+= )4(, 0 )3(, 0)(2 )2(, 0)(2 ) 1 (, 0)(2 0 0 0 DCzByAxL CzzL ByyL AxxL z y x 由(1),(2),(3)得Axx 2 0 =,Byy 2 0 =,Czz 2 0 =. 代入(4)解得 222 000 )(2 CBA DCzByAx + + =. 所以 )( 4 1 )()()( 22222 0 2 0 2 0 CBAzzyyxx+=+ 222 000 CBA DCzByAx + + = 故 222 000 CBA DCzByAx d + + =为所求最短距离. 4.证明:在n个正数的和为定值条件axxx n =+ 21 下,这n个正数的乘积 n xxx 21 的 最 大 值 为 n n n a . 并 由 此 结 果 推 出n个 正 数 的 几 何 中 值 不 大 于 算 术 中 值 n xxx xxx n n n + 21 21 . 证:设 nn xxxxxxf 2121 ),(=, )(),(),( 212121 axxxxxxfxxxL nnn +=,)0,( 21 n xxx, =+= =+= =+= =+= )4(, 0 , 0 , 0 , 0 21 21 221 121 2 1 axxxL xxxxL xxxxL xxxxL n nnx nx nx n 解得 n a xxx n = 21 由题意知,最大值在唯一稳定点取得. 所以 n n n a n a n a n a ff=),( 最大 . 故 n xxx n a n a xxx n n n n n n + = 21 21 因此 n xxx xxx n n n + 21 21 . 5.设 n aaa, 21 为已知的n个正数，求 = = n k kkn xaxxxf 1 21 ),( 在限制条件 1 22 2 2 1 + n xxx 下的最大值。 解 先求f在条件) 10( 2 1 2 = = aax n i i 下的条件最大值。为此，设 ) 10)(),( 2 1 2 1 21 += = aaxxaxxxL n k k n k kkn 令 = =+= = n k k kkx axL nkxaL k 1 2 0 ), 2 , 1(02 ， 解得 ), 2 , 1)()/( 2 1 1 nkaaax n k kkk =+= = = += n k k a a 1 2 1 2 .)( 2 1 此时，有 .)( 2 1 1 2 1 = += n k k n k kk aaxa 于是，f在条件 2 1 2 ax n k k = = 下的最大值为.)( 2 1 1 2 = n k k aa故f在条件1 1 2 = n k k x下的最大值为 .)()( 10 sup 2 1 1 2 2 1 1 2 = = = = 下的最小值。 解 设 =),( 21 n xxxL),(),( 1 121 = + n k kkn xaxxxf 令, 01 ), 2 , 1(02 1 = =+= = n k kk kx xaL nkakxL k 解得 ), 2 , 1()(2,)( 1 1 21 1 2 nkaaax n k kk n k kk = = = 依题意，相当于求n维空间中原点到超