数学归纳法及其应用举例

数学归纳法及其应用举例 年级_ 班级_ 学号_ 姓名 _ 分数_ 总分一二三 得分阅卷 人 一、选择题(共49题，题分合计245分) 1.用数学归纳法证明:1+1)时,由n=k(k1)不等式成立,推证 n=k+1时,左边应增加的项数是 A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1 2.球面上有n个大圆,其中任何三个都不相交于同一点,设球面被这n个大 圆所分 成的部分为f(n),则下列猜想:f(n)=n,f(n)=f(n-1)+2n,f(n)=n2-n+2 中,正确的是 A.与 B.与 C.与 D.只有 3.某个命题与自然数m有关,若m=k(kN)时该命题成立,那么可以推得 m=k+1时该命题成立,现已知当m=5时,该命题不成立,那么可推得 A.当m=6时该命题不成立 B.当m=6时该命题成立 C.当m=4时该命题不成立 D.当m=4时该命题成立 4.设f(n)=(nN),那么f(n+1)-f(n)等于 A. B. C.+ D.- 5.用数学归纳法证明1+a+a2+ = (nN,a1)中,在验证n=1时,左式应为 A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 6.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中,n=k+1时,为了使用归 纳假设,应把5 k+1 -2 k+1变形为 A.(5k-2 k)+45 k -2 k B.5(5 k -2 k)+32 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-35 k 7.平面内原有k条直线,它们把平面划分成f(k)个区域,则增加第k+1条直线 后,这k+1条直线把平面分成的区域至多增加 A.k个 B.k+1个 C.f(k)个 D.f(k)+(k+1)个 8.已知凸k边形的对角线条数为f(k)(k3)条,则凸k+1边形的对角线条数为 A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2 9.用数学归纳法证明(n+1)+(n+2)+(n+n)= 的第二步中,n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于 A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+1 10.下面四个判断中,正确的是 A.式子1+k+k2+kn(nN),当n=1时恒为1 B.式子1+k+k2+kn-1(nN),当n=1时恒为1+k C.式子 + (nN),当n=1时恒为 D.设f(x)= (nN),则f(k+1)=f(k)+ 11.用数字归纳法证1+x+x2+xn+1=(x1),在验证n=1成立时,左边所得 的代数式是 A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3 12.用数字归纳法证明1+2+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时, 左边所得的代数式是 A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 13.用数学归纳法证明当n是非负数时,34n+2+52n+1能被14整除的第二 步中,为了使用归纳假设应将34k+6+52k+3变形为 A.34k+281+52k+125 B.34k+1243+52k125 C.25(34k+2+52k+1)+5634k+2 D.34k+49+52k+25 14.用数学归纳法证明+= (nN)时,从n=k到n=k+1,等式左边需 增添的项是 A. B. C. D. 15.利用数学归纳法证明不等式,(n2,nN)的过程中,由n=k变 到n=k+1时,左边增加了 A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项 16.用数学归纳法证明5n-2n能被3整除的第二步中，n=k1时，为了使 用假设，应将5k+1-2k+1变形为 A.(5k-2k)45k-2k B.5(5k-2k)32k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-35k 17.平面内原有k条直线,它们的交点个数记为f(k),则增加一条直线后,它们 的交点个数最多为 A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.kf(k) 18.已知一个命题P(k),k=2n(nN),若n=1,2,1000时,P(k)成立,且 当n=1000+1时它也成立,下列判断中,正确的是 A.P(k)对k=2004成立 B.P(k)对每一个自然数k成立 C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立 19.用数学归纳法证明:,从k到k+1需在不等式两边加上 A. B. C. D. 20.设,则f(2k)变形到f(2k+1)需增添项数为 A.2k+1项 B.2k项 C.2项 D.1项 21.欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2nn3,n0为验 证的第一个值，则 A.n0=1 B.n0为大于1小于10的某个整数 C.n010 D.n0=2 22.某同学回答用数字归纳法证明3)，则凸k1边形的对角线条数 为 A.f(k)k B.f(k)k1 C.f(k)k-1 D.f(k)k-2 25.平面内原有k条直线，它们将平面分成f(k)个区域，则增加第k1条 直线后，这k1条直线将平面分成的区域最多会增加 A.k个 B.k1个 C.f(k)个 D.f(k)1个 26.同一平面内有n个圆,其中每两个圆都有两个不同交点,并且三个圆不 过同一点,则这n个圆把平面分成 A.2n部分 B.n2部分 C.2n2部分 D.n2n2部分 27.平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相 交于同一点，这n个圆把平面分成f(n)个部分，则满足上述条件的n1个 圆把平面分成的部分f(n1)与f(n)的关系是 A.f(n1)=f(n)n B.f(n1)=f(n)2n C.f(n1)=f(n)n1 D.f(n 1)=f(n)n2 28.用数学归纳法证明不等式成立时，应取的第一个值为 A.1 B.3 C.4 D.5 29.若，则等于 A. B. C. D. 30.设凸n边形的内角和为f (n)，则f (n+1) - f (n) 等于 A. B. C. D. 31.用数学归纳法证明不等式成立,则n的第一个值应取 A.7 B.8 C.9 D.10 32.等于 A. B. C. D. 33.已知ab是不相等的正数,若,则b的取值范围是 A.0b2 B.0-1且x0,nN,n2求证:(1+x)n1+nx. 10.求证:二项式x2n-y2n(nN)能被x+y整除. 11.是否存在常数a，b使等式 1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-2)3+(n-1)2+n1=n(n+a)(n+b)对一切自然 数N都成立，并证明你的结论. 12.已知x10,x11,且xn+1=(n=1,2,3).试证:数列xn或者对任意的自 然数n都满足xnxn+1,或者对任意的自然数n都满足xn+1x. 13.是否存在常数abc,使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对 一切自然数n成立?并证明你的结论. 14.证明不等式:1+(nN). 15.平面上有n条直线,其中无两条平行也无三条共点 求证:这n条直线 (1)彼此分成n2段; (2)把平面分成个部分. 16.用数归纳法证明(3n+1)7n-1是9的倍数 (nN). 17.用数学归纳法证明(x+3)n-1能被（x+2）整除. 18.用数学归纳法证明：1232 nn(2n1)( nN) . 19.下列所给条件，写出数列an的前四项，猜想数列的通项公式并 用数学归纳法证明. 已知a1=1，Sn= n2an (n2). 20.下列所给条件，写出数列an的前四项，猜想数列的通项公式并 用数学归纳法证明. 已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差数列. 21.对于任意自然数n，n3+11n能被6整除. 22.已知数列bn是等差数列, (1)求数列bn的通项. (2)设数列an的通项(其中)记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与 的大小,并证明你的理论. 23.用数学归纳法证明 已知： 24. 25.设,是否存在关于n的整式g(n)使对大于1的一切正整数n都成立?并证 明你的结论. 26.平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点, (1)设这n条直线互相分割成f (n) 条线段或射线,猜想f (n) 的表达式并给以 证明. (2)求证:这n条直线把平面分成个区域. 27.数列an中,设. (1)试求出的值; (2)猜想出,并用数学归纳法证明. 28.是否存在常数a、b、c使等式 对一切自然数n都成立，并证明结论 29.在各项都为正数的数列an中，其前n项和为Sn，且( nN)，试 由a1，a2，a3的值推测an的计算公式，并证明之. 30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f f(x)，fn (x)= fn-1 f(x) (nN，n2)，试 求ab，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推测fn (x)以b，x，n表 示的式子，证明你的结论 31.设函数 , 若数列满足, 求证：当 32.用数学归纳法证明 (nN) 33.用数学归纳法证明|sinn|n|sin|. 34. 试比较An与Bn的大小，并说明理由. 35.已知等差数列an的第2项为8,前10项的和为185. (1)求数列an的通项公式. (2)若从数列an中依次取出第2项,第4项,第8项,.,第2n项,.按原来顺 序排成一个新的数列,求此数列的前n项和Sn. (3)设Tn= n(an +9),试比较Sn与Tn的大小,并说明理由. 36.数列an的通项公式an=,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-an). (1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表达式; (2)用数字归纳法证明你的结论. 数学归纳法及其应用举例答案 一、选择题(共49题，合计245分) 1.952答案：C 2.953答案：C 3.1015答案：C 4.1019答案：D 5.1063答案：C 6.1065答案：B 7.1066答案：B 8.1067答案：C 9.1081答案：B 10.1082答案：C 11.1083答案：C 12.1085答案：C 13.1091答案：C 14.1092答案：C 15.1098答案：D 16.1100答案：B 17.1101答案：B 18.1102答案：D 19.1103答案：C 20.1104答案：B 21.1107答案：C 22.1108答案：D 23.1109答案：C 24.1110答案：C 25.1111答案：B 26.1113答案：D 27.1114答案：B 28.1120答案：D 29.1121答案：D 30.1123答案：C 31.8059答案：B 32.8060答案：B 33.8061答案：B 34.1084答案：D 35.1088答案：A 36.1089答案：D 37.1090答案：B 38.1093答案：D 39.1094答案：C 40.1095答案：D 41.1096答案：C 42.1105答案：C 43.1106答案：B 44.1122答案：C 45.1124答案：B 46.1125答案：C 47.1126答案：D 48.1086答案：C 49.1099答案：D 二、填空题(共9题，合计36分) 1.954答案：1+2+22+23+24 2.1068答案： 3.1069答案： 4.1070答案：2k 5.1127答案： 6.955答案：两边同时乘以 7.1128答案： 8.1130答案：当时，左边， 右边 不等式成立 9.1129答案： 三、解答题(共36题，合计362分) 1.981答案：见注释 2.1060答案：见注释 3.1061答案：见注释 4.1112答案：见注释 5.956答案：m=36 6.957答案：相等 7.958答案：(1) (2) (3)1 8.977答案：见注释 9.979答案：见注释 10.980答案：见注释 11.1001答案：见注释 12.1048答案：见注释 13.1050答案：见注释 14.1058答案：见注释 15.1073答案：见注释 16.1075答案：见注释 17.1076答案：见注释 18.1080答案：见注释 19.1116答案： 20.1117答案： 21.1118答案：见注释 22.1131答案：见注释 23.1181答案：见注释 24.1182答案：见注释 25.8067答案：见注释 26.1119答案：见注释 27.1132答案：见注释 28.1208答案：令n=1，n=2，n=3，列方程组求得a=3，b=11，c=10 再用