数学竞赛讲义-第6讲调和四边形与陪位中线

调和四边形与陪位中线调和四边形与陪位中线 一、知识解析 一、知识解析 定义定义 1 调和四边形调和四边形 圆内接四边形ABCD称为调和四边形，如果对圆上任意一点 P ，直线 PA、PC； PB、 PD成调和线束。 对话对话 1 关于定义关于定义 从定义中容易看出“调和”二字的来源。你要注意的是，当 P 点和四边形的一个顶 点比如 A 重合时， PA指的是圆在 A 点的切线。 定理定理 1 调和四边形的另一个等价定义调和四边形的另一个等价定义 圆内接四边形ABCD是调和四边形的充要条件是它的对边之积相等，即AB CD AD BC。 定理定理 1 的证明的证明 如图， P 是圆内接四边形ABCD的外接圆上的一点， 则AB CDAD BC 2sin2 sin2sin2sinRAPBRCPDRAPDRBPC sinsin sinsin APBCPB APDCPD PA、PC； PB、 PD成调和线束。 对于 P 与四边形顶点重合的情况，容易看出是和前面 的情况统一的，这里就不再另外给出证明。 对话对话 2 几种调和四边形几种调和四边形 知道了调和四边形的定义后，你可能想知道这样的四边形会是什么样子。我们先来 看两种特殊情形：筝形是最简单的一类调和四边形，如下左图，它关于一条对角线对 称，容易看出它满足定理 1。如下右图被称为调和梯形， 而更一般的构造调和四边形的方法如下图所示，过圆外一点 P 作圆的两条切线，切 点分别是 A 和C，再过 P 作圆的一条割线交圆于 B 、 D 。之后我们会看到，四边形 ABCD是一个调和四边形。在这之前我们先来介绍另一个重要概念：陪位中线。 C D B A P D C B A 定义定义 2 陪位中线陪位中线 在ABC中，M 是BC的中点，和 AM 关于BAC平分线对称的直线称为ABC的 A 陪位中线，如下图的AN，其中BANCAM 。同理我们可以定义ABC的 B 陪位中线 和C陪位中线。 定理定理 2 陪位中线的性质陪位中线的性质 如图，在ABC中，N是BC上一点，AN是 ABC的 A 陪位中线，则有 （1） 2 BNAB CNAC ； （2）设K 是AN上不同于 A 的任意一点， K 到 AB 、AC的距离之比 KE KF 等于三角形两边之比 AB AC ； （3）设线段 XY 是BC关于 AB 、AC的逆平行线， 则AN平分 XY 。 定理定理 2 的证明的证明 （1）由三角形的面积公式， BNS ABN NCS ACN 1 sin sin 2 1 sin sin 2 AB ANBAN ABBAN ACCAN AC ANCAN ，同理 sin 1 sin BMABBAM MCACCAM 。而BANCAM ， CANBAM ，所以两式相乘得 2 BNAB NCAC ； D A C P B DNM B C A K Y NM B C A X F E NM B C A K （2）利用（1）的证明， sin sin KEBANAB KFCANAC ； （3）设AN和 XY 交于点 K 。容易看出 AXY相似于ACB， K 和M 是对应点，所以 K 是 XY 的中点。 对话对话 3 等角线等角线 如右图，两条直线m，n交于点 A ，如果它们 关于BAC的平分线对称，则称这两条直线对 BAC是等角线。陪位中线是等角线的一种，所以 它既继承了等角线的一般性质，又因为中点的条件 有而具有自己的特殊性质。那么对定理 2 的性质， 你能看出背后对应的更一般的等角线性质吗？我们 把结果写在下面。 定理 2 一般的等角线版本（中线的条件去掉） ： （1） 2 2 BNCMAB CNBMAC ； （2） KECMAB KFBMAC ； （3） KXMC KYMB 。 证明请你自己完成。除了这些以外，等角线还有一些重要性质，我们把它们列举在 下面的定理里。 下面的定理 3 和对话 4 是对等角线内容的补充，读者可以选择阅读，跳过后从定理 4 仍然可以继续。 定理定理 3 等角线的重要性质等角线的重要性质 （1） （等角线引理）如右图，直线m， n对BAC是等角线， P 、Q 分别是m，n 上的点。直线BP和CQ交于 R ，直线 BQ和 CP交于S，则 AR ，AS对BAC为等角 线。 （2） （等角共轭点）已知ABC， P 是 平面上一点，它不在ABC外接圆上，也不 在三边所在直线上，那么 AP 对A 的等角 线 A AP， BP对B 的等角线 B BP，CP对 C的等角线 C CP交于一点Q ，Q 称为 P 关于ABC的 等角共轭点。容易看出 P 也是Q 的等角共轭点，我们称 这两点关于ABC等角共轭。 （3） （共轭重心）三角形重心的等角共轭点称为三 角形的共轭重心，它是三角形三条陪位中线的交点。 m n A B C m n S R A B C P Q Q A BC P 对话对话 4 定理定理 3 的证明思路的证明思路 关于定理 3 的（1） ，设 AR 与 BQ、CP分别交于 X 、Y 。以 R 为透视中心看 BQ和 CP，由交比不变可得 BSXQPSYC XSBQYSPC ，再以 A 点看这两条线，设 BAPCAQ ，PAS，QAR，SAR，由交比的性质得 sinsinsinsin sinsinsinsin ， 利用和角公式经过简单的三角变形能够得到coscos，从而，证毕。定理 3 的 （2）用角元形式的塞瓦定理很容易证明，不过要注意当 P 在ABC外接圆上且不与顶 点重合时三条等角线平行。 定理定理 4 由切线构造陪位中线由切线构造陪位中线 过 B 、C作ABC外接圆的切线，两线交于点 D ，则 AD 是ABC的 A 陪位中线。 定理定理 4 的证明的证明 如右图，作出以 D 为圆心过点 B 、C的圆D，延 长 AB 、AC与之交于另两点 P 、Q 。则5402 180 BDPCDQBDC PQBOC ABC ， 故 P 、 D 、Q 共线。 易知ABC相似于 AQP，M 和 D 是对应点，所以 BAMQADCAD ，知 AD 是ABC的 A 陪位中 线，证毕。 定理定理 5 由切线构造调和四边形由切线构造调和四边形 在圆内接四边形ABCD中， A ，C不是对径点，过 A 和C作圆的切线交于点 P ，则 ABCD是调和四边形当且仅当 P 、 B 、 D 三点共线。 定理定理 5 的证明的证明 如右图，取AC的中点M ，连 BM ，由定理 4 知 PB是 ABC的 B 陪位中线，即ABPCBM。 充分性：如果 P 、 B 、 D 三点共线，则ABD MBC，又ADBMCB，所以 ABD相似于MCB， ABMB ADMC 。同理BCD相似于 BMA，故 CBMB CDMA MBAB MCAD ，即AB CDAD BC，ABCD是调和四边形。 Q P M D O B C A M D P O B C A 必要性：如果ABCD是调和四边形，由托勒密定理，AC BDAB CDAD BC 2AD BC，仍设M 为AC中点，则AD BCMC BD，即 DACM DBCB ，又因为 ADBMCB，所以 ABD相似于MCB，ABDMBCABP，故 P 、 B 、 D 三 点共线。 对话对话 5 定理 5 揭示了调和四边形和陪位中线的联系。我们得到了调和四边形的又一种刻画 方式：陪位中线与对角线重合。从定理 5 的证明中你应该可以看出，把这二者联系起来 的是两对相似三角形和托勒密定理。请你回忆托勒密定理的证明，体会一下中点和“调 和”的联系。 由定理 5 我们可以证明调和四边形的性质： 定理定理 6 调和四边形的性质调和四边形的性质 已知ABCD是调和四边形，其外接圆圆心为O，AC的中点为M ，且 A ，C不是对径 点。则 （1） B 、O、M 、 D 共圆； （2）AC是BMD的平分线。 定理定理 6 的证明的证明 （1）如右图，过 A 、C的切线交于 P ，则 P 、 D 、 B 共线，连PO，则M 在PO上。因为PO PM 2 PA PB PD，所以 B 、O、M 、 D 共圆。 （2）由 B 、O、M 、 D 共圆得DMPOBD ODBOMB，又OPAC，故AC是BMD的平分 线。 二、例题精讲 二、例题精讲 【例 1】如图， P 、Q 是ABC的等角共轭点，过 P 作三边的垂线，垂足分别为 1 A、 1 B、 1 C，过Q 作三边的垂线，垂足分别为 2 A、 2 B、 2 C。求证： 1 A、 2 A、 1 B、 2 B、 1 C、 2 C 六点共圆。 B1 B2 C2 C1 A2A1 Q A BC P M D P O C A B 证明：先证明 1 A、 2 A、 1 B、 2 B四点共圆。因为 2 A、C、 2 B、Q 共圆， 1 A、C、 1 B、 P 共圆，所以 2222 90B A CB QCB CQ 111 90ACPA PCA BC ，故 1 A、 2 A、 1 B、 2 B四点共圆。注意到这圆的圆心恰好是 PQ的中点O，因为 12 A A和 12 B B的 垂直平分线都过O点。同理可以证明 1 A、 2 A、 1 C、 2 C也都在以O为圆心的一个圆上。故 O到六点的距离相等，推出六点共圆。 对话对话 6 在我们证明 1 A、 2 A、 1 B、 2 B四点共圆，并同理得到另两组四点共圆后，能不能直 接推出六点共圆呢？不难看出这是不够的，我们必须再证明这三个圆重合。所以解答中 对圆心的考察是必要的。顺便提一下，当 P ，Q 是ABC的外心和垂心时，你会发现这 个圆恰好就是它的九点圆。 【例 2】用等角线引理（定理 3（1） ）证明下面的命题：如图，在ABC中， AD 是角平分 线， P 是 AD 上一点，BP交AC于 E ，CP交 AB 于 F ， DF 交 BE 于M ， DE 交CF于 N。求证： AD 平分MAN。 证明：使用等角线引理， AP 和 AD 对EAF是等角线， EP、 DF 交于M ， FP、 DE 交于N。所以 AM 和AN对EAF是等角线，即 AD 平分MAN。 对话对话 7 从证明过程中可以看出 B 、C两点并无作用，去掉这两点后你会发现这就是 1999 年全国高中数学联赛加试第一题。 【例 3】如图，调和四边形ABCD内接于圆O， P 是对角线AC上的一点， 1 O， 2 O分别是 ABP和 ADP的外心。求证：直线AO平分线段 12 OO。 N M F E D A BC P O1 O2 C DB O A P 证明：设AO和 12 OO交于M ，连接 1 OO和 2 OO。则 1 OOAB， 2 OOAC， 12 OOAC，所以 2 OCAD ， 1 OCAB 。又 1 AOOADB ， 2 AOOABD ，故 11111 22222 sinsin sinsin MOOOOOMOOADBOOAB MOOOO OMOOABDOOAD 。而 12 21 sinsin sinsin OOOCADCD OOOCABBC ，由调和四边形的性质知 CDAD BCAB ，故 1 2 1 MOCDAB MOBCAD ，即AO平分线段 12 OO。 【例 4】如图，在ABC中， D 是内切圆在BC边上的切点，线段 AD 交内切圆于另一点 P ，PB、PC分别又交内切圆于点 E 、 F 。求证：四边形 PEDF 是调和四边形。 对话对话 8 提示提示 内切圆的条件可以得到很多切线，而由定理 5 可以看出，调和四边形很重要的一种 产生方式就是切线。能不能从这里找到突破口呢？ 证明：如右图设内切圆在 AB 、AC边上的切点分 别是 E 、 F ，连接图中的线段。因为 BD、 BF 是切 线， B 、M 、 P 共线，所以 FMDP是调和四边形。用 托勒密定理可得2FD PMFP DM，即 2PMFP DMFD 。同理 2PNEP DNED 。注意到 PFDE 也是调 和四边形，所以 FPEP FDED ，故 PMPN DMDN ，这说明四 边形 PEDF 是一个调和四边形。 【例 5】如图，已知ABCD内接于O，对角线AC、 BD交于M 。 P 是线段BC上一点， 满足MPOM，Q 是O上一点，满足 DQOM，直线 DP交圆于另一点S。求证：四 边形 ABSQ 是调和四边形。 N M P D A B C MO1 O2 C DB O A P N M P F E D A B C 对话对话 9 要证明四边形是调和四边形，可能你最先想到的就是证明对边之积相等。对很多题 目这确实是最方便的方法，但对这道题却行不通，因为四边形 ABSQ 的边中除 AB 之外 都很难转化。还有什么证明方法呢？ 证明：为证明 ABSQ 是调和四边形，只需证明 DA， DS； DB， D