数学建模初赛一等奖获奖作品

1 平衡与折中的智慧数学建模在高考志愿填报中的应用 学校 河南省新乡市第一中学 作者 韩笑谈、王汇、魏乐妍 指导教师 张杏丽 摘 要 本文在高考志愿平行填报的背景下， 综合考虑考生个人条件与学校条件的相关因素， 通过目标规划、熵权法、遗传算法、对策论等建立了平衡决策成本与决策结果的综合评 价体系。 首先，在高考志愿的填报中，决策结果的概念包括学生成绩与报考院校最低录取分 数差、所报考学校的综合实力排名等，并且以最优的决策结果为目标。文中通过层次分 析法、熵权法等分析其最佳决策结果的选择，分析了影响报考决策的 9 个因素，以清华 大学、 上海交通大学等 6 所平行志愿为研究对象， 各个因素对不同学校有不同的影响率。 从考生客观条件出发通过不同因素的权重和影响，在两种评价结果之上进行组合评价， 最终得到组合后该考生的学校决策排序依次为清华大学、浙江大学、北京大学等。 其次，对于高考志愿填报过程中的决策成本进行分析。决策成本的概念包括各个院 校以往的报录比、最低录取分数差等，以最小决策风险为目标。文中通过模糊隶属度和 对策论来分析实际决策成本，评价决策风险。在设置了超出控制线 160、60、30 分的 三个不同分数段的学生以及他们所选取所要报考的目标学校中进行决策成本的评估， 最 终给出相应的决策成本度量。学生 1 的决策成本较低，易被所报考的学校录取，学生 2 的决策成本较高，录取的难度较大；学生 2 在决策成本较高的情况下，选择填报中国地 质大学(北京)更易被录取。 最后，研究平衡决策成本与决策结果两者之间的关系，综合平衡两种指标，以尽可 能做到报考的院校尽量符合人意，同时将风险降到一定程度以下。文中使用目标规划方 法和遗传算法模型，第一种方法在以自定义的形式考虑所报考学校的分数差、院校排名 和平均报录比之后，最终以准则评分曲线的形式，表现平衡和折中二者的可行性；第二 种方法以目标规划的结果为基础，以特定分数段考生录取结果的整体最优为目标函数， 以报考风险和对平行志愿的满意度等三个因素作为决策变量， 建立优化模型通过遗传算 法优化求解， 使得最终能够让学生填报尽量好的院校的同时， 又能保证较大概率的录取， 实现决策成本与决策结果的平衡。 关键词：平行志愿 目标规划 层次分析法 模糊数学 对策论 遗传算法 2 前 言 对于每个高中生而言，高考是人生中很重要的一个环节，关系到个人日后的努力方 向和发展， 高考志愿填报又是其重中之重。 科学的志愿填报可以使得学生在当前分数下， 可以选择更为理想的大学。 但同时不合理的填报志愿可能会使得本身具有优势的分数反 而不能上一所好的大学。因此对如何合理地填报志愿，使得最终的填报结果最好和决策 最有效等问题的考虑，显得尤为重要。 因此我们选择高考志愿填报作为研究的对象， 在收集到一定高等院校往届录取信息 之后，通过一系列数学建模的方法，对这些数据进行归纳、汇总和分析，针对不同分数 段的学生可能的志愿填报，分析和评价其预期结果，对于学生高考志愿填报，具有指导 性意义。 首先， 本文分别使用了层次分析和熵权法模型分析在学生有 6 个平行志愿可以填报 的情况下，考虑如何使决策结果最优、成本最低。从考生客观条件出发，通过不同因素 的权重和影响分析与评价报考的结果，是从定量的角度进行分析。其次，使用模糊数学 模型和对策论模型，分别对高考志愿填报过程中决策成本大小和“知己知彼”的问题的 进行建模。 其一的目标是通过设置三名不同分数段的学生报考情况研究学生分数所在各 个填报院校以往录取区间的比例，最终对决策的难易程度和决策成本进行衡量。其二的 目标是对某个分数的学生和其他考试所报考的相同的两所学校， 建立对策论模型进行分 析，模拟某个学生和其他考生之间策略的选择，以获取最好的录取结果。最后，使用遗 传算法优化模型，建立特定分数段考生的报考最优结果，报考风险最低为目标函数，对 平行志愿的满意度等三个因素作为决策变量建立优化模型通过遗传算法优化求解。 通过上述 4 种建模方法，最终对于学生高考志愿填报的一些情况，给出合理解释和 可行性分析。 一、 问题分析 前期人机围棋大战中，Alpha Go 通过复杂的算法实现全局决策最优化，以四比一 占胜李世石一度成为热点。决定某一步棋子的走法时，判断能否达到最优解，人工智能 与人的决策方式基本相同。 当面临多种选择的时候， 人们都尽可能趋向于能使最终决策结果尽量完美符合客观 条件及个人需求，同时又能够尽量省时省力，决策所承担的风险成本尽量小。在实际应 用中，采用最佳决策结果作为决策准备时，可能将花费较大的成本与精力；但是，一味 追求决策成本低，往往会影响到我们的决策结果的优劣。因此决策结果最好与决策成本 最小这两种决策标准总是相互制约着。 1.1 问题一的分析： 根据竞赛题目要求，我们选择高考志愿填报这一具体决策实例作为分析对象，分析 志愿填写这一决策过程中所产生的最佳决策结果与最小决策成本。 通过对不同类型人群， 建立能够平衡与折中这两个决策准则的目标规划模型， 将其作为约束条件在众多选择中 3 寻找一种能够使决策的结果尽量好且决策的成本尽量少的决定。在问题二中，以这个评 判的标准作为接下来填报志愿的一个总体上的约束，通过全局最优，并且符合决策的结 果及成本都尽量尽人意的决定。 1.2 问题二的分析： 选定的一个具体决策问题分析， 讨论怎样平衡与折中这两种决策准则能够尽量使得 决策结果尽可能好，并且降低决策成本，承担较小的风险。针对所选择课题进行相应的 决策分析，利用提出的平衡折中方法为具体问题做出相应决策准则。 首先针对最好决策准则分析：学生在高考志愿填报时，应尽可能综合分数高低、个 人的兴趣及学校排名等众多因素。 对所选范围的学校在以上众多因素的共同制约下构建 系统，组合层析分析法与熵权法，对这个决策系统进行定性与定量分析。 接着针对最小决策成本分析：构建评价不确定性风险的标准，采用模糊隶属度构建 评分规则，针对决策成本展开讨论。在求解出能够使评价标准达到最小的情况下，考虑 客观事实，选择特定情况进一步分析，力求降低决策成本。 最后，在问题一已经得出的结论中，构建全局最优化模型，对决策结果及决策成本 两者进行相应的融合，有效平衡与折中两者之间的关系，最终提出进一步的决策建议。 1.3 问题三的分析： 优化最终的模型，使之在不同决策过程中，可以根据个人的不同需求调整及修改相 应的准则权重，使之在牺牲一部分不太重要的因素后，达到使个人满意的结果，能够顺 利推广应用到众多决策过程中去，并针对后续研究提出相应计划。 二、 符号说明 符号 含义 X 决策结果评分值 Y 决策成本评分值 A S 学生 2 报考的策略集合 B S 其他学生报考的策略集合 R 学生 2 的赢得矩阵 ij P 学生 2 报考采用i策略，其他学生采用j策略时，学生 2 的 被录取的概率 i get L 第i所学校的实际录取人数 arg i tet L 第i所学校的计划录取人数 i A x 第i个学生对于报考的学校“决策成本较低”的模糊集 MAX S 高校录取分数的最高分 MIN S 高校录取分数的最低分 now S 当前批次的控制线 ( ) A x 第i个学生对于报考的学校“决策成本较低”的隶属度函数 ( ) B x 第i个学生对于报考的学校“决策成本适中”的隶属度函数 4 ( ) C x 第i个学生对于报考的学校“决策成本较高”的隶属度函数 三、 模型的建立与求解 4.1 平衡与折中决策准则依据： 4.1.1 模型准备 在高考志愿填报中，决策的结果最好可以定义为：针对考生个人要求（如地理区域 偏好， 专业选择等） ， 在其分数可选择范围内可被高校最低录取分数线最高的高校录取； 决策的成本可以用是否能够被该生填报的第一志愿或者能否被喜欢的专业录取来衡量。 平衡上述两种极端的决策标准，应用到高考志愿填报的具体实例中，可以建立一种 能够根据个人自身及客观环境不同的影响调整权值的多目标规划模型， 通过输入三个对 决策产生影响的条件的简单参数：分数差，高校排名及高校往年报录比，作为计算决策 结果与成本评分的客观条件，对后续做出的决策提出一种总体参考的依据。 4.1.2 模型建立与求解 将填报志愿的结果表示为X，将志愿报考的成本表示为Y，建立多目标规划模型， 利用目标规划1，将结果最优与成本最低设置为两大约束条件，设 1 i为学生成绩与报考 院校最低录取分数差，2i为院校排名2， i d 、 j d 表示为期望方程允许一定的偏移。 1 x为 柔性约束变量， 表示去掉偏移之后可接受的分数差； 2 x为去掉偏移之后可接受的院校排 名。 1 i、 2 i为 1 x、 2 x的自变量。 1 u、 2 u， 1 v、 2 v为约束目标函数的权重。 1 y为分数差 制约决策成本的约束条件， 2 y为高校往年的报录比。 我们可以得出以下关系： 1 122 1122 1111 2222 12 12 11 1 max min 1/() 1 1 1 0 Xu xu x Yv yv y xidd xidd uu vv yx x (1) 在决策风险的评分中， 如果学生成绩低于某高校往年平均最录取分数线的情况下我 们对公式（1）中第一与第三个方程进行修改，得到的方程组如下： 5 1 122 1122 1111 2222 12 12 11 1 max min | 1/() 1 1 0 Xu xu x Yv yv y xidd xidd uu vv yx x (2) 学生决策的结果中，设置不同背景做实验分析，尽量使决策的结果值达到最大，决 策的成本值达到最小。 对不同的需求的学生报考采用不同的参数设置-学生成绩与高校之间的分数差为 -4 及院校排名为 18，该院校往年报录比为 1.7，具体程序见附件问题一源代码。绘制 出来决策准则评分曲线如图 1： 图 1. 准则评分曲线图 图 1 中蓝线表示决策的结果最好时的规划建议。红线表示风险最小时的规划建议。 只通过蓝线判断决策时，即在决策结果最好的情况下尽量不考虑决策成本印象，设 置决策结果为最大值，在这样约束条件下，我们可以得到一种牺牲决策成本换取决策结 果的决策建议，这样看来最好结果时学生所承担的风险为接近于 2.7，在整个决策成本 中，该值表示所需学生承担的风险最大。但是改为不考虑结果，仅将成本作为影响决策 的依据时，学生最终的录取志愿可能不理想，如图中，在红线达到最小值时，决策结果 评分只有 0.5，这是一种非常不理想的情况。 折中与平衡两个指标。如果愿意承担一定风险，又希望得到一个可以接受的高校， 那么按照规则取约束条件下的结果最大化，成本最小化。虽然决策结果或者决策成本不 是局部最优的选择， 但是我们是在牺牲一部分可以接受范围内的因素得到我们愿意得到 的最好的结果。这是一种全局最优的平衡方法。在实际生活中，考虑众多因素的影响， 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 两种决策准则评分曲线 权重 分值 6 这是最为实际的决策方案。 模型结果说明两种极端的决策准则是可以有一个这种平衡点的， 平衡这两种标准具 有较大的可行性。在本小问中构建的目标规划模型，我们可以将这个结论作为后续工作 的一个大体的约束与支持，讨论如何平衡两大准则。 4.2 最佳决策结果与最小决策结果分析 在高考志愿填报的背景选取下， 通过查阅文献数据对最佳决策结果和最小决策风险 两种极端情况分析讨论，得出一定的结论作为最终融合两种准则的参考，接着将问题一 中得到的结论运用在平衡与折中两种决策准则的约束， 继续通过构建及优化模型提出就 高考志愿填报中如何平衡与折中决策结果、决策成本的方法，考虑生活中可能出现的客 观情况，最终完善模型，得出进一步的结论。 4.2.1 最佳决策结果分析 选择具体学生为实例研究。 通过查找高考信息网3提供的清华大学、 上海交通大学、 合肥工业大学等10所高校2015年的高考招生部分数据作为分析依据。归纳总结大体得 出影响录取结果的因素包括考生自身条件及选取学校条件两大类， 为了较为客观地将其 指标进行细分，我们参考了相关研究文献4对高考成绩、个人兴趣、自身身体条件、专 业实力、学校声誉等9个指标对考生报考结果的制约性进行评估。将这些指标的个体信 息需要纳入一个综合评价系统中，并通过组合评价法，系统地显示得出各分项指标的评 价值和综合评价值。 4.2.2 模型建立与求解 首先采用客观评价的熵权法与主观评价的层次分析法对其分别展开分析， 然后采用 组合评价分析方法对客观和主观分析方法进行综合处理。 层次分析法 鉴于在报考中每个考生可有 6 个平行志愿， 选取 6 所学校作为决策层， 现在以 2015 本科第一批中超出本科第一批分数线 160 分的一名学生为研究对象，在其分 数附近寻找 6 个学校，这 6 所学校分别为清华大学、北京大学、上海交通大学、复 旦大学、浙江大学、中国科学技术大学。 考虑到考生报考的稳妥性，不同考生要考虑到自身条件和学校条件，要使考生 尽可能被最适合自己的学校录取。 同时， 学生所报考的不同学校要拉开档次， 因此， 对于不同高校其评价指标的权重差别要尽量大。 采用层次分析法对各种因素进行综合评价：中间层 i B，表示考生个人条件、 学校专业影响力、学校地理位置及环境、毕业生质量与就业；准则层 j C 1,2,3,8,9j 表示高考成绩、 个人兴趣、 自身身体条件、 专业实力、 学校名气、 城市位置等 9 个因素。根据学生分数限制，选取了清华大学、上海交通大学等 6 所层次有区分度的学校作为决策层，该层次分析模型如图 2 所示： 7 目标层 目标层 中间层 高校选择 学校专业影响力 地理位置与环境 个人兴趣 身体条件 专业实力 学校名气 城市位置 学校环境 学生素质 清华大学 上海交通大学 . 准则层 决策层 个人条件 毕业生质量与就业 高考成绩 就业率 图2. 高考志愿填报层次分析模型 详细计算各个指标的相对权重，采用 1-9 标度赋值，赋值准则如表 1 所示: 表 1 各标度赋值准则 赋值 重要性级别 ij a=1 第i元素与第j元素对上一层次同样重要 ij a=3 第i元素比第j元素稍微重要 ij a=5 第i元素比第j元素比较重要 ij a=7 第i元素比第j元素很重要 ij a=9 第i元素比第j元素极端重要 ij a为 1-9 的偶数 第i元素比第j元素重要性介于相邻判断之间 其中:C ijij aC，表示准则层中两两因素之间的比值，且 1 ji ij a a 。对中间层的 4 个 因素进行分析， 考虑到个人条件在高考志愿选择的合理性中相对于其它三项指标占的比 重较大，对中间层因素、准则层因素两两进行权重比较，得到中间层的判断矩阵为： 1 5 7 3 1/5 1 5/3 5/3 1/7 3/5 1 7/5 1/4 3/5 5/7 1 A （3） 8 准则层对中间层及准则层之间的判断矩阵见附件公式 1，2。 以上述每层的判断矩阵作为该考生报考这六所大学的因素比较矩阵，通过对 6 所高校的比较矩阵A的得出其最大特征根5.1534 根据层次分析模型定义一致性指标CI: 1 i CI i （4） 根据计算机模拟的随机一致性指标RI，定义一致性比率CR： CI CR RI （5） 对研究数据进行一致性检验，当一致性比率CR0.1 时，认为所有数据均通过 一致性检验，符合标准： 带入搜集数据，求出七个评价标准处理后的一致性指标：0.383CI 。根据计 算机模拟得到随机一致性指标绘制随机一致性指标表格，查表得随机一致性指标 1.12RI 。接着求得一致性比率 0.3191 CI CR RI ，认为搜集数据均通过一 致性检验。 将准则层 j C与目标层组合， 得到每个准则的权向量及最大特征向量， 分别为： 1 3.0092， 2 3.0082， 3 3.1， 4 3.0015， 5 3.0055，62.1468， 73.2475，8=2.6234，9=4.2256 。 按照上述检验方式，对组合得到的结果进行一致性检验，计算组合权向量（作 组合一致性检验，方法与上述相同） ，得到每种因素的组合权向量，用 MATLAB 计 算出以该考生为研究背景下目标层 6 所高校的层次总排序如下表所示： 表 2. 层次分析法的6所高校的排序权值 学校 权重值 平行志愿学校 1 清华大学 0.203 平行志愿学校 2 北京大学 0.235 平行志愿学校 3 上海交通大学 0.144 平行志愿学校 4 复旦大学 0.153 平行志愿学校 5 浙江大学 0.203 平行志愿学校 6 中国科技大学 0.082 由上表的综合评价值对学校进行排序， 得到该考生的志愿填报顺序为北京大学、 清华大学、浙江大学、复旦大学、上海交通大学、中国科学技术大学。 熵权法 由于影响高考报考决策及决策结果的因素比较复杂， 进行定量分析是较为直观 的分析方法，而单一定量评价方法欠缺说服力，因此以层次分析法的 9 个影响因素 为评价指标，建立熵权模型6，模型的建立与求解过程由以下三步得出： 9 （1）各项指标因素正向化 数据指标中，有些指标是与报考结果呈正相关的影响因素，另外一些是与报考结果 呈负相关的影响因素。那么对两种相关关系统一指标，其中r代表每种因素的影响率。 对于负相关关系的影响因素： 2 2 12 21 21 0 () () 1 e e ree ee ee （6） 对于正相关关系的影响因素： 21 2 12 21 2 0 () () 1 ee e ree ee e （7） 参数 1 e、 2 e根据上述 9 项影响指标的特点，由经验设定6。 （2）各项指标去量纲 () ee r (8) 这里的指的是一纵排数据（也即某一指标的所有数据）的标准差。 （3）用熵权法确定以上 9 项指标的权重 每片区域的每项指标占该区域的权重q： r q r (9) 根据信息论类比计算各项指标的熵值： lnIkqq (10) 其中系数 1 ln k m 。 根据以上模型， 首先根据客观条件得到 9 种因素对 6 个学校的影响率， 置于附件表 格 5 中，由表格中的影响率进一步得到各项指标占总需求的权重q，如表 3 表3 影响决策成果的各项指标权重 权重 指标 高考 成绩 个人 兴趣 身体 条件 专业 实力 学校 排名 城市 位置 学校 环境 学生 素质 就业率 权 值 0.482 0.045 0.024 0.133 0.045 0.032 0.054 0.128 0.057 接着，根据上述影响报考结果的不同权重，由公式(11)得到每个学校的综合评价值 V，整理后如表 4 所示，其中 VkIq (11) 表 4. 该学生所选择的院校综合评价值 10 学校 综合评价值 平行志愿学校 1 清华大学 0.264 平行志愿学校 2 北京大学 0.252 平行志愿学校 3 上海交通大学 0.128 平行志愿学校 4 复旦大学 0.136 平行志愿学校 5 浙江大学 0.184 平行志愿学校 6 中国科技大学 0.146 由上表的综合评价值对学校进行排序，得到该考生的志愿填报顺序为清华大学、浙 江大学、北京大学、中国科学技术大学、复旦大学、上海交通大学。 在最好决策结果分析模型中， 我们小组以本科第一批中超出本科第一批分数线 160 分的一名学生为研究对象， 并且在 2015 年一名学生超出本科第一批分数线 160 分附近 寻找 6 个学校， 通过层次分析法和熵权法对其进行主观和客观的分析， 得出参考的结论。 以上两种方法从定量的角度进行分析， 其本质是通过分析不同影响决策的因素对不 同学校的影响率和权重得到 6 所学校的综合评价值， 其中层次分析法关键在于每一层因 素的权重的两两比较，然后逐层分析得到决策层结果，是多层的分析法，熵权法是两层 的变量，分别为影响因子和学校，不同影响因子对学校有不同的影响率，影响率结合熵 权算法得到信息熵，进而求出综合评价值。 4.3 最小决策风险分析 考虑在高考志愿填报的决策中，使决策成本最小，也就是说在填报的过程中，所填 报的学校能够以较大的可能性录取。同理，对应的决策成本适中表示报考成功的可能性 适中，而决策成本大表明报考成功的可能性较小，需要用更多时间和思考来决定所填报 的学校是否合适。忽略其他因素，仅仅考虑分数线对报考程度的影响。学生可以选择填 报的平行志愿为 6 所大学，现在以本科第一批的报考作为研究对象，选择超出本科第一 批分数线 160，60，30 的三名学生，并且分别在其分数线附近选取 6 所高校，学校名 称及录取分数线情况见附录 2 中的 4 个表格， 对这些数据展开讨论分析。 通过模糊隶属 度理论考虑决策成本的评价后，继而考虑到一些不可控制的外界因素影响，如在自己填 报志愿，成绩相符的其他学生也可能填报该志愿的情况。这时我们利用对策论分析多个 院校中被哪所录取的几率更大些，使填报志愿的风险尽可能小。 4.3.1 模型的建立与求解 隶属度评价最小决策成本 由于没有确定的准则来表示志愿填报的决策过程中决策成本的大小， 因此使用模糊 数学7方法对决策目标进行评价。 现在针对每一个学生建立三个模糊集 , iii A xB xCx，其中 i A x表示第i个 11 学生对于报考学校的“决策成本较低” ， i Bx表示第i个学生对于报考学校的“决策成 本适中” ，其中 i Cx表示第i个学生对于报考学校的“决策成本较高” 。 1 N A i j j x A x y （12） 其中 j y表示所要报考的大学。 i Bx和 i Cx同理可得。 现在确定隶属函数( ) A x，由于报考学校是按照学生分数的高低进行排序进行择优 录取，因此历年所报考的高校的录取最低和最高分数线便具有十分重要的参考意义。现 设置各个高校录取分数的最高分 MAX S和最低分 MIN S之差作为录取分数区间，当前批次 的控制线为 now S，考生超过当前批次分数为x，通过在录取区间里所处的比例位置来确 定是否能够被录取的隶属度。在此将目标学校的录取区间作为基准，现划分三个区间段 作为平均决策成本大小的标准。如表 5 所示： 表 5. 决策成本标准规定 决策成本 录取分数区间 决策成本较低 0.751 MINnow MAXMIN xSS SS 决策成本适中 0.350.75 MINnow MAXMIN xSS SS 决策成本较高 00.35 MINnow MAXMIN xSS SS 决策成本较低说明在填报的过程中，所填报的学校能够以较大的可能性录取，对应 的决策成本适中说明报考成功的可能性适中， 决策成本较高说明报考成功的可能性较小， 需要用更多是时间和思考来决定所填报的学校是否合适。 所以最终获得隶属函数的形式是： 1 1 N AA j xfx N （13） 1 1 N BB j xfx N （14） 1 1 N CC j xfx N （15） 其中j表示各个学生分数段对应各个学校，则 , ABC fxfxfx分别是： 10.751 ( ) 0 MINnow AMAXMIN xSS if fxSS else （16） 12 10.350.75 ( ) 0 MINnow BMAXMIN xSS if fxSS else （17） 100.35 ( ) 0 MINnow CMAXMIN xSS if fxSS else (18) 所得到的计算结果如表 6 所示： 表6. 学生决策成本评分 i A x i Bx i Cx 学生 1 160 x 0.6667 0.3333 0 学生 2 60 x 0 0.3333 0.500 学生 3 30 x 0 0.8333 0.500 同时我们把各个学生的成绩所在不同学校的录取分数区间所处位置表示出来， 如图 3、4、5 所示： 图3. 学生1的分数在各个学校的录取区间的占比 图4. 学生2的分数在各个学校的录取区间的占比 123456 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 123456 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 13 图5. 学生3的分数在各个学校的录取区间的占比 对于学生 1， 1(170) 0.67A, 2(170) 0.333A, 3(170) 0A,可知学生 1 所报考学校 “决策成本较低”的程度是 0.67，高于“决策成本中等”和“决策成本较高”的数值程 度，因此认为学生 1 报考的学校决策成本较低，较易被所报的学校录取。同理，学生 2 属于“决策成本较高”的程度是 2(60) 0.5C高于其他两种，说明学生 2 报考的学习决 策成本较高。学生 3 属于“决策成本中等”的程度 3(30) 0.83B，属于“决策成本中 等”水平高于其他两者。如图 3 所示，同时由各个学生的分数在各个学校的录取区间的 占比很明显的看出， 学生 1 的分数超过所选择的学校录取分数区间， 属于决策成本较低， 有较大可能性被录取；由图 4 可得，学生 2 的分数有三所学校没有过线或者刚刚过线， 而且剩余的三所学校中，其成绩在学校录取分数区间也处于中下等水平，与认定其“决 策成本较高” ，报考录取可能性较低的结果相符合；由图 5 可得，学生 3 在所报考的各 个学校中，其成绩在学校录取分数区间也处于中上等水平，但是没有像学生 1 一样有分 数超出很高的情况，因此认定其“决策成本中等”也与实际相符合。 由上述分析可知，要想降低报考志愿的决策成本，提高报考录取可能性，需要寻找 到一些院校的录取区间适合自己所在的分数段。 以自己的分数按照本年度控制线超出来 的部分，结合选择学校参考往年录取分数线超过往年控制线的分数，进行比较。一般情 况来说，如果自己分数超过目标学校往年录取分数线程度比较大，则有比较大的把握被 成功录取。 “知己知彼”讨论 考虑到报考中的特殊情况， 也就是学生分数刚好达到所要报考学校过往投档的分数 线。也就意味着刚过线的成绩，可能会因为其他成绩好考生选择该校而使得今年分数线 上下浮动，从而有很大可能性不被投档和录取。因此选择在这种情况下，使用对策论模 型，分析别人会做出如何选择，从而使得自己尽可能的能够被这一类的学校录取，做到 “知己知彼” 。 单独考虑学生 2。对于学生 2 的成绩，按照去年录取分数线来看，刚好到所选择两 所大学的最低投档线，北京中医药大学和中国地质大学(北京)。现在以分析两所学校的 投档和录取情况为例，通过对策论模型8研究在刚过线的情况下报考哪一所学校，使得 123456 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 14 自己所报考的学校录取自己的可能性最大。 考虑学生 2 在所报考两所目标大学正好压线的情况。对于此种情况，能够以较高的 期望被所填报的学校录取是目标所在。 以两所学生 2 投档线刚好到达的北京中医药大学 和中国地质大学(北京)为例，收集其过往三年学校的计划录取数、实际投档数、实际录 取数。如表 7 所示： 表7. 北京中医药大学和中国地质大学(北京)近三年的投档和录取情况 北京中医药大学 中国地质大学(北京) 计划数 投档数 录取数 计划数 投档数 录取数 2015 50 55 53 81 86 85 2014 43 46 41 82 87 70 2013 40 46 44 94 97 97 通过查找的数据可以发现，2014 年中国地质大学(北京)录取人数比计划录取人数 还要少，而正常情况下，投档人数较多时且满足其计划数，录取的人数应该大于或者等 于其计划数，但是中国地质大学(北京)最终录取的人数比计划数目还要少，为了方便模 型建立与求解，认定其为异常情况，为了提高实验的合理性，对其进行处理。因此选择 计划数和投档数的均值 85 作为其参考录取人数。 建立对策论模型，假设局中人包括学生 2 和其他学生。假设这些学生不会同时填报 两所风险较高的学校，以免占用其他志愿数目，降低录取比率。这两者的策略集都只有 两个，填报这两所大学的其中一所。学生 2 与其他学生两者的策略集分别是： 12 , A S (19) 其中， 1 :学生 2 报考北京中医药大学， 2 :学生 2 报考中国地质大学(北京) 12 , B S （20） 1 :其他学生报考北京中医药大学， 2 :其他学生报考中国地质大学(北京)。 赢得矩阵用 2 2 ij RP 表示。 11 P表示两者同时报考北京中医药大学，假设同时报 考的时候，学生 2 因为分数线刚好够投档线的缘故，所以并不占优势，因此其录取的比 例以近三年两所学校额外录取人数与计划录取人数的比例均值作为其能够被录取的概 率，其中 arg 11 1 arg 1 ii N gettet i i tet LL P NL (21) 其中 arg i tet L表示第i年该大学计划录取人数， i get L表示第i年该大学实际录取人数。 如果学生 2 选择了第一所而其他考试选择了第二所， 则用该所大学计划录取数目与实际 录取数目的比例均值作为其能够被录取的概率： arg 12 1 1 i N tet i i get L P NL （22） 15 同理可得学生 2 选择了第二所大学和其他学生分别选择第一所和第二所大学的情 况， arg 21 1 arg 1 ii N gettet i i tet LL P NL (23) arg 22 1 1 i N tet i i get L P NL (24) 由此计算得到的赢得矩阵如下: 0.03290.9671 0.96220.0378 R (25) 由策略论求解可知，maxmin0.0378 ij ji P，minmax0.9671 ij ji P ， 0 ，由此求出最佳混合策略。 现在考虑学生 2 以 1 x的概率采取策略 1 ，以概率 2 x采取策略 2 。则其他学生采取 策略 1 时的期望是 112 0.03290.9622Exx，其他学生采取策略 1 时的期望是 112 0.96710.0378Exx，若 12 EE，假设 12 EE，则其他学生 会采取策略 1 以减少学生 2 的录取期望。由混合策略的定义可知，任意混合策略对策 问题必存在平衡点,也就是学生 2 决策的最安全同样能保证学校满意的点。所以学生 2 选取的最佳概率 1 x和 2 x满足： 1212 12 0.03290.96220.96710.0378 1 xxxx xx （26） 解得 1 0.4974x , 2 0.5026x 。因此在此种情况下，采取第二种策略，即选择中国 地质大学(北京)，可以使学生 2 有更大的期望被选择的学校录取。 通过策略论分析可知，在其他学生和学生 2 同时报考学校的过程中，报考中国地质 大学(北京)的录取可能性较高，因此通过对策论分析以往学校录取情况，对我们选择学 校也能够提供一些的指导意义。 4.4 综合平衡决策结果与成本 以上模型分别讨论了两种极端的决策准则下学生志愿报考情况， 结合问题一中得出 的平衡折中决策结果与决策成本的结论， 综合遗传算法9， 对学生的志愿填报进行分析， 提出一种能够平衡两种准则的方案，让学生最终报考的院校尽量符合人意，又能将风险 降到一定程度以下。 考虑到在高考志愿填报这一特殊问题中， 最大的决策成本在于考生能否被心仪院校 录取，因此考生的录取风险是是影响决策成本的根本因素。 用z表示所选考生录取情况的整体结果，num表示所选学生的数量， 这些考生的分 数差在 10 分以内，且报考 6 个相同的平行志愿，则在这一分数区间内不同考生报考每 所学校的风险是不同的。用 ij f表示第i个学生报考第j个院校的风险， ij 表示第i个学 生对第j个院校的满意程度，将考生对 6 个平行志愿的满意程度（期望程度）分为 3 个 16 档次，以某一分数段内所有考生录取的整体结果最好为目标函数，在问题一已得出 的结论前提下，建立优化模型。 目标函数及约束条件如下： 6 11 max num i ijij ij zf 1, 0, 1, 3 i 2, i i, i ij 该考生被录取 该考生未被录取 第 个考生对报考院校不太满意 第 个考生对报考院校比较满意 报考院校十分考满意第 个生对 （27） 我们采用遗传算法的全局寻优性对这个规划问题进行优化求解， 为简化模型的 求解难度，将学生数量num设为 50，最高分与最低分的差为 10 分，模型中要使 得整体的录取结果达到较为理想的状态，需要求得 50 位学生对应的风险fij，这些 风险不是对于一个学生来说最低， 是考虑到能够满足整体录取结果最大化的准则下 得到的全局最优风险，结合遗传算法的种群进化过程和本模型的相关参数，得到具 体算法思想如下： 设置种群参数 我们将本次选择的 50 个学生的决策设定一个交叉变异的种群。设置种群规模为N =100，作为之后遗传的染色体依赖的个体，最大进化次数为 50。根据实验调整，设定 的最大交叉率为 max Pc=0.8，最小交叉率 min Pc=0.2，最大变异率为 max Pm=0.9，最小 变异率为 min Pm=0.3。 计算适应度值 以某一分数段内所有考生录取的整体结果作为染色体的适应度,遗传算法选 择出种群适应度最大的个体， 因此得到的最优个体经过二进制到十进制的解码后得到的 值即为所选考生报考结果的风险 ij f全局最优解,同时得到目标函数z对应的值即为 50 位考生录取情况的全局最优值，适应度值为： 6 11 num i ijij ij fitnesszf （28） 选择 采用轮盘赌法（一种随机选择法）选择个体，根据个体对应的适应度函数值选择可 进入下一代的个体，适应度值大的个体将被复制多个遗传到下一代，该操作通过淘汰种 群中适应度低的个体，保留了适应度较高的个体，也就是说在随机选择的过程中，这个 学生的决策结果及成本要高于这一时刻的最优解。 设N为种群个体总数， i fit为第i个个体的适应值，那么个体i被选择的概率为： （29） 1 i N i i fit Ps fit 17 交叉、变异 由于一所院校只能占用一个填报名额，即基因不能重复，因此不能单纯地将优良的 个体进行基因交叉，否则可能会出现一所院校重复报名的情况。遗传算法所使用的杂交 方法如下:在最高适应度的个体中随机取出个基因， 若新个体含有这些基因， 则将包含 的基因移动到最高适应度的个体的对应位置， 未包含的基因则直接替换原有基因如果个 体在迭代中被选为变异，变异公式如下： （30） 其中，i表示种群中第i个个体， ij a表示个体i的第j个基因， max a、 min a分别为基因的 上下限，r为0,1的随机数。其中中间变量为： （31） m为当前迭代次数，M为最大迭代次数。 达到最大进化次数或种群适应度不再变化时，算法终止。得到的最优个体适应度值 最大， 经过二进制到十进制的解码后得到的值即为所选考生报考结果的风险fij全局的最 优解,z 值即为 50 位考生录取情况的全局最优录取结果。在结果中我们将这 50 个学生 的志愿填报均大致确定，这样可以使 50 个学生志愿填写的过程中的全部满意度达到最 大值。 本问题提出的这一优化模型，是以整体最优为目标，将每位考生决策结果和决策成 本融合作为最终的优化目标， 得出能够让学生在填报尽量好的院校的同时又保证较大概 率的录取。 四、 结论及分析 在问题一的决策建议曲线中可以看出两种极端的决策影响， 虽然能够使决策结果或 者决策成本尽量好，但是很大程度上牺牲了与其制约的一部分，理想条件下是符合要求 的，但是这种方式过于保守，在实际生活应用中并不能采取这样的决策。在高考志愿填 报的过程中，我们不能一味求稳担心不被理想的高校录取而降低自己的志愿，力求能够 被录取，但是不考虑“分所能及”范围的高校。另一方面，我们不能因为喜爱某所高校 不考虑个人条件而莽撞报考，这样不仅不会被喜爱的院校录取，而且可能失去被其他院 校录取的机会。 因此，对于这两种相互制约的准则，我们必须做出一定的牺牲来平衡折中这些决策 准则。我们逐个分析两种极端情况下的报考情况，从得出的结果可以看出不同的制约条 件下， 学生可能有完全不同的志愿填写情况。 仅仅考虑一方面的标准， 是非常不合理的， 并且在实际生活中不可能出现这种较为极端的情况。 继而我们对如何平衡折中这两种决 策准则构建模型，得出一种符合全局最优的结果，学生填报志愿后，能够较为满意的接 受院校并且所承担的风险较低。 文章在基于报考志愿填报的基础上，通过查找数据、模拟学生报考、逐条分析报考 max min ()( ),0.5 ()( ),0.5 ijij ij ijij aaaf gr a aaaf gr ( )(1) m f gr M 18 情况、考虑客观实际问题，最终得出结论，发现将决策结果最好与决策成本最小这两种 决策标准中和平衡后，我们仍然能够得到一个心仪的结果。 五、 问题三模型的推广与计划 本文以高考志愿填报这一具体决策实例为背景， 模型主要包含了优化和排序两大类， 可以推广到任务的分配、资源的分配、最优路径的选取和投资与风险等具体问题，遗传 算法最有较强的优化性能，可在生产调度、控制工程、图像处理等领域发挥重要作用。 另一方面，模型本身也有待改进之处，比如本文是以一本线以上的三名不同分数段的学 生为研究对象，后续工作可针对二三本的考生分数与学校情况对报考决策进行分析。在 综合平衡决策结果与成本的遗传优化模型中，鉴于模型