第五章根轨迹设计方法.ppt

1,根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便，特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的性能的方法。,2,主要内容,第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的基本规则第三节广义根轨迹第四节利用根轨迹分析系统的性能,3,第一节根轨迹的基本概念,根轨迹图是闭环系统特征方程的根(即闭环极点)随开环系统某一参数由零变化到无穷大时在s平面上的变化轨迹。,一根轨迹(图),例1已知一单位负反馈系统的开环传递函数为试分析该系统的特征方程的根随系统参数的变化在s平面上的分布情况。,开环极点,没有零点。式中为开环增益。,4,解系统的闭环传递函数,系统的特征方程为,特征方程的根是,当时,当时，,为不相等的两个负实根；,当时，,为等实根；,设的变化范围是,当时，,为一对共轭复根,5,图5-1-1例1的根轨迹,6,当系统参数为某一确定的值时，闭环系统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定，由此可进一步分析系统的性能。值的变化对闭环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。,1948年伊万斯（WREVANS）解决了这个问题，提出了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方，只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。,7,二闭环零、极点与开环零、极点的关系,图5-1-2控制系统方框图,(5-1-1),前向通路传递函数G(s)可分别表示,(5-1-2),前向通路增益,前向通路根轨迹增益,(5-1-3),8,反馈通路传递函数H(s)可分别表示,(5-1-4),反馈通路增益,反馈通路根轨迹增益,(5-1-5),系统的开环传递函数为,(5-1-6),9,前向通路传递函数零点,前向通路传递函数极点,反馈通路传递函数零点,反馈通路传递函数极点,(5-1-6),开环系统的极点数,开环系统的零点数,系统的闭环传递函数如下,开环系统根轨迹增益,10,闭环零点由前向通路传递函数零点和反馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。,结论：,闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；,闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。,(5-1-7),11,根轨迹法的基本任务在于：,如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。,12,图5-1-1例1的根轨迹,三、根轨迹与系统性能,稳定性,稳态性能,动态性能,13,第二节绘制根轨迹的规则,一、绘制根轨迹的依据,系统的特征方程,当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程可写成,或,(5-2-1),图5-2-1控制系统方框图,系统的特征方程,根轨迹方程,向量方程,14,相角条件：,幅值条件：,主要依据,15,结论：,绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益值的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件的点的集合的构成系统的根轨迹图。,(2)绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益值的大小有关。即值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。,(3)由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。,16,例2单位负反馈系统的开环传递函数为,如何应用,根轨迹方程在s平面上找到闭环极点。,解:,开环有两个极点：,图5-2-2例2的根轨迹,17,二、绘制根轨迹的基本规则,普通根轨迹(或一般根轨迹）:,通常把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹称为普通根轨迹或一般根轨迹。,绘制普通根轨迹的基本规则如下:,18,规则一根轨迹的分支数、连续性和对称性,分支数：即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。,其阶次为,故分支数为,连续性：系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量s有一一对应的关系，当由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是连续的曲线。,对称性：由于实际的物理系统的参数都是实数，如果它的特征方程有复数根的话，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。,根轨迹方程,19,根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。,结论：,20,规则二根轨迹的起点和终点,起点,(5-2-2),由式(4-2-2)可知,(5-2-3),即：根轨迹起始于开环极点。,所以,根轨迹方程,(5-2-1),21,终点,(5-2-4),(5-2-5),所以,即：根轨迹终止于开环零点。,1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。,2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。,22,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。,结论：,23,若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。,规则三实轴上的根轨迹,例3设系统的开环传递函数为,其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点,p4、p5、z3、z4为共轭复数极点、零点，它们在S平面上的分布如图5-2-2所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。,24,图5-2-3实轴上的根轨迹,图5-2-2中，开环极点到s0点的向量的相角为,开环零点到s0点的向量的相角为,实轴上，s0点左侧的开环极点P3和开环零点z2构成的向量的夹角均为零度，而s0点右侧的开环极点P1、P2和开环零点z1构成的向量的夹角均为.若s0为根轨迹上的点，必满足相角条件，有,25,规则四渐近线,当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线.,渐近线与实轴的交点位置为,与实轴正方向的交角为,26,例4已知系统的开环传递函数为,试画出该系统根轨迹的渐近线。,解n=4，m=1，n-m=3；,它们与实轴正方向的交角分别是,三条渐近线与实轴交点位置为,27,图5-2-4根轨迹的渐近线,28,规则五根轨迹的分离点,两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点,称为根轨迹的分离点(会合点)。,图5-1-1例1的根轨迹,分离点,分离点的坐标d,(5-2-6),开环零点的数值,开环极点的数值,只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。,注意,特例,29,分离点,分离点,一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。,若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。,图5-2-5实轴上根轨迹的分离点,30,图5-2-6复平面上的分离点,根轨迹的分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。,复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对共轭复根存在。,分离角,根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的且向方向之间的夹角.,进入分离点的分支数,31,例5已知系统的开环传递函数,试绘制系统的根轨迹。,分离点,解:,规则一,规则二,规则三,规则四,规则五,图5-2-7例5根轨迹图,实轴上的根轨迹,渐近线,分离点,32,起始角,根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。,图5-2-8根轨迹的起始角,规则六起始角与终止角,33,根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。,终止角,图5-2-9根轨迹的终止角,34,例6已知系统的开环传递函数为,且和为一对共轭复数极点，和分别为实极点和实零点，它们在S平面上的分布如图4-2-9所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点和的起始角和。,35,图4-2-9起始角的求取,对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得,由于A点无限靠近点，,36,推广为一般情况可得求起始角的关系式为,同理，可得到求终止角的关系式为,37,规则七根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。此时对应的增益为临界增益。,令得,即,具体做法:,实部方程,虚部方程,使系统由稳定（或不稳定）变为不稳定（或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。,的物理含义,38,例7试求出例5中根轨迹与虚轴的交点及相应的开环根轨迹增益的临界值。,解系统的开环传递函数为,其特征方程,令得,虚部,实部,39,图5-2-11根轨迹与虚轴的交点,40,图5-2-12,41,规则八根之和,当时,无论取何值,开环n个极点之和总等于闭环特征方程n个根之和，即,闭环特征根,开环极点,当增大时,若闭环某些根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。,42,以上八条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚须注意以下几点规范画法。,根轨迹的起点(开环极点)用符号“”标示；根轨迹的终点(开环零点)用符号“”标示。,根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的值，其中直接标出的有起点(或)，终点()；根轨迹与实轴的交点即实轴上的分离点()；与虚轴的交点()。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析和综合。,43,例8已知系统的开环传递函数为,试绘制该系统完整的根轨迹图。,解,规则一,规则二,规则三,规则四,规则五,分离点,图5-2-13例8根轨迹图,规则七,44,规则六,无起始角和终止角,规则七,令得,虚部,实部,45,图5-2-14,46,例9已知系统的开环传递函数为试绘制该,系统完整的根轨迹图。,规则一,规则二,规则三,规则四,规则五,规则六,实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹,47,图5-2-15例9根轨迹图,48,图5-2-16,49,结论,由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆(当开环极点为两个实极点时)或圆的一部分(当开环极点为一对共轭复数极点时)。,50,练习1已知系统的开环传递函数为,试绘制该系统完整的根轨迹图。,51,图5-2-17练习1的根轨迹图,52,第三节广义根轨迹,以上所述的根轨迹都是以开环增益作为可变参量，这在实际系统中是最常见的。但在实际中还有许多种类的根轨迹，它们是：,(1)参数根轨迹。,(2)多回路系统的根轨迹。,(3)正反馈回路和零度根轨迹。,通常将以上这些根轨迹称为广义根轨迹。,53,一.参数根轨迹,设系统的开环传递函数为,则系统的闭环特征方程为,用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点位置，时间常数或反馈系数等对系统性能的影响。绘制这类参数变化的根轨迹的方法与前面讨论的规则相同，但在绘制根轨迹之前，要先求出系统的等效传递函数。,(5-3-1),(5-3-2),将方程左端展开成多项式，用不含待讨论参数的各项除以方程两端，得到,54,(5-3-3),即是系统的等效开环传递函数。,2.由等效开环传递函数描述的系统与原系统有相同的闭环极点，但闭环零点不一定相同。,说明：,55,例10已知系统的开环传递函数为,试绘制以时间常数T为可变参数的根轨迹。,解系统的特征方程是,或,用去除等式两边得,令,（5-3-4）,则有,（5-3-5）,称为系统的等效开环传递函数。,56,规则一,规则二,规则三,规则六,规则七,虚部方程,实轴上的根轨迹,起始角,与虚轴的交点,令,实部方程,57,图5-3-1例10根轨迹图,58,图5-3-2,59,由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤：,先根据系统的特征方程求出系统的等效开环传递函数，使与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即,绘制参数根轨迹的可变参数,然后根据绘制普通根轨迹的八条基本规则和等效开环传递函数绘制出系统的参数根轨迹。,总结：,60,二、正反馈系统的根轨迹,正反馈系统的特征方程,即,相角条件,幅值条件,称为零度根轨迹,规则三修改为：正反馈系统在实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。,(2)规则四修改为：正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为,规则六修改为：正反馈系统的起始角和终止角应为,61,62,试绘制系统的根轨迹图。,例11已知正反馈系统的开环传递函数,规则一,解,规则二,规则三,规则四,规则五,规则七,63,分离点,图5-3-3例11根轨迹图,64,图5-3-4,65,图5-3-5,66,在开环传递函数相同的情况下，负反馈系统的稳定性比正反馈系统好,67,第四节利用根轨迹分析系统性能,自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。,解决的方法,1.解析法,2.根轨迹法,特点:对低阶系统比较精