数学建模题目及答案

09系列型号考试问题1.四足连接将矩形椅子放在凸起的地面上，通常只有三只脚在地面上，不稳定地放置后，稍微移动几下就可以将四只脚同时固定在地面上。为了说明这一现象，建立合理的假设，建立数学模型。(15分)解决方法：如果在这个问题上难以证明任何假设，结果很可能是否定的。因此，我们在这个问题上假设如下：(1)曲面是连续曲面(2)矩形桌子的四条腿长度相等(3)正方形桌子的腿比地面的弯曲程度长(4)方桌的腿只要接触到地面，就会接触到地面。(。这样可以使桌子的三条腿同时接触地面。现在，让我们证明：如果上述假设条件成立，答案是“是”。使用矩形表的中心作为坐标原点创建正交坐标系，如图所示。假设正方形表格的四条腿分别位于a、B、C和d上，a、B、C和d的初始位置与x轴平行，并且x轴上有直线ab，则ab与a、B、C和d平行。如果方桌围绕中心0旋转，则对角ab和x轴之间的角度记录为。很容易看出，当你的腿还没在地上的时候，腿和地面的距离不确定。为了消除此不确定性，值由a、b、c、d的距离之和唯一确定。假设(1)，是连续函数。(3)假定三条腿始终同时存在，因此设置了=0()。g(也是0时，初始瞬间四桥土地，不再需要转动)问题总结如下。已知为的连续函数，对于的任意，证明了的一个存在。证明：=时，AB与CD交换位置。是，也是连续函数，作为连续函数的零值定理存在。所以，证据将会完成。2.学校共有1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，并以合理的方法分配每个宿舍的委员数量。(15分)解决方案：将每个宿舍的会员数分配到每个宿舍的总人数对比列。设置：a宿舍的会员数为x人，b宿舍的委员数为y人，c宿舍的委员数为z人。人数小数点后的小数部分的最大整数取1，其馀取整数部分。邮报X y z=10；x/10=235/1000；y/10=333/1000；z/10=432/1000；、x、y和z为正整数。分析：x=3Y=3Z=43.饲养场估计，每天可以将5元的资金投入饲料、设备和人力，使80公斤猪每天增加2公斤。现在卖猪的市场价格是每公斤8元，但预测每天降价0.1元，问什么时候卖这种猪才能获得最大利益。(15分)解决方案：t日卖这种猪(初始体重80公斤的猪)的收益是z元。每头猪投入：5t韩元输出：(8-0.1t)(80 2t)元收益：z=5t(8-0.1t)(802t)=-0.2t 2 13t 640=-0.2 (t 2-65t 4225/4) 3405/4当T=32或t=33时，Zmax=851.25(元)所以第32天要卖掉这种猪才能获得最大利益。4.1乳制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种乳制品。一桶牛奶可以在设备甲上加工12小时，用3公斤A1加工，在设备上可以加工8小时，用4公斤A2加工。根据市场需求，生产的A1、A2都可以销售，每公斤A1 24元，每公斤A2 16元。现在加工厂一天可以获得50桶牛奶的供应，一天总劳动时间为480小时，设备甲方一天最多可以处理100公斤的A1，设备乙的加工能力没有限制。(1)对这个工厂制定生产计划，想每天获得最大利益。33元买一桶牛奶，能买吗？购买的话，一天买得最多吗？可以雇用临时工，支付的工资每小时多少元？A1的利润增加到30元/公斤，需要改变生产计划吗？(15分)解决方案：设置：每天将x桶牛奶加工为A1，y桶牛奶加工为A2，获得的收益为z元。加工每桶牛奶的信息表：产品A1A2需要的时间12小时8小时产量3公斤4公斤利润/公斤24元16元(1) x y=50Z=24*3x 16*4y=72x 64y解决方案，x=20，y=30时Zmax=3360元这时生产计划是在20桶牛奶中生产A1，30桶牛奶中生产A2。(2)设定：净利润为w元。w=z-33 *(x y)=39x 31=3360-33 * 50=1710(元)0可以购买33韩元/桶牛奶。(3)如果不限制牛奶供应，优化条件为：W=39x31解决方案，x=0，y=60时Wmax=1860元购买60桶牛奶。(4)如果全部利润用于支付工人的工资，则工资设定为最高n元。N=Wmax/480=3.875(元)(5)如果A1的利润为30元，则优化条件不变。Z1=90x 64y解决方案，当x=0，y=60时，Z1max=3840(元)因此，无需更改生产计划。5.在冷却过程中，物体温度在任何时刻变化的速度大体上与该温度和周围介质温度的差异成正比的结论称为牛顿的冷却定律，该定律同样用于加热过程。煮硬的鸡蛋以98 放入18 的游泳池，5分钟后鸡蛋的温度为38 ，假设不感到水变热，鸡蛋需要多长时间才能达到20 ？(15分)解决方案：问题是没有感觉到水变热。换句话说，游泳池水的水温没有变化。:将鸡蛋的温度设置为t，温度变化率为dT/dt。其中T是时间，水的温度是T1，鸡蛋和水的温差是T-T1在问题中：T- T1=kdT/dt，其中k是比例常数(1)方程式(1)转换为：dt=kdT/(T- T1) (2)例(2)两边同时计分后整理就可以了：T=k*ln(T- T1) CK*ln(98-18) C=05=k*ln(38-18) ct1=k * ln(20-18)c-k * ln(38-18)c=8.3(min)所以还需要8.3(分钟)。6.报纸广播每天凌晨从报社购买报纸零售商店，晚上还没有卖完的报纸。要假定各报的购买价格，零售价，退货价格，自然。就是卖报纸赚钱，还一份报纸。报纸每天买得太少，不卖的话，就赚得少。如果买得太多，卖不完，就会赔钱。为报纸订阅者计划一下他每天购买多少报纸，以获得最大收入。(15分)解法：设定：报纸有时效性，不能退还每份报纸价格b元，售价a元，售后报纸c元。将每日订购量设定为n，再订购会导致报纸浪费，甚至还剩下随行资金。预约少，报纸卖得不够多，会赚得少。为了获得最大的效果，现在必须确定最佳订货量n。n的意思。n是每天购买报纸的数量，如果决定n，报社将长期获得一定的收入，同时，报社将决定每天的印刷量，防止纸张浪费。所以我认为n的意思是双重的。这个问题是让我们根据a，b，c，r确定每日变元n。基本假设1、假设报纸现在在签长期订货合同，每日订购量n。2、报纸的每日需求是r，但假定报纸广播是第一个涉足报业的新人，没有经验，没有掌握需求量r的分布函数，只知道各报纸的进口量b、售价a、退货价格c。3、假设每日订购量为n。报童的目的是尽可能多的赚钱。建立模型根据需求r确定需求n，需求r是随机的，因此是风险决策问题。相反，新闻可见由于自身的局限性，无法掌握每日需求的分布规律，确定了优化模型的目标函数。但是为了得到n值，可以在报纸销售结果中结合r和n的量化关系，从实际开始最终确定n值。卖报纸才能赚钱，不赚钱，赔钱有三种后果，这是常识。现在用简单的数学表达式表示这三个结果。赚钱。赚钱可以分为：两种情况rn，最终收入为(a-b)n(1)r0清理：r/n(b-c)/(a-c)(2)(2)风格很容易得到，不赚钱，不赔钱。R/n=(b-c)/(a-c)(3)3、赔本。R/n(b-c)/(a-c)(4)模型的解决方案首先，(1)表达式表明n与最终收益有正相关关系。收益越多，n的价值就越大。但是，并发订货量n受需求r的约束，不能无限增加。因此，寻找n问题转换为研究r和n之间的约束关系。然后(3)，(4)分析两个表达式。(3)，(4)分别表示不赚钱不赔偿的情况，并且认为n值是为了最大利益，因此，(3)，(4)以两种方式设定的n值不是我们想要的结果，所以可以在此排除，不讨论。上次焦点分析(2)样式。显然，r票需求，n票订购量，(b-c)表示一份报纸的赔偿金。(a-c)不能表示明显的意思，所以现在放在不等式中进行研究。Abc可以获得a-ca-b，而(a-b)是通过卖报纸获得的钱。然后使用(2)表达式的(a-c)替换为(A-B)的收缩方法R/n(b-c)/(a-b)(5)不等式仍然成立。(5)以(1)式重新组合方式知道的收益与n正相关，因此订单数n的份数越多，报童每份报纸的损失(b-c)与钱(A-B)的比率就越小。由于报纸与报纸签订的合同，报社各报纸的赔偿金和赚钱比例越小，订购件数就越多。7.谈论你对数学建模的理解。你认为数学建模过程中的某些步骤很重要。(10分)简而言之，数学模型是实际问题的数学表示。具体地说，数学模型是为了某种目的，关于一些现实世界的抽象和简化的数学结构。更精确地说：数学模型是根据特定对象的特定固有规则创建所需的简化假设，并使用相应的数学工具获得的数学结构。数学结构可以是数学公式、算法、表、图标等。数学建模是生成数学模型的过程，数学建模是数学建模的过程(请参阅数学建模过程流程图)。数学建模是使用数学语言和方法通过抽象和简化来粗略描述和解决“实际问题”的强大数学手段。数学建模的几个过程1准备模型：了解问题的实际背景，了解问题的实际含义，了解有关对象的各种信息。用数学语言说明问题。2模型假设：根据实际对象的特性和建模的目的，根据需要简化问题，并以正确的语言提出一些适当的假设。建立3模型：在假设的基