李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

第四章回顾和思考练习1，给出计算积分的梯形公式和中间矩形公式，并说明它们的几何意义。答：两端的算术平均值用作()f的近似值。由此导出的求积公式()d()2a ba f xf xf af b是梯形求积公式。但是，如果使用间隔中的中点2bac而不是()f，则中间矩形公式()d () () 2aabf xxbaf的几何图形会稍微导出。2.求积公式的代数精度是多少？梯形公式和中间矩形公式的代数精度是多少？答：如果某个求积公式可以精确地为不超过m次的多项式建立，但不能为1次的多项式建立，那么这个求积公式的代数精度就是1。3表示代数精度为m次的梯形公式和矩形公式。对于给定求积公式的节点，给出了计算求积系数的两种方法。因为它是给定求积公式的节点，所以不能使用高斯求积公式。牛顿-科尔特斯求积公式不能使用，因为它没有被图示为等距节点。没有找到确切的数据。插值型求积公式和4。什么是牛顿-科特正交？它的正交节点是如何分布的？它的代数精度是多少？答：让积分区间a，b被分成n个相等的部分，步长h=(b-a)/n，选择由等距节点kxakh()n kninkbacfx构造的插值型求积公式0()，成为牛顿-科尔特斯求积公式，其中k n C称为科尔特斯系数。节点均匀分布，代数精度是节点数的n-1倍。5.辛普森的求积公式是什么？它剩下的项目是什么？它的代数精度是多少？当n=2时，牛顿-柯特斯求积公式为辛普森求积公式，其他项为4(4)()()()()1802 ba r ff，代数精度为3。6.什么是复合求积法？给出了复合梯形公式及其它表达式。答：为了提高计算精度，积分区间通常被分成几个子区间(通常等分)，然后在每个子区间上使用一个低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。复合梯形公式是11 101 2 () () (a) () 22()，a，b32 nn kkkknnhhtnfxfxfxbbahraff7。给出了复合辛普森公式和其它表达式。如何估计其截断误差？复合辛普森公式是11 1/2 01 4(4)(a)4(2()6()()，B1802 nn kknn H SNFF XF B BA H RFIS FA 8，什么是菱形求积？它有什么优点？龙贝格的求积公式也被称为连续部分半加速法。基于梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系，构造了一种加速积分计算的方法。理查森外推算法用于在不增加计算量的情况下提高误差的准确性。在等距基点的情况下，计算机计算积分值通常采用将区间分成两半的方法。这样，从上一次除法中获得的函数值在半除法后仍然可以使用，并且易于编程。菱形算法公式()(1) () 1141，1，2，3.什么是高斯求积公式？它的正交节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为什么称它为代数精度最高的求积公式？答：如果求积公式0()()d()n kkk a f XXHA f x具有2n-1(n是秋季节点数)的代数精度，则它的节点k x称为高斯点，求积公式是高斯求积公式。插值公式的代数精度不超过2n-1。我回到最后一个问题。根据老师的讲课，给出证明的方法。10.牛顿-柯特斯求积和高斯求积在节点分布上有什么不同？对于相同数量的节点，两种求积方法中哪一种更精确？为什么？牛顿-柯特斯正交节点等距分布高斯正交节点分布是一个插值多项式部分。对于相同数量的节点，高斯求积更精确。11.描述自动求积的一般步骤。如何获得所需的误差估计？答：如果被积函数在求积区间变化很大，一些函数值变化剧烈，需要短时间使用，而另一部分函数值变化平稳，可以使用大步长。区间内被积函数的不同情况可以使用不同的步长，这样在满足精度的前提下，积分计算工作量尽可能小。这类问题的算法技巧是预测不同区间内被积函数变化的严重程度，并确定响应步长。是自动求积的一般步骤。12、如何用标准的一维求积公式计算矩形域二重积分的基本原理：重复积分。多重积分的辛普森公式：11 01/2 01(，(，4(，2(， )6 bdac mm bbbbb iim aaaaaii f x y dydx k f x y DXF x y DXF x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y Nnkk a k b h f af xf xf bxdx 13。 对于给定的函数，给出了两种近似求导方法。如果给定的函数值受到干扰，在你的方法中如何处理这个问题？14.判断下列命题是否正确：(1)如果被积函数在区间a，b上是连续的，那么它的黎曼积分必定存在。(2)数值求积公式的计算总是稳定的。(3)代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。(4)插值型求积公式对n 1点的代数精度至少为n倍，最多可达2n 1倍。(5)高斯求积公式只能计算区间-1，1上的积分。(6)求积公式的阶数与插值多项式的阶数相同。(7)梯形公式与两点高斯公式具有相同的精度。(8)高斯求积公式的系数都是正数，所以计算总是稳定的。(9)因为菱形求积节点与牛顿-柯特斯求积节点相同，所以它们的精度是相同的。(10)不同阶数的高斯求积公式没有公共节点。1)校正2)误差3)误差是衡量计算精度的指标4)校正5)误差，它可以通过改变使-1，1上的计算间隔。6)错误。一个典型的例子是，当n是偶数时，牛顿-科斯特公式至少有n 1阶代数精度。7)错误。梯形公式，代数精度为1，两点高斯公式代数精度为3 8)校正9)误差。菱形的精度是2n，牛顿-柯蒂斯的精度是最大的n 1 10)。练习1。确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并指出所构造的求积公式的代数精度。(101)；(2)；3)3/)(3)(2)1()(21 1 1xfxffdxxf；(4)(0(2/)(0()(2 0).因为需要确定3个未知量，所以需要给定3个方程。集合2 () 1，fxxx，有101 11 322 11 2 0 2 3 haahahhah和101 1 2 1 3 4 3 3 haaaah ah顺序3 ()f xx，333443 411 () 000 3333h hhhhhhxdx顺序4 ()f xx，44454554212()00 3!DOCTYPE hhhhhhxdxxh因此，它有3个代数精度。由于需要确定三个未知量，因此需要给出三个方程。什么事2 ()1，f xx x，(c)101 11 322 11 4 0 16 3 hAAA哈哈hh Ah A299号房101 1 0 1 4 8 3 4 3 8 3 haaa ah丶193 ()f xx，(c)33343 848()000 33333h hhhhx dx丶194 ()f xx，(c)2 4445455 2 848164()00 3!DOCTYPE hh hhh x dxxh阿胜，僧儿3杨俊钦先生。3) 1 12 1 () (1)2 ()3 ()/3f x dxff xf x吴亚玲！吴亚玲2魏冄，阿胜，丶19 什么事(c)12 22 12 21 23/3 01 23/3 21 23/3 xx xx xx安全299号房0.6899 0.2899 0.6899 0.5 1 2266 x x x x丶193(f)xx(c)11 43 11 33 1 0(4)(1)2(-0.6899)3(0.2899)/312-0.683 0.2899/3-0.52788 xx DXF x dx fff阿胜，僧儿2杨俊钦先生(2 0 hffahhffhdxxf h)吴亚玲！吴亚玲2魏冄，阿胜，丶19 什么事2 ()1，f xx x，(c)22 3 33 0 22/22 3 hh hhh hah299号房页：1吴登盛丶193 ()f xx，(c)4 344 00 11()/2 444 hh x DXF x dxhh丶194 ()f xx，(c)5 455 00 11()/2 536 hh x DXF x dxhh阿曼苏丹国3.2 ._你好你好你好你好你好(1)1 2 0.8 x dx n x(2)9 1.4 xd xn(3)/6 2 0 4 sin，6 dn(1)1 2 0.8 x 4 dx n x范仲淹1 1(2()2n NK k h TF af xfb 8n，拜仁十九世，0，1，2，3，4，5，6，7，8k xk，0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.0311 0.0615 0.0906 0.1176 0.1423()()16440(0.1836().)200 f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x拜仁十九世1 8 1 (0)2()(1)贺盛雄（音译111 1/2 001(4)(2)(6)能力4n，拜仁十九世，0，1，2，3，4k xk 1/2 1，0，1，2，3 84k xk拜仁十九世111 41/2 001(0)4(2(1)范仲淹1 1()2()2n NK k h TF af xfb 4n，拜仁十九世12.0、1.2、3.4k xk k 1.0000 1.7321 2.2361 2.6458 3.000”，0.1 -什么0.4k KF x1 4 1()2()2 17.2278n k TF af xfb贺盛雄（音译)111 1/2 001()4()2