求复数的辐角、辐角主值

共 3 页 第 1 页 求复数的辐角、辐角主值求复数的辐角、辐角主值 知识要点：知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 定义：复数z=a+bi （a,bR）表示成 r （cos + isin ）的形式叫复数 z 的三角形 式。即 z=r（cos + isin ） 其中zr 为复数 z 的辐角。 非零复数 z 辐角 的多值性。 以 ox 轴正半轴为始边，向量oz 所在的射线为终边的角 叫复数 z=a+bi 的辐角 因此复数 z 的辐角是 +2k（kz） 辐角主值 表示法；用 arg z 表示复数 z 的辐角主值。 定义：适合0，2）的角 叫辐角主值 02argz 唯一性：复数 z 的辐角主值是确定的，唯一的。 不等于零的复数的模zr是唯一的。 z=0 时，其辐角是任意的。 复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。 （求法） 这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方 等运算， 尤其是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。 因此复数化三角式是复数 运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。 辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角 主值的求法。 2）复数的向量表示 在复平面内与复数 z1、z2对应的点分别为 z1、z2（如图） 何量ozz 11 对应于 何量ozz 22 对应于 何量z zzzz 1221 对应于 与复数 z2z1对应的向量为oz 显然 ozz1z2 则 argz1=xoz1= 1 共 3 页 第 2 页 argz2=xoz2=2 argz（z2z1）=arg z=xoz= 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如 z1=r1（cos 1+isin1） z2=r2（cos2+isin2） 乘法：z=z1 z2=r1r2 cos( 1+2)+isin(1+2) 如图：其对应的向量分别为ozozoz 12 显然积对应的辐角是 1+2 若 2 0 则由oz1 逆时针旋转 2角模变为 oz1 的 r2倍所得向量便是积 z1z2=z 的向量oz 。 若 2 0 则由向量oz1 顺时针旋转2角 模变为 r1r2所得向量便是积 z1z2=z 的向量oz 。 为此，若已知复数 z1的辐角为 ，z2的辐角为 求 + 时便可求出 z1z2=za z 对 应的辐角就是 + 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 除法 zzz z z r r i 12 1 2 1 2 1212 cos()sin() （其中 z20） 除法对于辐角主要是“相减” （被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述 如下： 21 0 时顺时针旋转角 oz。 时逆时针旋转角 0 1 oz。 二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数 （）的辐角，辐角主值cossin 44 i （） （ ）（ ）cossincossin 44 ii 这样化成三角式 复数的辐角是k 4 （kz） 辐角主值为 7 4 这 个 复 数 对 应 的 点 在 复 平 面 内 第 四 象 限 ， 也 可 以 化 三 角 式 为 共 3 页 第 3 页 1 2 7 4 7 4 （）cossin i 2）直接求辐角及主值 主要是使用复数代数式 、三角式的互化： 若 z=a+bi （a,bR） 则rab 22 辐角为 则t b a g， 依点 z（a,b）所在象限确定。 如上例zii 1 244 2 4 2 4 （）cossin 设辐角为 则 tg =1